הצגת המקור של הדף "חילוק"

{{פירוש נוסף}}

ב[[אריתמטיקה]], '''חילוק''' היא [[פעולה בינארית]] ההפוכה ל[[כפל]]. בפעולת חילוק נתונים שני [[מספר]]ים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני, שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה" (באנגלית: quotient) ומסומן לעיתים באות q. באופן יותר פורמלי, פעולת החילוק מוגדרת ככפל של המחולק ב[[מספר הופכי|הופכי]] של המחלק. פעולת החילוק מסומנת בסימן <math>\ /</math> או בסימן <math>:</math> . באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות [[שבר (מתמטיקה)|שבר]], כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה. 

==חילוק במספרים הטבעיים והשלמים==
[[קובץ:Divide20by4.svg|שמאל|ממוזער|הדגמה לפעולת החילוק 150px|<math>\ 20 : 4=5</math>]]
הבסיס ללימוד פעולת החילוק בכיתות הנמוכות של [[בית ספר יסודי|בית הספר היסודי]] הוא חילוק של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]]. בהקשר זה נלמדים שני מודלים: "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה". מודלים אלו הכרחיים על מנת להמחיש את פעולת החילוק לילדים שנמצאים "שלב האופרציות המוחשיות" [[תאוריית ההתפתחות הקוגניטיבית של פיאז'ה]].

חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקת מספר לחלקים שווים: אם מחלקים a איברים ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? המחלק מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק. בתמונה מודגם חילוק לחלקים באמצעות [[תפוח]]ים: קבוצה של 20 תפוחים מתחלקת ל-4 חלקים, לכן בכל חלק יהיו 5 תפוחים.

בחילוק להכלה נתונים החלק והשלם ומבקשים לדעת כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, אם מחלקים a איברים למספר קבוצות שוות בגודל b, לכמה קבוצות חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק.

בשני המקרים, ניתן לראות את החילוק כפעולה ההפוכה ל[[כפל]]. במקרה של חילוק לחלקים הנכפל (החלק) הוא הנעלם ובמקרה של חילוק להכלה הנעלם הוא הכופל (מספר החלקים). יחד עם זאת, חשוב לזכור שאלה לא המודלים היחידים לחילוק ובסופו של דבר ההגדרה לחילוק היא פורמלית ולא תלויה במודלים אלו. יותר מכך, פישביין נותן לדוגמה את הפעולה <math>(2/3):(7/12)</math> שקשה לחשוב על מודל חוץ מתמטי שמתאים עבורה.<ref>
  Fischbein. (2002). Intuition in Science and Mathematics: An Educational Approach (Vol. 5). Springer Netherlands. https://doi.org/10.1007/0-306-47237-6
</ref>

בעוד שמודלים אלה הם הכרחיים הן מבחינת סדר הלימוד והן מבחינת שלבי ההתפתחות של התלמידים, [[אפרים פישביין]] טען שעומדות מאחוריהם הנחות סמויות שמממשיכות לפעול באופן גם בשלב "האופרציות המוחשיות" לאחר התלמידים למדו חלוקה של מספרים רציונליים ואת התכונות המאפיינות אותה. זאת בסתירה לתאוריה של פיאז'ה שמדברת על התאמה של סכמות כאשר מתקבל מידע חדש אותו לא ניתן לארגן אותו במסגרת הסכמות הקיימות. למשל, במקרה של חילוק לחלקים ההנחות לפי פישביין הן שהמחלק שלם וגם שהמחולק גדול מהמחלק וההמנה. לכן לרוב נתקלים בטעות הנפוצה לפיה "חילוק מקטין" בשאלות מילוליות שמתאימות למודל של חילוק לחלקים. <ref>{{צ-מאמר|מחבר=Fischbein, E, Deri, M|שם=The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems in Multiplication and Division.|כתב עת=Journal for Research in Mathematics Education|שנת הוצאה=1985}}</ref>  

===חילוק עם שארית===
עבור שני [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] a ו-b, אומרים ש-a '''[[מחלק]]''' את b, אם קיים מספר טבעי q כך שמתקיים <math>b=aq</math>. בהרחבה ל[[מספר שלם|מספרים השלמים]], אומרים שמספר שלם a '''[[מחלק]]''' מספר שלם b, אם קיים מספר שלם q כך שמתקיים <math>b=aq</math>.

פעולת החילוק אינה סגורה ב[[קבוצת המספרים הטבעיים]], וגם לא בקבוצת ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]]. למשל, 6 [[מחלק]] את 18 משום ש- <math>3\times 6=18</math>, אבל 3 לא מחלק את 10 כיוון שלכל <math>q\le 3</math> מתקיים <math>3q\le 9</math> ולכל <math>q\ge 4</math> מתקיים <math>3q\ge 12</math>. יחד עם זאת, ניתן להגדיר [[פעולה (מתמטיקה)|פעולת]] חילוק בשלמים שתוצאתה היא מנה q ושארית <math>0\le r <a</math> שלמות המקיימות <math>b = aq + r</math>.
ניתן להציג את תוצאת הפעולה כ[[שבר (מתמטיקה)#מונחים|מספר מעורב]] מהצורה <math>q\frac{r}{a}</math> (לדוגמה, <math>10:3=3\frac{1}{3}</math>). פעולה זו מוגדרת היטב, כיוון לפי "משפט החלוקה עם שארית" לכל <math>\Z\ni a\ne 0</math> ו- <math>\Z\ni b</math> קיים [[זוג סדור]] יחיד <math>\Z\times\Z\ni(q,r)</math> המקיים את התנאים הנ"ל.

כדי לבדוק האם שני מספרים מתחלקים זה בזה, משתמשים ב[[מבחני התחלקות]].

==הרחבות==
===חילוק מספרים רציונליים===
חילוק של שני [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] מוגדר באמצעות כפל ב[[מספר הופכי|הופכי]], כלומר:
:<math>{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}</math>.

===חילוק מספרים מרוכבים===
כדי לחלק [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], מכפילים מחלק ומחולק בצמוד של המספר. התהליך הוא כזה:
:<math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{(c+di)\cdot(c-di)}=\frac{(a+bi)\cdot(c-di)}{|c+di|^2}=\frac{ac+bd}{c^2 + d^2}+\frac{-ad+bc}{c^2 + d^2}i</math>
ניתן גם להגדיר חילוק בעזרת ההצגה הקוטבית, תוך שימוש ב[[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]]:
:<math>{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}</math>.

===חילוק באפס===
{{הפניה לערך מורחב|חלוקה באפס}}
התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל <math>\ c\ne 0</math> לא קיים מספר <math>\ a</math> כך ש<math>\ a\times 0=c</math>, ואילו כאשר המחלק גם הוא 0 המשוואה היא <math>\ a\times 0=0</math> ואז כל מספר הוא תשובה לשאלה, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת.

===חילוק מודולרי===
{{הפניה לערך מורחב|חילוק מודולרי}}
ניתן גם להגדיר חילוק ב[[חשבון מודולרי]]. החילוק [[מוגדר היטב]] אם מספר המודולו הוא [[מספר ראשוני|ראשוני]].

==ראו גם==
* [[ארבע פעולות החשבון]]
* [[חלוקה בשתיים]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=חשבון/חילוק|שם ויקיספר=חילוק|ויקישיתוף=Category:Division (mathematics)}}
* {{MathWorld}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:חילוק|*]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אריתמטיקה]]
[[קטגוריה:פעולות בינאריות]]