הצגת המקור של הדף "חיתוך (גאומטריה)"

ב[[גאומטריה]], '''חיתוך''' הוא אוסף ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] המשותפות לשתי [[צורה גאומטרית|צורות גאומטריות]] (או ליותר משתיים). זהו מימוש בגאומטריה של המושג המתמטי הרחב יותר [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]].

החיתוך יכול להיות [[הקבוצה הריקה]], למשל החיתוך בין שני [[ישרים מקבילים]], או מ[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] כלשהו. דוגמאות:
* שני [[ישר]]ים שאינם מקבילים נחתכים בנקודה אחת.
* [[קוטר]] חותך את ה[[מעגל]] בשתי נקודות.
* שני [[מישור (גאומטריה)|מישור]]ים שאינם מקבילים נחתכים בישר אחד.
* [[חתך חרוט|חתכי חרוט]]: מישור החותך [[חרוט]] עשוי ליצור אחת מארבע צורות (מעגל, [[אליפסה]], [[פרבולה]], [[היפרבולה]]), בהתאם ל[[זווית]] שבה המישור חותך את החרוט. [[מקרה מנוון|מקרים מנוונים]] מתקבלים כאשר המישור החותך עובר דרך [[קודקוד]] החרוט.

חיתוך מתקיים גם בין יותר משתי צורות גאומטריות. במשולש שלושת ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכונים]] נחתכים בנקודה אחת, וכך גם שלושת ה[[גובה (גאומטריה)|גבהים]] ושלושת [[חוצה זווית|חוצי הזוויות]].

==חיתוך במישור==
[[קובץ:Schnittpunkt-2g.svg|100px|ממוזער|שמאל|שני ישרים נחתכים בנקודה אחת]]
===שני ישרים===
כאשר נתונים שני ישרים, שמשוואותיהם הן: <math>a_1x+b_1y=c_1, \ a_2x+b_2y=c_2 </math> מתקבלות, לפי [[נוסחת קרמר]], ה[[קואורדינטות]] של נקודת החיתוך <math>(x_s,y_s)</math>:
:<math> x_s=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}, \quad y_s=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1} </math> .
כאשר <math> a_1b_2-a_2b_1=0</math> הישרים מקבילים.

===שני קטעים===
[[קובץ:Is-linesegm.svg|300px|ממוזער|שמאל|חיתוך בין שני קטעים. מימין: הקטעים אינם נחתכים. משמאל: הקטעים נחתכים.]]
כאשר נתונים שני [[קטע (גאומטריה)|קטע]]ים, <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math> ו-<math>(x_3,y_3),(x_4,y_4)</math>, הם לא בהכרח נחתכים, משום שייתכן שנקודת החיתוך בין שני הישרים שהקטעים מוכלים בהם נמצאת מחוץ לקטעים. כדי לבדוק זאת ניתן להשתמש בהצגה הפרמטרית של הקטעים:
: <math> (x(s),y(s))=(x_1+s(x_2-x_1),y_1+s(y_2-y_1)),</math>
: <math> (x(t),y(t))=(x_3+t(x_4-x_3),y_3+t(y_4-y_3)). </math>
שני הקטעים נחתכים בנקודה משותפת <math>(x_0,y_0)</math> כאשר הפרמטרים המתאימים <math>s_0,t_0</math> מקיימים את התנאי <math> 0\le s_0,t_0 \le 1 </math>.
הפרמטרים <math>s_0,t_0 </math> הם הפתרון של מערכת המשוואות הליניאריות
:<math>s(x_2-x_1)-t(x_4-x_3)=x_3-x_1</math>
:<math> s(y_2-y_1)-t(y_4-y_3)=y_3-y_1</math>
הצבת הערכים <math>s_0</math> או <math>t_0</math> בהצגה הפרמטרית נותנת את נקודת החיתוך <math>(x_0,y_0)</math>.

דוגמה: לקטעים <math>(1,1),(3,2)</math> ו-<math>(1,4),(2,-1)</math> נקבל את מערכת המשוואות הליניאריות
:<math>2s-t=0</math>
:<math>s+5t=3</math>
שפתרונה <math>s_0=\tfrac{3}{11}, t_0=\tfrac{6}{11}</math>, כלומר הקטעים נחתכים בנקודה <math>(\tfrac{17}{11},\tfrac{14}{11})</math>.

===ישר ומעגל===
[[קובץ:Is-circle-line-s.svg|150px|ממוזער|שמאל|חיתוך בין ישר ומעגל]]
למציאת נקודות החיתוך של הישר <math>ax+by=c</math> והמעגל <math>x^2+y^2=r^2</math> יש לבודד את <math>\ x</math> או את <math>\ y</math> ממשוואת הישר ולהציב במשוואת המעגל, ולקבל את הפתרונות <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math> מהמשוואות הריבועיות
:<math>x_{1/2}= \frac{ac\pm b\sqrt{r^2(a^2+b^2)-c^2}}{a^2+b^2}</math>
:<math>y_{1/2}= \frac{bc\mp a\sqrt{r^2(a^2+b^2)-c^2}}{a^2+b^2}</math>
כאשר <math> r^2(a^2+b^2)-c^2\ge0</math>. כאשר מתקיים <math> r^2(a^2+b^2)-c^2 > 0</math>, מתקבלות שתי נקודות חיתוך, והקטע המחבר ביניהן קרוי [[מיתר (גאומטריה)|מיתר]] במעגל. כאשר <math> r^2(a^2+b^2)-c^2=0 </math> יש רק נקודת חיתוך אחת, והישר [[משיק]] למעגל. כאשר <math> r^2(a^2+b^2)-c^2 < 0</math>, הישר והמעגל אינם נחתכים.

[[קובץ:Is-circle-circle-2x.svg|150px|ממוזער|שמאל|חיתוך בין שני מעגלים. הקן האדום הוא ה[[ציר רדיקלי|ציר הרדיקלי]] שלהם]]

===שני מעגלים===
הצורה המתקבלת מחיתוך של שני מעגלים קרויה [[עדשה (גאומטריה)|עדשה]]. כאשר שני המעגלים הם בעלי אותו [[רדיוס]], והמרכז של כל אחד מהם נמצא על היקפו של האחר, העדשה המתקבלת קרויה [[וסיקה פיסקיס]].

==חיתוך במרחב תלת-ממדי==
===ישר ומישור===
[[קובץ:Schnittp-ger-eb-s.svg|150px|ממוזער|שמאל|חיתוך בין ישר ומישור]]
ישר שאינו מקביל למישור ואינו מוכל במישור חותך את המישור בנקודה אחת. הישר במרחב מוצג פרמטרית <math> (x(t),y(t),z(t)) </math> והמישור מוצג במשוואה <math>ax+by+cz=d</math>. הצבת ההצגה הפרמטרית במשוואה נותנת
:<math>ax(t)+by(t)+cz(t)=d</math>
לפרמטר <math>t_0</math> של נקודת החיתוך <math>(x(t_0),y(t_0),z(t_0))</math>.

כאשר למשוואה אין פתרון, הישר מקביל למישור או מוכל בו.

[[קטגוריה:גאומטריה]]

==ראו גם==
*[[דיאגרמת ון]]