הצגת המקור של הדף "חזקה (מתמטיקה)"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''חֶזְקָה''' (או העלאה בחזקה) היא [[פעולה בינארית|פעולה]], המתבצעת בין שני [[מספר]]ים: ה"'''בסיס'''" וה"'''מעריך'''". חזקה מסמנים בסימון <math>\ a^b</math> כאשר a הוא הבסיס ו-b המעריך. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא [[מספר ממשי]] והמעריך הוא [[מספר טבעי]], חזקה מהווה קיצור של פעולת ה[[כפל]]; כלומר – a בחזקת b היא המכפלה של b גורמים השווים כולם לבסיס: <math>a^b = \underbrace{a \times \cdots \times a}_b</math>.

את הצורה הבסיסית הזו של חזקה ניתן להכליל ל[[מערכות מספרים]] רחבות יותר, ואף ל[[מבנה (מתמטיקה)|מבנים מתמטיים]] שבהם האיברים כלל אינם מספרים. על בסיס פעולת החזקה מגדירים [[פונקציה|פונקציות מתמטיות]] שמשמשות תדיר את כל תחומי ה[[מדע]]ים.

== טרמינולוגיה וסימון ==

[[קובץ:Page9-Descartes La Géométrie.jpg|ממוזער|180px|שמאל|השימוש המתועד הראשון של סימן החזקה המודרני, בספרו של [[רנה דקארט]], '''[[הגאומטריה (ספר)|La Géométrie]]''', {{כ}}1637, עמוד 299.]]
כאמור, את פעולת החזקה כאשר a הבסיס ו-b המעריך מסמנים ב-{{קוד|a<sup>b</sup>}}. סימון זה הוכנס לשימוש על ידי [[רנה דקארט]] ב-[[1637]].{{הערה|בספרו '''La Géométrie''', {{כ}}Leyde, 1637,{{כ}} [[s:fr:Page:Descartes La Géométrie.djvu/9|עמוד 299]]: {{ציטוטון|et ''aa'' ou <math>a^2</math> pour multiplier ''a'' par soi-même; et <math>a^3</math> pour le multiplier encore une fois par ''a'', et ainsi à l’infini}}. להרחבה ראו "[http://jeff560.tripod.com/operation.html Earliest Uses of Symbols of Operation]" {{אנגלית}}}} קדמו לו דרכים אחרות לרישום חזקה, החל מ[[אוקלידס]].{{הערה|John J. O'Connor and Edmund F. Robertson, [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Miscellaneous/Mathematical_notation.html Etymology of some common mathematical terms], MacTutor History of Mathematics archive|כיוון=שמאל}} כאשר לא ניתן להשתמש בסימון המקובל, למשל ב[[מכונת כתיבה]] או ב[[שפת תכנות|שפות תכנות]] מסוימות, נהוג הסימון {{קוד|a^b}}.{{הערה|בשפת [[Visual Basic]], למשל: {{משמאל לימין|[https://msdn.microsoft.com/en-us/library/zh100ckf.aspx ^ Operator]}}}} בשפות תכנות אחרות משמש הסימון {{קוד|a**b}}.{{הערה|בשפת [[PL/I]], למשל: [http://www.ibm.com/support/knowledgecenter/SSQ2R2_8.5.1/com.ibm.ent.pl1.zos.doc/topics/lrm.pdf#page=34 PL/I Language Reference], עמ' 34}}

הפעולה נקראת '''העלאה בחזקה''' (כגון "a בחזקת b" או "a מועלה בחזקת b"). כאשר המעריך הוא מספר טבעי בין 3 ל-10 (כולל) נהוג לקצר ולקרוא "a ב-n-ית", כאשר n הוא [[שם המספר|שם המספר הסודר]]. למשל "8 בשלישית", "2 ברביעית" ו-"4 בעשירית" משמעם 8<sup>3</sup>, 2<sup>4</sup> ו-4<sup>10</sup>, בהתאמה. מקרה מיוחד הוא כאשר המעריך הוא 2, אז נהוג לקרוא לחזקה <math>\ a^2</math> "a בריבוע", משום ש[[שטח]] [[ריבוע]] שווה לאורך [[צלע (גאומטריה)|צלע]]ו בחזקת 2. למשל "5 בריבוע" משמעו 5<sup>2</sup>. התוצאה של העלאת מספר שלם בחזקה שנייה נקראת [[מספר ריבועי]], או פשוט "ריבוע". תוצאת העלאת מספר שלם בחזקה שלישית נקראת לפעמים מספר מעוקב. המילה "חזקה" משמשת גם לציון תוצאת הפעולה.

מבחינת [[סדר פעולות חשבון]], נהוג כי החזקה קודמת ל[[ארבע פעולות החשבון]], וכי יש לחשב את המעריך לפני ביצוע פעולת החזקה:
* <math>\ a\cdot b^c = a \cdot (b^c)</math>,
* <math>\ a^{b^c} = a^{(b^c)}</math>,
* <math>\ -a^b = -(a^b)</math>, וכדומה.

== חזקה טבעית ==
המופע הפשוט ביותר של חזקה הוא חזקה בעלת מעריך טבעי, כגון <math>x^7</math>, כאשר המעריך מציין כמה פעמים יש לכפול את מספר הבסיס בעצמו. חזקה כזו אפשר להגדיר באמצעות [[נוסחת נסיגה]]: <math>\ a^1 = a</math>, ולכל <math>\ n>1</math> מגדירים <math>\ a^n=a \cdot a^{n-1} </math>.

===דוגמאות===
* <math>\ 4^3 = 4\cdot 4^2 = 4\cdot(4\cdot4) = 64</math>
* <math>\ (-1)^2 = (-1)\cdot(-1) = 1</math>

=== חוקי החזקות ===
מהגדרה זו ניתן להסיק מספר מאפיינים בסיסיים של חזקות, הנקראים חוקי חזקות:{{הערה|{{MathWorld|ExponentLaws|Exponent Laws}}}}
{| class="wikitable" align="center"
|-
! החוק !! דוגמה
|-
|<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}</math> || <math>10^3 \cdot 10^4 = 10^{3+4} = 10^7 = 10,000,000</math>
|-
| <math>(a \ne 0)\quad \frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}</math> || <math>\quad \frac{10^5}{10^3}= 10^{5-3} = 10^2 = 100</math>
|-
| <math>{(a^m)}^n = a^{mn}</math> || <math>{(10^2)}^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1,000,000</math>
|-
| <math> {(a \cdot b)}^n = a^n \cdot b^n</math> || <math> {(2 \cdot 5)}^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1,000</math>
|-
| <math> (b \ne 0)\quad {\left(\frac{a}{b}\right)}^n = \frac{a^n}{b^n}</math> || <math> \quad {\left(\frac{6}{3}\right)}^2 = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4</math>
|}

