הצגת המקור של הדף "חיבור (מטריצות)"

[[קובץ:Matrix addition qtl1.svg|ממוזער|250px|שמאל|גודל המטריצות זהה]]
'''חיבור מטריצות''' הוא פעולה ב[[מתמטיקה]] בה מחברים שתי  [[מטריצה|מטריצות]] על ידי חיבור הרכיבים התואמים של כל אחת מהן. קיימות פעולות חיבור נוספות ('''[[סכום ישר]]''' ו'''סכום קרונֶקֶר''') המוסברות בהמשך.

==חיבור רגיל==
[[קובץ:Matrix addition qtl2.svg|ממוזער|250px|שמאל|אופן חיבור מטריצות]]
על שתי המטריצות להיות עם אותו מספר שורות ועמודות.

סכום המטריצות '''A''' ו '''B''' המסומן ב '''A''' + '''B''', הוא מטריצה בעלת מספר שורות ועמודות זהה, בו כל רכיב הוא סכום הרכיבים התואמים ממטריצות המקור:

:<math>\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} + 


\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}\,\!</math>


לדוגמה: 

:<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}
</math>



באופן דומה ניתן לחסר מטריצה אחת מחברתה כל עוד ממדיהן זהים (כמו בחיבור).

הפעולה '''A''' &minus; '''B''' מבוצעת על ידי חיסור הרכיב ב B מהרכיב התואם ב A.

לדוגמה:

<math>
\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 1 & 0 \\    
 1 & 2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 7 & 5 \\
 2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1-0 & 3-0 \\
 1-7 & 0-5 \\
 1-2 & 2-1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 -6 & -5 \\
 -1 & 1
\end{bmatrix}
</math>


לפעולת חיבור זו על מטריצות <math>A \,</math>, <math>B \,</math> ו <math>C \,</math>  שאיבריהן שייכים לשדה הממשיים (למשל) יש מספר תכונות:

*[[חילופיות]] - <math>A + B = B + A \,</math>

*[[קיבוציות]] - <math>A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)\,</math>

*[[איבר יחידה]] - יהי <math>O \,</math> [[מטריצת אפסים]], אז <math>A + O = A\,</math>    ו <math>O + A = A\,</math> 

*[[סימטריה]] - תהי <math>-A \,</math> המטריצה בה קיים איבר נגדי לכל איבר תואם ב  <math>A \,</math>,  אזי <math>A + (-A) = O \,</math>      ו  <math>(-A) + A = O \,</math>.

==סכום ישר==
פעולת חיבור אחרת, פחות בשימוש, היא [[סכום ישר]] שמצוינת ב ⊕. משתמשים בסימן זה גם לפעולת החיבור '''סכום קרונקר''' וניתן ללמוד מההקשר באיזו משתי הפעולות מדובר.

הסכום הישר של שתי מטריצות: '''A''' בגודל  ''m'' &times; ''n'' ו '''B''' בגודל  ''p'' &times; ''q'' הוא מטריצה שגודלה  (''m'' + ''p'') &times; (''n'' + ''q''):


:<math>
  \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
  \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \mathbf{B} \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq}
  \end{bmatrix}
</math>


לדוגמה:

:<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}
</math>


הסכום הישר של מטריצות הוא למעשה סוג של [[מטריצת בלוקים]]. בפרט הסכום הישר של [[מטריצה ריבועית]] הוא [[מטריצת בלוקים אלכסונית]] (ראה: [[מטריצה אלכסונית]]).

באופן כללי, סכום ישר של '''n''' מטריצות הוא:


<math>
\bigoplus_{i=1}^{n} \mathbf{A}_{i} = {\rm diag}( \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3 \cdots \mathbf{A}_n)=
\begin{bmatrix}
 \mathbf{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \boldsymbol{0} & \mathbf{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \mathbf{A}_n \\
\end{bmatrix}\,\!</math>

האפסים הם בלוקים של אפסים, כלומר [[מטריצת אפסים|מטריצות אפסים]].

כל רכיב בסכום הישר של שני [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] של מטריצות יכול להיות מוצג כסכום ישר של שתי מטריצות.

[[מטריצת שכנות|מטריצת השכנות]] של איחוד [[גרף (תורת הגרפים)|גרפים]] זרים או [[מולטיגרף]] היא סכום ישר של מטריצות השכנות שלהם.

==סכום קרונקר==
כאמור, גם סכום זה מסומן ב ⊕. הוא מוגדר באמצעות שימוש ב[[מכפלת קרונקר]] המסומנת ב ⊗ עם חיבור מטריצות רגיל. אם '''A''' הוא בגודל ''n'' &times; ''n'' ו '''B''' בגודל ''m'' &times; ''m'' ו  <math>\mathbf{I}_k</math> מציין את מטריצת הזהות ''k'' &times; ''k'', סכום קרונקר מוגדר על ידי:

:<math> \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{B}. </math>


{{אלגברה ליניארית}}
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מטריצות]]