====דוגמאות לשימוש====
*האגדה מספרת שכאשר המלך הציע לממציא ה[[שחמט]] לקבוע את הגמול שיינתן לו תמורת המצאתו, אמר הממציא: "אדוני המלך, יינתן לי גרגר חיטה אחד במשבצת הראשונה של [[לוח שחמט|לוח השחמט]], שני גרגרים במשבצת השנייה, ארבעה גרגרים במשבצת השלישית, וכך הלאה – בכל משבצת יינתן לי מספר גרגרים כפול מאשר בקודמתה". ציווה המלך על עבדיו לקיים את הבקשה, אך מהר מאוד גילה שבכל אסמי הממלכה אין מספיק חיטה. כמה גרגרים נדרש המלך לשים במשבצת האחרונה, היא המשבצת ה-64?{{ש}} תשובה: ניתן לראות מתיאור משאלתו של הממציא, שבמשבצת ה-<math>\ n</math> יש להניח <math>\ 2^{(n-1)}</math> גרגרים,{{הערה|לו היו מונחים במשבצת הראשונה 2 גרגירים, היינו צריכים במשבצת ה-<math>\ n</math> להניח <math>\ 2^n</math> גרגירים, אך כיוון שמונח בה גרגיר אחד, ביצוע פעולת החזקה מתחיל מהמשבצת השנייה, ועל כן יש להניח <math>\ 2^{(n-1)}</math> גרגרים במשבצת ה-<math>\ n</math>.}} ולכן במשבצת ה-<math>\ 64</math> יש להניח <math>\ 2^{63}</math> גרגרים. במקום להשתמש ב[[מחשבון]] כדי לחשב מספר זה, ניתן להעריך את [[סדר גודל|סדר הגודל]] של המספר אם נזכור כי <math>\ 2^{10} = 1,024</math>, ניעזר בקירוב למספר זה: <math>\ 1,000 = 10^3</math>, שעמו קל יותר לחשב ידנית, ונשער את גודלו של המספר באמצעות [[חישוב על גב מעטפה]].{{ש}} בהתאם לחוקי החזקות, <math>\ 2^{63} = 2^{(10 \cdot 6 + 3)} = (2^{10})^6 \cdot 2^3</math> שהם יותר מאשר <math>\ 8</math> כפול <math>\ 10^{18}</math>, כלומר מספר בן 19 ספרות. התוצאה המדויקת היא 9,223,372,036,854,775,808.
*[[אליס ובוב]] רוצים ליצור ביניהם ערוץ מאובטח להעברת מידע, כך שאיש מלבדם לא יוכל לקלוט את המידע העובר בו. לשם כך עליהם להחליט על [[מפתח (קריפטוגרפיה)|מפתח סודי]] משותף שבעזרתו יוכלו [[הצפנה|להצפין]] ולקרוא את המידע שהם משתפים. אם אליס ובוב לא יכולים להיפגש, ההחלטה על המפתח הסודי חייבת להתקבל בערוץ קשר פומבי החשוף לכל. כדי להתגבר על בעיה זו פותח [[פרוטוקול דיפי-הלמן]]{{הערה|Whitfield Diffie and Martin E. Hellman, [http://groups.csail.mit.edu/cis/crypto/classes/6.857/papers/diffie-hellman.pdf New Directions in Cryptography], ''' IEEE transactions on Information Theory''' 22(6), 1976, pp. 644–654|כיוון=שמאל}} שעושה שימוש בחוקי חזקות כדי לקבוע מפתח משותף סודי על גבי ערוץ פומבי. נוהל הפרוטוקול עובד כך:{{ש}} אליס בוחרת מספר <math>\ x</math> ובוב בוחר מספר <math>\ y</math>. הם מחליטים יחדיו באופן פומבי וחשוף לכולם על קבועים <math>\ p</math> ו-<math>\ \alpha</math> (שצריכים לעמוד בכמה דרישות טכניות). אליס מפרסמת את <math>\ A= \alpha^x\pmod{p}</math>, שהוא ה[[שארית (חילוק)|שארית]] המתקבלת מחלוקת <math>\ \alpha^x</math> ב-<math>\ p</math> (ראו [[חשבון מודולרי]]), ובוב מפרסם את <math>\ B=\alpha^y\pmod{p}</math>. כעת אליס ובוב מנצלים חוק חזקה כדי להסכים על מפתח משותף. המפתח יהיה <math>\ K=\alpha^{xy}\pmod{p}</math>. בוב מסוגל לחשב את <math>\ K</math> כי הוא יודע את <math>\ A</math> ואת <math>\ y</math> ולכן <math>\ A^y = (\alpha^x)^y = \alpha^{xy}=K\pmod{p}</math>, ובאופן דומה אליס מסוגלת לחשב אותו כי <math>\ B^x= (\alpha^y)^x = \alpha^{xy}=K\pmod{p}</math>. אף אחד אחר אינו מסוגל לגלות את <math>\ K</math>, כי באופן פומבי פורסמו רק <math>\ \alpha, p, A, B</math>, וכאשר <math>\ p</math> מספר גדול מאוד, קשה להסיק מתוכם את <math>\ K</math> בלי לדעת את <math>\ x</math> או את <math>\ y</math> (ראו [[בעיית הלוגריתם הדיסקרטי]]).
[[קובץ:Diffie-hellman.jpg|מרכז|ממוזער|500px|שלבי פרוטוקול דיפי-הלמן]]

== חזקה שלמה ==
הצעד הראשון בהכללת החזקה לקבוצה רחבה יותר של מספרים היא הרחבתה למעריכים [[מספר שלם|שלמים]] (שאינם בהכרח חיוביים). הרחבה מוצלחת של החזקה צריכה להמשיך ולעמוד בחוקי החזקות התקפים לטבעיים. בפרט:
:<math>\ a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1</math> ובתנאי ש-<math>a \neq 0</math>.

וכן:

:<math>\ a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^0}{a^n}=\frac{1}{a^n}</math>

לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 (ראו [[מכפלה ריקה]]) וחזקה שלילית בתור ה[[מספר הופכי|הופכי]] לחזקה החיובית ה[[מספר נגדי|נגדית]]. יוצא מן הכלל הוא הביטוי [[אפס בחזקת אפס]] שלרוב [[לא מוגדר|אינו מוגדר]], או מוגדר כשווה ל-1.{{הערה|{{משמאל לימין|[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?]}}{{ש}}{{cite web |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=0^0 | title=Wolfram Alpha calculates 0^0 |publisher=Wolfram Alpha LLC}}}} בנוסף, חזקות שליליות של 0 אינן מוגדרות, כי לא ניתן [[חלוקה באפס|לחלק באפס]].

===דוגמאות===
* <math>\ 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}</math>
* <math>\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2} = \frac{2^{-2}}{3^{-2}} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}</math>

== חזקה רציונלית ==
[[קובץ:Root graphs.svg|שמאל|ממוזער|300px|מלמטה למעלה: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.]]
לכל n שלם (שונה מאפס), ולכל [[מספר ממשי]] חיובי a, קיים פתרון חיובי יחיד למשוואה <math>\ x^n=a</math>. פתרון זה נקרא ה[[שורש של מספר|שורש ה-n-י]] של a, וסימונו <math>\ \sqrt[n]{a}</math>.

בעזרת מושג השורש ניתן להרחיב את הגדרת החזקה גם למעריכים [[מספר רציונלי|רציונליים]] כלשהם (ובסיס חיובי). תחילה מגדירים הרחבה למעריכים שהם [[שבר יסודי]]: יהי n מספר שלם ו-a [[מספרים חיוביים ושליליים|מספר חיובי]]. נצפה כי <math>\ a^{\frac{1}{n}}</math> יהיה מספר חיובי. כמו כן לפי חוקי חזקות מתקיים:
:<math>\ {\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n = a^\frac{n}{n} = a^1 = a</math>

כלומר <math>\ a^{\frac{1}{n}}</math> הוא ה[[שורש של מספר|שורש]] ה-n-י, ולכן:

<math>\ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}</math>.

בהתבסס על תוצאה זו ובעזרת חוקי חזקות נוכל להרחיב את ההגדרה לכל מעריך [[מספר רציונלי|רציונלי]] (n שונה מאפס):
: <math>\ a^{\frac{m}{n}} = {\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m = {\sqrt[n]{a}}^m = {\sqrt[n]{a^m}} </math>

התוצאה אינה תלויה בבחירת ההצגה של השבר, משום ש-<math>\ \sqrt[km]{a^{kn}} = \sqrt[m]{a^n}</math>, ולכן הפעולה [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]]. כל חוקי החזקות בשלמים נשמרים גם עבור מעריכים רציונליים.

במסגרת המספרים הממשיים, [[שורש של מספר|הוצאת שורש]] אינה מוגדרת היטב למספרים שליליים, ולכן גם חזקה רציונלית אינה מוגדרת לבסיס שלילי. אם הבסיס הוא 0, החזקה מוגדרת רק כשהמעריך חיובי, וערכה 0.

===דוגמאות===
* <math>\ 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4} = 2</math>
* <math>\ 8^{\frac{2}{3}} = {\sqrt[3]{8}}^2 = 2^2 = 4</math>
* אדם מפקיד בבנק 10 שקלים ב[[ריבית]] של 6% לשנה. כעבור שנה יהיו בחשבונו <math>\ 10\cdot (1+\frac{6}{100}) = 10.60</math> שקלים.{{ש}}אם ישאיר סכום זה בחשבונו שנה נוספת, יצטבר בחשבון בסוף השנה השנייה סכום של <math> 10 \cdot (1 + \frac {6}{100})^2 </math> שקלים.{{ש}} בסוף השנה ה-<math>\ n</math> יהיו בחשבונו <math> 10 \cdot (1 + \frac {6}{100})^n </math> שקלים.{{ש}} עד כה המעריך היה שלם, אבל [[פיקדון (בנקאות)|פיקדון]] בבנק ניתן למשוך במהלך השנה. מה יהיה הסכום שיצטבר לאחר שלוש שנים ושלושה חודשים (3.25 שנים)? הנוסחה הבסיסית לחישוב הריבית תקפה גם למעריך שאינו שלם, שהוא מספר רציונלי – בחשבון יצטבר סכום של <math> 10 \cdot (1 + \frac {6}{100})^{3.25} = 12.0849\ldots</math> שקלים.

== חזקה ממשית ==
ישנן שתי דרכים מקובלות ושקולות להגדרת חזקה עם מעריך [[מספר ממשי|ממשי]].

דרך אחת היא להסתמך על החזקות הרציונליות שכבר הוגדרו. תכונה רצויה של פעולת החזקה היא שמירה על [[רציפות]]. מצופה שאם לכל חזקה <math>\ a^r</math> נערוך סדרת חישובים מהצורה <math>\ a^x</math> כש-x הולך ומתקרב ל-r, התוצאות שנקבל ילכו ויתקרבו לערך של <math>\ a^r</math>. מסתבר כי דרישה זו מספיקה כדי להגדיר חזקה עם מעריך ממשי. מהבנייה של [[שדה המספרים הממשיים]] ידוע כי לכל מספר ממשי r קיימת [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] <math>\ \left\{r_n\right\}</math> של מספרים רציונליים המתכנסת ל-r. לכן לכל a אי-שלילי החזקה נתונה על ידי [[גבול של סדרה|גבול הסדרה]]:
:<math>\ a^r = \lim_{n \to \infty}a^{r_n}</math>

או באופן שקול כ[[גבול של פונקציה]]:{{הערה|שם=Denlingertitle|Denlinger, Charles G., '''Elements of Real Analysis''', Jones and Bartlett, 2011, pp. 278–283}}
:<math>\ (x\in\mathbb Q)\quad a^r = \lim_{x \to r} a^x</math>

המעריכים בשני הגבולות רציונליים ולכן החזקה בהם מוגדרת היטב. גם הגדרה זו אינה תלויה בנציגים והתוצאה זהה לכל סדרה המכנסת ל-r. הגדרה זו גם מספקת דרך נומרית לחישוב <math>\ a^r</math> על ידי קירובים הולכים ומשתפרים. לדוגמה ניתן לחשב את <math>\ 2^\pi</math> בכל רמת דיוק רצויה בזכות סדרת הקירובים:<math>\ 2^3, 2^{3.1}, 2^{3.14}, 2^{3.141}, \ldots</math>.

דרך שנייה היא בעזרת [[פונקציה ממשית|פונקציית]] ה[[אקספוננט]] <math>\ \exp(x)</math>. זוהי פונקציה בסיסית ביותר שניתן להגדירה בדרכים רבות ומגוונות, ללא הגדרה קודמת של חזקה ממשית. לדוגמה, <math>\ \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> ([[טור טיילור]]). מגדירים את ה[[קבוע מתמטי|קבוע]] [[e (קבוע מתמטי)|e]] בתור הערך <math>\ e = \exp(1)</math> (יש עוד דרכים רבות להגדיר את e). פונקציית האקספוננט מקיימת את הזהות:
:<math>\ \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>

בזכות זהות זו, שלמעשה היא צורת כתיב שונה של אחד מחוקי החזקות המוכרים, קל להוכיח כי פונקציית האקספוננט מתלכדת עם החזקות הרציונליות של e (למשל <math>\ \exp(2) = \exp(1+1) = \exp(1) \cdot \exp(1) = e^2</math>). לכן ניתן להכליל את החזקות של e לכל מעריך ממשי על ידי ההגדרה:
:<math>\ e^r = \exp(r)</math>

פונקציית האקספוננט היא פונקציה רציפה ולכן הגדרה זו שקולה להגדרה הראשונה באמצעות גבול של סדרת חזקות רציונליות. כדי להרחיב את ההגדרה של חזקות של e להגדרה המתאימה לכל בסיס חיובי יש להגדיר את פונקציית [[הלוגריתם הטבעי]] <math>\ \ln(x)</math>. גם זו פונקציה בסיסית, שניתן להגדירה כ[[פונקציה הופכית|פונקציה ההפוכה]] לאקספוננט (או בדרכים רבות נוספות, ואף לנקוט בגישה הפוכה: להגדיר קודם את הלוגריתם הטבעי ולאחריו את האקספוננט כפונקציה ההפוכה לו). כלומר אם <math>\ \exp(x) = y</math>, אז <math>\ \ln(y) = x</math> (הלוגריתם הטבעי מוגדר למספרים חיוביים בלבד). לפי הגדרה זו הלוגריתם הטבעי מקיים את הזהות <math>\ e^{\ln(a)} = \exp(\ln(a)) = a</math>. באמצעות זהות זאת וחוקי חזקות ניתן להגדיר לכל a חיובי חזקה ממשית:
:<math>\ a^r = {\left(e^{\ln(a)}\right)}^r = e^{r \ln(a)} = \exp(r \ln(a))</math>

ונותר רק המקרה בו הבסיס הוא 0 (ש[[לא מוגדר]] לו לוגריתם טבעי). במקרה זה כל החזקות החיוביות שוות לאפס (והמקרה האי-חיובי אינו מוגדר).

=== דוגמאות ===
* <math>\ 2^\pi = 8.8249778\ldots</math>

== חזקה מרוכבת ==
:'''הערה:''' להבנת פרק זה דרושה היכרות עם [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]].
[[שדה המספרים המרוכבים]], שנבנה מתוך [[שדה המספרים הממשיים]], יורש ממנו רבות מתכונותיו המועילות (כמו עצם היותו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]) ומוסיף עליהן תכונות מועילות נוספות (כגון היותו [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]]). טבעי לנסות להכליל את ההגדרה המוצלחת של החזקה הממשית גם לחזקה מרוכבת. [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] שכזאת ניתן לעשות בכמה כיוונים.

===בסיס מרוכב ומעריך שלם===
כפל וחילוק מוגדרים היטב בין [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]] ולכן הכללת חזקה שלמה למספרים מרוכבים נעשית ללא קושי וללא שינוי בהגדרות.

====דוגמאות====
*<math>\ i^{101} = i^{4\cdot25+1} = 1^{25}\cdot i = i</math>
*<math>\ {\left(\frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}\right)}^3 = 1</math> ([[שורש יחידה]] מסדר 3)
*<math>\ (1+i)^{-1} = \frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{2}</math>

===בסיס חיובי ומעריך מרוכב===
[[קובץ:Polar to cartesian.svg|שמאל|ממוזער|250px|הצגה קוטבית של מספר מרוכב ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]]. הנקודה השחורה (בסוף הקטע הכחול) הוא המספר המרוכב z. אורך הקטע הכחול r הוא ערכו המוחלט של z. הזווית θ היא הזווית בין הציר X לקטע הכחול.]]
הגדרת העלאת מספר ממשי חיובי בחזקה ממשית התאפשרה לנו בזכות פונקציית האקספוננט. לפונקציית האקספוננט הכללה טבעית לכל מספר מרוכב. כיוון שזיהינו את האקספוננט הממשי עם הפונקציה <math>\ e^x</math>, טבעי להמשיך במדיניות זו ולהגדיר חזקה מרוכבת של e בעזרת האקספוננט המרוכב. בצורה זו מתקבלת [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]: לכל x ממשי מתקיים,
:<math>\ e^{ix} = \cos x +i \sin x</math>
כאשר <math>\ \cos</math> מציין [[קוסינוס]], <math>\ \sin</math> מציין [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]], ו-<math>\ i</math> מציין את [[היחידה המדומה]].

למען הנוחות נהוג גם להשתמש בקיצור <math>\ \operatorname{cis} \, x = \cos x + i\sin x</math>. נוסחת אוילר עם הקיצור היא:
:<math>\ e^{ix} = \operatorname{cis} \, x</math>

נוסחה זו מגדירה חזקה של e ב[[מספר מדומה]]. בעזרת חוקי החזקות ניתן להרחיב את ההגדרה לכל חזקה מרוכבת של e:
:<math>\ e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x (\cos y +i \sin y) = e^x \operatorname{cis} \, y</math>

מנוסחה זו נובעת ה[[קואורדינטות קוטביות|הצגה הקוטבית]] של מספרים מרוכבים: אם z הוא מספר מרוכב שב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] [[ערך מוחלט|מרחקו מאפס]] הוא r והזווית ב[[רדיאן|רדיאנים]] בין [[הישר הממשי]] (ציר ה-x) לישר המחבר בין המספר לאפס היא θ ([[תטא]]), אז: <math>\ z = r e^{i\theta}</math>. הצגה נוחה זו מאפשרת חישוב מכפלות וחזקות שלמות של מספרים מרוכבים (למשל באמצעות [[משפט דה-מואבר]]) ללא שימוש ב[[הבינום של ניוטון|בינום של ניוטון]].

מכאן הדרך להגדרת חזקה מרוכבת של מספר ממשי חיובי a פשוטה, ונעשית בצורה דומה להגדרת החזקה הממשית:
:<math>\ a^{x+iy} = a^x a^{iy} = a^x {\left(e^{\ln(a)}\right)}^{iy} = a^x e^{iy\ln(a)} = a^x \operatorname{cis} \,(y\ln(a))</math>

כרצוי, הצבת חזקה ממשית בנוסחה (y=0) תתן את התוצאה הצפויה לחזקה ממשית.

באופן אנלוגי ניתן להגדיר חזקה של מספר ממשי כאשר המעריך הוא [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון|קווטרניון]].

====דוגמאות====
*<math>\ e^{i\pi} = \text{cis }\pi = -1</math> ([[זהות אוילר]])
*<math>\ 2^{1+i} = 2\operatorname{cis} \,(\ln(2)) = 1.538\ldots + i\cdot1.277\ldots</math>

===בסיס מרוכב ומעריך מרוכב===
מנקודת מבט שטחית נראה כי הנוסחה המגדירה חזקת מספר חיובי במספר מרוכב יאה לכל מקרה של מספר מרוכב בחזקת מספר מרוכב. אולם גישה זו נתקלת בבעיה מהותית. ההגדרה מסתמכת על קיומה של פונקציית הלוגריתם הטבעי ln גם במקרה המרוכב (שבמקרה המרוכב מסומנת log). אולם הגדרה אחידה ומוסכמת לפונקציה זו אינה קיימת. במקרה הממשי חיובי הפונקציה מוגדרת בקלות, כי לכל מספר חיובי y קיים x אחד ויחיד המקיים <math>\ \exp(x) = e^x = y</math>, ולכן ניתן להגדיר <math>\ \log(y) = x</math>. כלומר הפונקציה <math>\ e^x</math> היא [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד-חד-ערכית ועל]] הממשיים החיוביים ולכן גם [[פונקציה הפיכה|הפיכה]]. אך תכונה זו אינה נשמרת במספרים המרוכבים, וזאת משום ה[[פונקציה מחזורית|מחזוריות]] של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות (להן יש מחזור של <math>\ 2\pi</math>). כתוצאה מכך האקספוננט המרוכב מחזורי בעצמו, עם מחזור של <math>\ 2i\pi</math>: לכל k שלם,
:<math>\ e^{x+i2\pi k} = e^x \operatorname{cis} \,(2\pi k) = e^x</math>

משמעות הדבר היא שלכל z מרוכב קיימים [[אינסוף]] מספרים מרוכבים x כך שמתקיים <math>\ e^x = z</math> (למעט המקרה z=0, אז לא קיים אפילו x יחיד המקיים זאת); ההפרש בין כל שני ערכים כאלה הוא כפולה שלמה של <math>\ 2\pi i</math>. משום כך ניתן להגדיר את <math>\ \log(z)</math> באינסוף דרכים שונות, כשלאף אחת מהן אין עדיפות. המסקנה היא שהלוגריתם הטבעי המרוכב הוא [[פונקציה רב-ערכית]] ושבכל הגדרה חד-ערכית של הלוגריתם הטבעי המרוכב יש ממד שרירותי שישפיע על תוצאותיה של החזקה המרוכבת. גרוע מזה, אם משנים בהדרגה את הערך של z לאורך [[מסילה (מתמטיקה)|מסילה]] המקיפה את הראשית במישור המרוכב כך שהשינוי ב-x רציף, אין חוזרים לאותו ערך. יש שתי גישות להתמודד עם קושי זה.

גישה אחת היא להתייחס לחזקה כפעולה שתוצאתה היא קבוצה של ערכים במקום ערך בודד. במקרה כזה התוצאה היא קבוצת כל הערכים שמתקבלים כתוצאת החזקה לכל בחירה אפשרית להגדרת הלוגריתם הטבעי המרוכב של המעריך. במקרה שהמעריך שלם, לכל אינסוף הערכים השונים של הלוגריתם של z כל תוצאות החזקה יתלכדו והתוצאה תהיה יחידה ושווה לערך המצופה מחזקה שלמה של מספר מרוכב. כאשר המעריך הוא מספר רציונלי <math>\ \tfrac nm</math> (שבר מצומצם) אינסוף תוצאות יתלכדו ותתקבל [[קבוצה סופית]] של m ערכים, שהם הפתרונות ל[[משוואה פולינומית|משוואה הפולינומית]] <math>\ x^m = z^n</math> (z הבסיס, x הנעלם). כאשר המעריך [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] הקבוצה תמנה אינסוף ערכים. החסרון הוא שבגישה זו תוצאת החזקה אינה מספר, אלא קבוצה (לעיתים אינסופית) של מספרים.

גישה שנייה היא לבחור "[[ענף (מתמטיקה)|ענף]]", קטע בו הלוגריתם הטבעי המרוכב יהיה חד-ערכי. הענף הסטנדרטי הוא המגבלה <math>\ \mbox{Im}\log(z) \in [0,2\pi)</math> (החלק ה[[מספר מדומה|מדומה]] של הלוגריתם מוגבל לתחום המצוין). במקרה הזה מתקבל למשל כי <math>\ (-1)^i = e^{i\log(-1)} = e^{i\cdot i\pi} = e^{-\pi}</math>. לעומת זאת אם נבחר את הענף <math>\ \mbox{Im}\log(z) \in [-\pi,\pi)</math> נקבל <math>\ \log(-1) = -i\pi</math> ולכן <math>\ (-1)^i=e^\pi</math>. החסרון בגישה הוא שבחירת הענף שרירותית והחזקה מפסיקה להיות רציפה (בקצות הענף).

====דוגמאות====
* נחשב את <math>\ (-1)^{\frac12} = \sqrt{-1}</math>:
**בגישת קבוצת הערכים: <math>\ \tfrac12</math> רציונלי ולכן קבוצת הערכים היא קבוצת פתרונות המשוואה <math>\ x^2 = -1</math>, [[משוואה ריבועית]] שפתרונותיה הם <math>\ i</math> ו-<math>\ -i</math>.
**בגישת הענף: נבחר את הענף הסטנדרטי. במקרה הזה <math>\ \log(-1) = i\pi</math> ונקבל: <math>\ (-1)^{\frac12} = e^{\frac12\log(-1)} = e^{\frac\pi2 i} = i</math>.
* נחשב את <math>\ i^i</math>:{{הערה|[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/complex.shtml דוגמה לחישוב] באתר Cut The Knot {{אנגלית}}}}
**בגישת קבוצת הערכים: לכל k שלם, <math>\ e^{\frac\pi2 i-2i\pi k} = i</math> (המקדם השלילי של k נועד לשם הנוחות, כיוון ש-k פרמטר שלם התוצאה לא תושפע). לכן ערכי הלוגריתם של i הם מהצורה: <math>\ \log(i) = \frac\pi2 i-2i\pi k</math>. לכן:
**:<math>\ i^i = e^{i\log(i)} = e^{-\frac\pi2+2\pi k} = \frac{e^{2\pi k}}{\sqrt{e^\pi}}</math>, לכל k שלם.
**בגישת הענף: נבחר את הענף הסטנדרטי. במקרה הזה <math>\ \log(i) = \frac\pi2 i</math>. כלומר k=0, ונקבל: <math>\ i^i = \frac1{\sqrt{e^\pi}} = 0.2078795\ldots</math>.

==מגדל חזקות==
ביטוי מהצורה <math>a_1^{{a_2}^{.^{.^{.{^{a_n}}}}}}</math> (מעלים n מספרים אחד בחזקת השני) נקרא "מגדל חזקות"{{הערה|{{MathWorld|PowerTower|Power Tower}}}} (סדר החישוב הוא מהחזקה העליונה לתחתונה. כלומר, תחילה מחשבים את הביטוי <math>{a_{n-1}}^{a_{n}}</math>, לאחר מכן, מחשבים את הביטוי <math>{a_{n-2}}^{({a_{n-1}}^{a_{n}})}</math>, וכן הלאה). כאשר איברי מגדל חזקות זהים כולם, כלומר מספר a מועלה בחזקת עצמו n פעמים (מספר טבעי) קוראים לפעולה [[טטרציה]] (Tetration) ומסמנים אותה <math>\ ^na</math>, או בסימון [[החץ של קנות']] <math>\ a\uparrow\uparrow n</math>.{{הערה|[[דונלד קנות'|Donald E. Knuth]], "[http://www.sciacchitano.it/Spazio/Coping%20with%20Finiteness.pdf Coping With Finiteness]", '''[[Science]]''' 194(4271), December 1976, pp. 1235–1242.}} טטרציה היא חזקה מקוצרת כפי שחזקה היא כפל מקוצר. לדוגמה: <math>\ {^{4}2}=2^{2^{2^2}}=65,536</math>.

כשם שניתן להגדיר [[טור אינסופי|סכום אינסופי]] ו[[מכפלה אינסופית]], ניתן להגדיר גם מגדל חזקות אינסופי. טטרציה אינסופית מוגדרת כ[[גבול של סדרה|גבול]]: <math>\ ^\infty a = \lim_{n \to \infty} {^na}</math>, כאשר הגבול קיים. נסמן את הגבול ב-x. מתקיים: <math>\ x = a^{a^{a^{.^{.^{.}}}}} = a^x</math>. כלומר הגבול (אם הוא קיים) הוא פתרון של המשוואה <math>\ \sqrt[x]x = a</math>. [[אוילר]] הוכיח כי הגבול מתכנס בתחום <math>\ \frac1{e^e}\le a \le\sqrt[e]e</math> (החסם העליון נובע מהשוויון <math>\ \max[\sqrt[x]x] = \sqrt[e]e</math> ש[[#משפטים ובעיות קשורות|יצוין בהמשך]]).

===דוגמאות===
*<math>\ ^33 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987</math>
*<math>\ ^\infty\sqrt2</math> הוא פתרון של המשוואה <math>\ \sqrt[x]x = \sqrt2</math>, כלומר 2 או 4. במקרה הזה:
*:<math>\ ^\infty\sqrt2 = \sqrt2^{\sqrt2^{^{\sqrt2^{.^{.^{.}}}}}} = 2</math>

==תכונות אלגבריות==

בניגוד ל[[חיבור]] ו[[כפל]], המוגדרים לכל זוג ערכים, החזקה אינה מוגדרת אפילו בין כל שני מספרים ממשיים. מלבד זאת, לחזקה אין את רוב התכונות הבסיסיות השימושיות האופייניות ל[[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] מוכרות. לכן חזקה אינה הבסיס לאף [[מבנה אלגברי]] טיפוסי.
* חזקה אינה [[פעולה אסוציאטיבית|קיבוצית]]: לא תמיד <math>\ a^{(b^c)} = {(a^b)}^c</math>. אפילו הדרישה החלשה יותר <math>\ a^{(a^a)} = {(a^a)}^a</math> אינה מתקיימת (למשל <math>\ 3^{(3^3)} = 3^{27} \ne 27^3 = {(3^3)}^3</math>). מקובל כי כאשר לא מוסיפים [[סוגריים]] מבצעים קודם את החזקה העליונה: <math>\ a^{b^c} = a^{(b^c)}</math>.
* חזקה אינה [[חילופיות|חילופית]]: בדרך כלל <math>\ a^b \ne b^a</math> (למשל <math>\ 1^2 = 1 \ne 2 = 2^1</math>).
* לחזקה אין [[איבר יחידה]], אולם 1 הוא איבר יחידה ימני (<math>\ x^1=x</math>) ואין איבר יחידה שמאלי.
* כלל הצמצום הימני מתקיים לבסיסים אי-שליליים: אם a,b אי-שליליים, c שונה מ-0 ומתקיים <math>\ a^c = b^c</math> אז <math>\ a = b</math> (מעלים את שני האגפים בחזקת ההופכי של c). הכלל אינו מתקיים כשאין הגבלת [[סימן (אריתמטיקה)|סימן]] על הבסיס: <math>\ (-1)^2 = 1^2</math>.
* כלל הצמצום השמאלי מתקיים (במספרים ממשיים, כאשר החזקה מוגדרת) לכל בסיס שונה מ-{{משמאל לימין|-1,0,1}}: אם <math>\ c^a = c^b</math> אז <math>\ a=b</math>.
* חזקה [[חוק הפילוג|דיסטריבוטיבית]] משמאל מעל כפל לפי חוקי חזקות. היא אינה דיסטריבוטיבית מימין מעל כפל.
* תכונת הספיגה: 0 ו-1 סופגים ערכים משמאל: תמיד מתקיים <math>\ 1^a = 1</math> ותמיד מתקיים <math>\ 0^a=0</math> (כאשר הביטוי מוגדר, ולמעט אפס בחזקת אפס).

==הכללות==
===חשבון אינפיניטסימלי===
חזקה בין סדרות וחזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת בקלות בעזרת החזקה בין מספרים ממשיים. לכל סדרה אי שלילית <math>\left\{a_n\right\}</math> וסדרה <math>\left\{b_n\right\}</math> (<math>\ b_n</math> חיובי כאשר <math>\ a_n=0</math>) קיימת סדרה <math>\{a_n^{b_n}\}</math>. חזקה שומרת על התכנסות: אם <math>\ a_n \to a, b_n \to b</math> אז מתקיים <math>\ a_n^{b_n} \to a^b</math>.

חזקה בין פונקציות ממשיות מוגדרת <math>\ f^g(x) = f(x)^{g(x)}</math> לכל x בו שתי הפונקציות מוגדרות והבסיס אי-שלילי (במקרה והבסיס הוא אפס, על המעריך להיות חיובי). חזקה בין פונקציות שומרת על רציפות של f ו-g בנקודה, אבל לא בהכרח שומרת על [[רציפות במידה שווה]] ב[[קטע]]. לדוגמה <math>\ f(x) = x</math> ו-<math>\ g(x) = 2</math> הן רציפות במידה שווה בכל הישר ואילו <math>\ f^g(x) = x^2</math> אינה כזו. אם פונקציית הבסיס ופונקציית המעריך [[פונקציה גזירה|גזירות]], אז גם תוצאת החזקה גזירה ומתקיים (לפי [[כלל השרשרת]] ו[[כלל לייבניץ]]):
:<math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left({f'g \over f} + g'\ln f\right)</math>

===תורת הקבוצות===
====קבוצות ועוצמות====
ב[[תורת הקבוצות]] ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ A^B</math> מוגדרת כקבוצת כל ה[[פונקציה|פונקציות]] מהקבוצה B אל הקבוצה A. בהתאם, אם <math>\ |A|</math> ו-<math>\ |B|</math> הן [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמות]], אז מגדירים: <math>\ |A|^{|B|} = \left|A^B\right|</math>. תוצאת פעולת החזקה בין שתי עוצמות אינה תלויה בקבוצות הנציגות A ו-B שנבחרו לשם הצגת העוצמה. אם נבחן את הפעולה ביחס לעוצמות סופיות נקבל כי חזקה בין עוצמות מתלכדת עם חזקה בין מספרים טבעיים (כולל אפס). התלכדות זו מבטאת תוצאה [[קומבינטוריקה|קומבינטורית]] חשובה: לכל שני מספרים טבעיים n, m מספר הסדרות עם n איברים המורכבות ממספרים בין 1 ל-m (כולל הקצוות וחזרות מותרות) הוא <math>\ m^n</math> (ובשפת הקבוצות: מספר הפונקציות מקבוצה מעוצמה n לקבוצה מעוצמה m הוא m<sup>n</sup>). למשל מספר הקודים בני שלוש ספרות המורכבים מהספרות 1–5 הוא {{משמאל לימין|1=5<sup>3</sup>=125}}. הגדרה זו מכסה גם את המקרה <math>\ 0^0</math>. לפיה תוצאת הפעולה שווה למספר הפונקציות מ[[הקבוצה הריקה]] לעצמה. יש בדיוק פונקציה אחת כזאת ([[הפונקציה הריקה]]), ולכן התוצאה היא 1.

הגדרת החזקה בין עוצמות מאפשרת להתייחס גם לחזקות בין גדלים [[קבוצה אינסופית|אינסופיים]]. לפי [[משפט קנטור (תורת הקבוצות)|משפט קנטור]] לכל עוצמה <math>\ |A|</math> מתקיים <math>\ |A| < 2^{|A|}</math> (הקבוצה <math>\ {\{0, 1\}}^A</math>, שהיא קבוצת כל ה[[פונקציה מציינת|פונקציות המציינות]] של A, שקולה ל[[קבוצת החזקה]] של A). זוהי תוצאה [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] לחזקות סופיות, אולם היא מבחינת חידוש מהפכני לחזקות אינסופיות, ומשמעותה שלכל עוצמה אינסופית יש עוצמה אינסופית גדולה ממנה. בפרט, ניתן להראות כי <math>\ 2^{\aleph_0}=\aleph</math> (2 בחזקת [[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]] שווה ל[[עוצמת הרצף]]).

חוקי חזקות תקפים גם לחזקות של עוצמות, זאת מלבד החוקים המערבים חילוק, כיוון שפעולה זו אינה מוגדרת לעוצמות. כפל עוצמות מוגדר <math>\ |A| \cdot |B| = |A\times B| </math> (הכפל באגף הימני הוא [[מכפלה קרטזית]]). כיוון שהקבוצה <math>\ A^{\{1,2,\ldots,n \}}</math> (הפונקציות מקבוצת המספרים מ-1 ל-n ל-A) שקולה לקבוצה <math>\ \prod_{k=1}^nA</math> (המכפלה הקרטזית של A עם עצמה n פעמים), מתקיים כי חזקת עוצמות היא כפל עוצמות מקוצר, בהתאם לתכונה המוכרת של חזקה. לכן מקובל הסימון <math>\ A^n</math> לסימון המכפלה הקרטזית של A בעצמה n פעמים – היא קבוצת ה-[[n-יה סדורה|n-יות הסדורות]] של איברי A (לדוגמה [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] ה-n [[ממד (מתמטיקה)|ממד]]י שמסומן <math>\mathbb{R}^n</math> מורכב ממכפלה של n עותקים של [[הישר הממשי]] <math>\mathbb{R}</math>).

====סודרים====
ניסיון להגדיר חזקה בין [[מספר סודר|מספרים סודרים]] באופן אנלוגי לחזקה בין עוצמות נכשל בשל קיומם של סודרים רבים מאותה עוצמה. עם זאת, ניתן להגדיר חזקה בין סודרים על ידי הכללת החזקה בין מספרים טבעיים. ראשית מגדירים חיבור וכפל סודרים בדומה להגדרתם ב[[מערכת פאנו]] ובהתבסס על ה[[סדר טוב|סדר הטוב]] המוגדר בין הסודרים על ידי [[תת-קבוצה|הכלה]]. חיבור בסודר עוקב מוגדר בדיוק כמו במספרים טבעיים ובנוסף מגדירים <math>\ \alpha+\beta = \sup\{\alpha+\gamma | \gamma<\beta\}</math> המטפל בסודר גבולי ([[סופרמום]] של קבוצת סודרים [[קבוצה חסומה|חסומה]] תמיד קיים כי בשל הסדר הטוב תמיד ישנו סודר מינימלי מבין כל ה[[חסם (מתמטיקה)|חסמים]]). כפל מוגדר כשם שהוא מוגדר בטבעיים בתוספת <math>\ \alpha\cdot\beta = \sup\{\alpha\cdot\gamma | \gamma<\beta\}</math> (בניגוד לאינטואציה, חיבור וכפל סודרים אינם חילופיים). באופן דומה, חזקה בין סודרים מוגדרת באופן [[הגדרה רקורסיבית|רקורסיבי]] על פי שלוש [[אקסיומה|אקסיומות]]:
*<math>\ \alpha^0=1</math>
*<math>\ \alpha^{\beta+1}=\alpha^\beta\cdot\alpha</math>
*<math>\ \alpha^\beta = \sup\{\alpha^\gamma | \gamma<\beta\}</math>

<math>\ \alpha^\beta</math> [[פונקציה שומרת סדר|איזומורפי]] לקבוצת הפונקציות <math>\ \beta \to \alpha</math> שיש להן [[תומך (מתמטיקה)|תומך]] סופי, אשר מוגדר עליהן ה[[סדר לקסיקוגרפי|סדר הלקסיקוגרפי]] כסדר טוב.

הכלל <math>\ \alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma = \alpha^{\beta+\gamma}</math> והכלל <math>\ (\alpha^\beta)^\gamma = \alpha^{\beta\cdot\gamma}</math> תקפים גם לחזקת סודרים, אך הכלל <math>\ (\alpha\cdot\beta)^\gamma = \alpha^\gamma\cdot\beta^\gamma</math> לא תמיד מתקיים.

אף על פי שחזקת עוצמות וחזקת סודרים מהווים שניהם הכללה לחזקת טבעיים (שניהם מתנהגים ככפל מקוצר כאשר המעריך טבעי), יש ביניהם שוני מהותי. למשל אף על פי שהסודר <math>\ \omega</math> שווה לעוצמה <math>\ \aleph_0</math>, חזקת סודרים מקיימת <math>\ 2^\omega = \sup\{2^n | n\in \mathbb{N}\} = \omega</math> בעוד שחזקת עוצמות מקיימת <math>\ 2^{\aleph_0}>\aleph_0</math>

===אלגברה מופשטת===
[[אלגברה מופשטת]] עוסקת ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]], שרובם מהווים הכללה או הפשטה של המספרים המוכרים עם פעולת הכפל. חזקה במעריך טבעי היא כתיב מקוצר לכפל, ולכן ניתן להגדירה גם בקבוצות אחרות בהן יש פעולה הדומה לכפל. לכל קבוצה עם פעולה בינארית מגדירים חזקה טבעית בדיוק כשם שהיא מוגדרת לכפל:
:<math>\ x^n=x x^{n-1},\quad x^1=x </math>
יש עניין בחזקה טבעית בעיקר כשהחזקות קיבוציות, כלומר, כל הדרכים להכפיל איבר x בעצמו n פעמים נותנות אותה תוצאה. תכונה זו מובטחת בכל [[חבורה למחצה]], משום שהכפל [[אסוציאטיביות|קיבוצי]], אבל היא אפשרית גם במקרים אחרים (ראו [[אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית]]). במקרים כאלה מתקיימים מספר חוקי חזקות מוכרים:
* <math>\ (x^i x^j) x^k = x^i (x^j x^k)</math>
* <math>\ x^{m+n}=x^m x^n </math>
* <math>\ (x^m)^n=x^{mn} </math>

כאשר לחבורה למחצה יש גם [[איבר יחידה]] (שנסמן ב-e) היא נקראת [[מונואיד]] וניתן להגדיר חזקת אפס בדומה להגדרה של 1 (איבר היחידה הכפלי) כתוצאה של חזקת אפס:
:<math>\ x^0 = e</math>

אם גם לכל איבר יש [[איבר הופכי]] (המסומן <math>\ x^{-1}</math>) המבנה נקרא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] ואז ניתן להכליל גם לחזקות שלמות. כפי שבמספרים חזקה שלילית הוגדרה כהופכי של חזקה חיובית, כך נעשה בחבורה:
:<math>\ x^{-n} = (x^{-1})^n</math>

בפרט, הגדרה זו מצדיקה את הסימון <math>\ x^{-1}</math> לאיבר הופכי.

כאשר בנוסף לכל הפעולה של החבורה גם [[חילופיות|חילופית]], החבורה נקראת [[חבורה אבלית]] ומתקיים הכלל המוכר:
:<math>\ {(xy)}^n = x^n y^n</math>

בכל חבורה של מספרים עם כפל רגיל החזקה במובן המופשט שלה היא החזקה השלמה המוכרת. אולם החזקה המופשטת יכולה ללבוש צורות רבות נוספות. למשל בחבורה <math>\ (\mathbb {Z}, +)</math>, שהיא [[חוג המספרים השלמים|קבוצת המספרים השלמים]] עם פעולת החיבור הרגילה ביניהם, החזקה המופשטת של החבורה היא פעולת הכפל המוכרת בין מספרים שלמים. זאת משום שכפל הוא חיבור מקוצר כשם שחזקה היא כפל מקוצר.

ב[[תורת החבורות]] משמש לעיתים הסימון <math>\ g^h</math> כאשר g ו-h איברים בחבורה כסימון לפעולת ה[[הצמדה (תורת החבורות)|הצמדה]] <math>\ g^h = h^{-1}gh</math>. יש דמיון מסוים בין הצמדה לבין חזקה, למשל מתקיימים הכללים:
:<math>\ (g^h)^k = k^{-1}(h^{-1}gh)k = (hk)^{-1}g(hk) = g^{hk}</math>
:<math>\ (gh)^k = k^{-1}(gh)k = (k^{-1}gk)(k^{-1}hk) = g^kh^k</math>

אולם מעבר לכך אין לפעולות הרבה במשותף.

==חישוב חזקות==
במקרים מסוימים יש צורך בחישוב חזקות עם מעריך טבעי גדול. דרך נאיבית לעשות זאת היא להכפיל בבסיס שוב ושוב. כלומר, אם המעריך הוא n, אז מבצעים n-1 פעולות כפל, ב[[סיבוכיות זמן|זמן ריצה]] שהוא [[זמן ריצה מעריכי|מעריכי]] ביחס לאורך המעריך (מספר ה[[ספרה|ספרות]] של n). שיטה זו אינה [[יעילות אלגוריתמית|יעילה]] מספיק כאשר החישוב כולל מעריך בן עשרות או מאות ספרות, כפי שנדרש לעיתים ב[[אלגוריתם|אלגוריתמים]] [[קריפטוגרפיה|קריפטוגרפיים]].

באמצעות אלגוריתם פשוט ניתן לקצר את זמן החישוב משמעותית. כדי לחשב את <math>\ a^n</math> נחשב את סדרת הערכים: <math>\ a, a^2, a^4, a^8,\ldots</math> (כל איבר הוא הריבוע של קודמו). נעצור כאשר נקבל את הערך הגדול ביותר בסדרה שאינו גדול מ-<math>\ a^n</math> (כלומר האיבר האחרון הוא <math>\ a^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}}</math>). כל איבר התקבל מהאיבר הקודם בסדרה כפול עצמו, ולכן ביצענו <math>\ \lfloor\log_2 n\rfloor</math> (כאשר<math>\lfloor \cdot \rfloor</math> מסמן את [[פונקציית הרצפה]]) פעולות כפל בלבד כדי לחשב את הערכים בסדרה. לפי ההצגה של n ב[[בסיס בינארי]] נכתוב את n כסכום של חזקות שונות של 2. כעת, לפי חוקי חזקות נוכל לחשב את <math>\ a^n</math> כמכפלה של ערכים שונים בסדרה שבנינו. כיוון שבסדרה יש לכל היותר <math>\ \log_2 n</math> איברים, החישוב ידרוש פחות מ-<math>\ \log_2 n</math> פעולות כפל נוספות. בסך הכול, התהליך מתבצע בזמן ריצה [[זמן ריצה פולינומי|פולינומי]] ביחס לאורך המעריך (כתלות בפעולת הכפל, שמתבצעת לכל היותר בזמן ריצה ריבועי). זהו קיצוץ משמעותי בזמן החישוב. כך למשל, אם n הוא מספר בן מאה ספרות עשרוניות, יידרשו כמה מאות פעולות כפל בלבד (במקום כ[[גוגול]] פעולות בהכפלה חוזרת של הבסיס) לשם החישוב.

בתור דוגמה נחשב את <math>\ 3^{37}</math>. ראשית נחשב את איברי הסדרה:
{| class="wikitable"
|-
! מספר המכפלות שחושבו !! האיבר בסדרה
|-
| 0 || <math>\ 3 </math>
|-
| 1 || <math>\ 3^2 = 9 </math>
|-
| 2 || <math>\ 3^4 = 9^2 = 81 </math>
|-
| 3 || <math>\ 3^8 = 81^2 = 6,561 </math>
|-
| 4 || <math>\ 3^{16} = 6,561^2 = 43,046,721 </math>
|-
| 5 || <math>\ 3^{32} = 43,046,721^2 = 1,853,020,188,851,841 </math>
|}

כעת נבחין כי <math>\ 37 = 32+4+1</math> ולכן:
:<math>\ 3^{37} = 3^{32+4+1} = 3^{32}\times3^4\times3^1 = 1,853,020,188,851,841\times81\times3 = 450,283,905,890,997,363</math>.

באופן זה חישבנו את <math>\ 3^{37}</math> בעזרת שבע פעולות כפל בלבד. חמש פעולות כדי לחשב את איברי הסדרה ושתי מכפלות נוספות כדי להגיע לתוצאה הסופית. על אף שמדובר במעריך קטן למדי, זה עדיין משמעותית פחות מ-36 פעולות כפל להן נדרשים בחישוב ישיר. אלגוריתמים סבוכים יותר מסוגלים לחשב אף במספר קטן יותר של פעולות, אך לא במידה משמעותית.

המהירות של שיטה זו תלויה במספר האחדות בייצוג הבינארי של המעריך. לכן כאשר בוחרים את המעריך ורוצים שהחזקה תהיה מהירה, בוחרים מספר עם מעט אחדות ביצוג הבינארי. למשל, באלגוריתם [[RSA]] נהוג לבחור e=65537 (שזה 10000000000000001 ביצוג בינארי)

שיטה זו פועלת לא רק למספרים, אלא לכל מקרה של [[#אלגברה מופשטת|חזקה מופשטת]] (עם חזקות קיבוציות). שימוש מעניין באלגוריתם הוא לחישוב [[סדרת פיבונאצ'י|מספרי פיבונאצ'י]] גדולים באמצעות חישוב חזקה של [[מטריצה]] (כקיצור של [[כפל מטריצות]]). [[סדרת פיבונאצ'י#נוסחה ישירה לאברי הסדרה|הנוסחה הישירה לאיברי הסדרה]] מספקת את הזהות:
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
 \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
 F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}
</math>

הפעלת האלגוריתם על המטריצה הפשוטה <math>\ a = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math> כבסיס, תחשב ביעילות כל שלשה של מספרי פיבונאצ'י סמוכים, גם כאשר האינדקס שלהם גדול מאוד.

== פעולות הפוכות ==
לא בכל הישר הממשי מתקיימים כללי הצמצום לגבי חזקה, ולכן אין לחזקה [[פונקציה הפיכה|פעולה הפוכה]] מוגדרת היטב. בכל זאת, שימושי להגדיר לחזקה שתי פעולות שהפוכות לה תחת מגבלות מסוימות.
* [[שורש (מתמטיקה)|שורש]]: שורש מסומן <math>\ \sqrt[b]a</math> כאשר a אי-שלילי ו-b שונה מאפס, ותוצאת הפעולה היא המספר האי-שלילי היחיד x המקיים <math>\ x^b = a</math>. מהגדרת החזקה הרציונלית נובע כי <math>\ \sqrt[b]a = a^{\frac{1}{b}}</math>. פעולה זו מתאימה לתוצאת חזקה ומעריך כלשהו בסיס תואם (תחת תנאים המבטיחים כי קיים יחיד כזה).
* [[לוגריתם]]: לוגריתם מסומן <math>\ \log_b a</math> כאשר b חיובי שונה מ-1 ו-a חיובי, ותוצאת הפעולה היא המספר הממשי היחיד x המקיים <math>\ b^x = a</math>. פעולה זו מתאימה לתוצאת חזקה ובסיס כלשהו מעריך תואם (תחת תנאים המבטיחים כי קיים יחיד כזה).
הסיבה לכך שיש שתי פעולות הפוכות ולא אחת כמו בחיבור ([[חיסור]]) וכפל ([[חילוק]]) היא שחזקה אינה חילופית ואין סימטריה בין המעריך לבסיס (ככלל, לא ניתן להחליף ביניהם בלי לשנות את התוצאה). לכן נדרשות שתי פעולות נפרדות למציאת כל אחד.

== פונקציות מבוססות חזקה ==
[[קובץ:Expo02.svg|שמאל|ממוזער|250px|גרפים של פונקציות מעריכיות שונות (המספר לצד כל גרף הוא הבסיס של הפונקציה)]]
פונקציות מבוססות חזקה הן [[פונקציה אלמנטרית|פונקציות אלמנטריות]] בעלות מקום מרכזי ב[[אנליזה מתמטית]].
* הפונקציה <math>\ x^\alpha</math> כאשר <math>\ \alpha</math> קבוע (ממשי או מרוכב). לפונקציה זו שני מקרים פרטיים חשובים:
**<math>\ \alpha = n</math> טבעי. אז הפונקציה <math>\ x^n</math> נקראת [[מונום]] (חד-איבר). מ[[צירוף ליניארי|צירופים ליניאריים]] של מונומים מתקבלים כל ה[[פולינום|פולינומים]].
**<math>\ \alpha = 1/n</math> כאשר n טבעי. אז הפונקציה <math>\ x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]x</math> נקראת השורש ה-n-י והיא מחזירה את השורש ה-n של x. הפונקציה מוגדרת למספרים אי-שליליים בלבד.
* הפונקציה <math>\ \alpha^x</math> כאשר <math>\ \alpha</math> קבוע אי-שלילי. פונקציה כזו נקראת [[פונקציה מעריכית]].
מצירופים [[אריתמטיקה|אריתמטיים]] ו[[הרכבת פונקציות]] ניתן לקבל מפונקציות אלו ואחרות עוד פונקציות רבות מבוססות חזקה. למשל <math>\ x^x = e^{x\ln(x)}</math>.

[[עצרת מעריכית]] היא פעולה מבוססת חזקה שדומה ל[[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]] (המבוססת על כפל). שתי הפונקציות מוגדרות ב[[רקורסיה]] זהה, רק שבמקרה של עצרת מעריכית חזקה מחליפה את הכפל.

== משפטים ובעיות קשורות ==
* חוקי חזקות נותנים מענה פשוט לחישוב החזקה של מכפלה: <math>\ (ab)^n = a^nb^n</math>. נשאלת השאלה האם יש דרך אנלוגית לחישוב החזקה של סכום: <math>\ (a+b)^n</math>. מענה לשאלה ניתן על ידי [[הבינום של ניוטון]]. אם a, b מספרים ממשיים ו-n מספר טבעי מתקיים:
::<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^kb^{n-k}</math>
::(<math>\ \Sigma</math> מסמן [[סכום]] ו-<math>\ \tbinom nk </math> הוא [[מקדם בינומי]])

:ניתן (באמצעות [[טור טיילור|פיתוח טיילור]]) להכליל את נוסחת הבינום לכל r מרוכב:
::<math>\ (a+b)^r = \sum_{k=0}^\infty {r \choose k} a^k b^{r-k}</math>, כאשר <math>\ {r \choose k} = \frac{r (r-1) \cdots (r-k+1)}{k !}</math>

:לכל r לא טבעי זהו [[טור אינסופי|סכום אינסופי]] מתכנס. כאשר r טבעי, החל מהמקום ה-r+1 כל המקדמים מתאפסים ומתקבל הסכום הסופי המוכר.
* [[השערת קטלן]], עוסקת בקיומם של מספרם עוקבים שהם חזקות.
* וריאציה של [[בעיית שטיינר]] שואלת מתי מתקיים השוויון <math>\ a^b = b^a</math> (a ו-b חיוביים) מלבד המקרה הטריוויאלי בו a=b. אם נקח את השורש ה-ab של שני האגפים נקבל את השוויון השקול <math>\ \sqrt[a]a = \sqrt[b]b</math>. מחקירת הפונקציה <math>\ \sqrt[x]x</math> עולה כי הפונקציה מקבלת את הערך 1 בנקודה x=1, היא [[פונקציה מונוטונית|עולה]] לכל x קטן מ-e, כאשר x=e היא מקבלת מקסימום, היא יורדת לכל x גדול מ-e ושואפת ל-1 באינסוף. לכן לפי [[משפט ערך הביניים]] לכל a חיובי גדול מ-1 וקטן מ-e קיים בן זוג b גדול מ-e (ולהפך) כך ש-<math>\ a^b = b^a</math>. לקבוע e עצמו אין בן זוג. המקרה היחיד בו בני הזוג שלמים הוא המקרה <math>\ 2^4 = 16 = 4^2</math>.
* [[הבעיה השביעית של הילברט|הבעיה השביעית]] מתוך [[23 הבעיות של הילברט]] שואלת האם לכל a [[מספר אלגברי|אלגברי]] (ששונה מ-0 ו-1) ולכל b אלגברי [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] מתקיים שהמספר <math>\ a^b</math> [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטי]]. ב-[[1934]] נתנה תשובה חיובית הנקראת [[משפט גלפונד-שניידר]].
* [[בעיית וארינג]] שואלת האם לכל מספר טבעי k קיים מספר טבעי n כך שכל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של לכל היותר n מספרים בחזקת k. [[הילברט]] הוכיח בשנת [[1909]] כי התשובה חיובית ובכך גרם להתפתחות מחקר ענף סביב מציאת n כתלות ב-k ופתרון שאלות נוספות בעלות אופי דומה. [[מקרה פרטי]] הוא [[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז']] הקובע כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים. התשובה לשאלה אילו מספרים ניתן להציג כ[[סכום של שני ריבועים]] ידועה גם היא במדויק.
* קיימים אינסוף מספרים טבעיים a, b ו-c כך שמתקיים <math>\ a^2 + b^2 =c^2</math>, אלו נקראים [[שלשה פיתגורית|שלשות פיתגוריות]]. [[המשפט האחרון של פרמה]] קובע כי תופעה זו ייחודית, וכי לכל <math>\ n>2</math> לא קיימת שלשה של מספרים טבעיים a, b ו-c כך שמתקיים <math>\ a^n+b^n=c^n</math>. את המשפט הוכיח [[אנדרו ויילס]] בשנת [[1995]], למעלה מ-350 שנה לאחר ש[[פייר דה פרמה|פרמה]] טען לנכונות המשפט ללא הוכחה. [[אוילר]] שיער [[השערת אוילר|השערה בעלת אופי דומה]]: לכל <math>\ n>2</math> לא קיימת קבוצה של n מספרים כך שסכום החזקות ה-n-יות של כל המספרים מלבד האחרון שבהם, שווה לחזקה ה-n-ית של האחרון. ההשערה התבררה כשגויה כפי שניתן לראות מה[[דוגמה נגדית|דוגמה הנגדית]]: <math>\ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5</math>.
* [[שורש יחידה]] מסדר n (מספר טבעי) הוא מספר מרוכב z (או באופן כללי יותר, איבר [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]) כך שמתקיים <math>\ z^n = 1</math>. מבין המספרים הממשיים 1 ו-{{משמאל לימין|-1}} הם שורשי היחידה היחידים. אולם מבין המספרים המרוכבים ישנם n שורשי יחידה מסדר n. לשורשי היחידה תכונה מיוחדת שהחזקות השלמות שלהם מחזוריות באורך n. כלומר לכל k שלם <math>\ z^k = z^{n+k}</math> (נובע מחוקי חזקות). למשל ל-{{משמאל לימין|-1}} מחזור באורך 2 (<math>\ (-1)^k</math> שווה 1 כאשר k זוגי ו-{{משמאל לימין|-1}} כאשר k אי זוגי) המנוצל רבות להצגת [[סימן (אריתמטיקה)|סימנים]] מתחלפים (כמו ב[[מבחני התכנסות לטורים#מבחן לייבניץ|טורי לייבניץ]]). דוגמה אחרת היא שורש היחידה <math>\ i</math> שלו מחזור באורך 4:
::<math>\ \ldots i^{-1}=-i, \quad i^0=1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad i^5 = i\ldots</math>
:על בסיס עובדה זו (ופיתוח [[טור מקלורן]] של האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות) מוכיחים את נוסחת אוילר שבעזרתה מגדירים חזקה מרוכבת.
* אחת הבעיות העתיקות במתמטיקה היא מציאת [[פונקציה|פונקציות]] פשוטות המחזירות אך ורק [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]]. ב-[[1947]] הוכיח [[ויליאם מילס]] כי קיים [[קבוע מילס|קבוע A]] כך שלכל n [[מספר טבעי|טבעי]] <math>\ \lfloor A^{3^n}\rfloor</math> הוא ראשוני (כאשר <math>\ \lfloor x\rfloor</math> היא [[פונקציית הערך השלם]]).

==ראו גם==
* [[אקספוננט]]
* [[דעיכה מעריכית]]
* [[גדילה מעריכית]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=חשבון/חזקה|שם ויקיספר=חזקה}}
* {{לא מדויק|2023/11/18/power_laws|חוקי החזקות}}
* [http://www.mathsisfun.com/algebra/exponent-laws.html Laws of Exponents] חוקי חזקה עם דוגמאות {{אנגלית}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007562810505171|חזקות (אלגברה)}}
{{-}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{ערך מומלץ}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פעולות בינאריות]]
[[קטגוריה:אלגברה בסיסית]]
[[קטגוריה:אריתמטיקה]]