הצגת המקור של הדף "חלום המתחיל (מתמטיקה)"

{{מקורות|סיבה=המקורות שבורים|נושא=מדע וטכנולוגיה|רמה=שיפור|תאריך=14 בדצמבר 2024}}[[קובץ:Freshman's Dream.svg|ממוזער|איור של "חלום השנה הראשונה" בשני ממדים. כל צלע של הריבוע היא באורך X+Y. שטח הריבוע הוא סכום שטח האזור הצהוב (=X<sup>2</sup>), שטח האזור הירוק (=Y<sup>2</sup>), ושטח שני האזורים הלבנים (=2×X×Y).]]

'''חלום השנה הראשונה''' הוא כינוי לשוויון השגוי <math>(x+y)^n=x^n+y^n</math>, שבו <math>n</math> הוא [[מספר ממשי]] (בדרך כלל [[מספר שלם|שלם]] חיובי הגדול מ-1) ו-<math>x,y</math> הם מספרים ממשיים שאינם אפס. תלמידים מתחילים נוהגים לטעות בחישוב [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] של סכום מספרים ממשיים, בהניחם בטעות כי חזקות [[חוק הפילוג|מתפלגות]] על סכומים.<ref>Julio R. Bastida, ''Field Extensions and Galois Theory'', Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.</ref><ref>Fraleigh, John B., ''A First Course in Abstract Algebra'', Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, {{ISBN|0-201-53467-3}}.</ref>

החישוב הנכון של החזקה <math>(x+y)^n</math> נעשה על ידי [[משפט הבינום]]. למשל, כאשר <math>n=2</math>, [[נוסחאות הכפל המקוצר]] מראות שהביטוי <math>(x+y)^2</math> שווה ל-<math>x^2+2xy+y^2</math>, ולא ל-<math>x^2+y^2</math>.

השימוש בשם "חלום השנה הראשונה" מתייחס גם לעיתים למשפט הקובע כי עבור [[מספר ראשוני]] <math>p</math>, אם <math>x</math> ו-<math>y</math> הם איברים [[חוג חילופי|מתחלפים]] ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] בעל [[מאפיין (אלגברה)|מאפיין]] <math>p</math>, אז <math>(x+y)^p=x^p+y^p</math>. במקרה המסוים הזה, "הטעות" אכן נותנת את התוצאה הנכונה, שכן <math>p</math> מחלק את כל [[מקדם בינומי|המקדמים הבינומיים]] מלבד הראשון והאחרון, והופך את כל האיברים האמצעיים לאפס.

==דוגמאות==
*<math>(1+4)^2 = 5^2 = 25</math>, אבל <math>1^2+4^2 = 17</math>.
*<math>\sqrt{x^2+y^2}</math> לא שווה ל-<math>\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|</math>. לדוגמה, עבור 3 ו-4, מתקיים <math>\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5</math>, אבל זה לא שווה ל-{{nowrap|1=3 + 4 = 7}}. בדוגמה זו, הטעות נעשתה עם החזקה <math>n=1/2</math>.

==מאפיין ראשוני==

כאשר <math>p</math> הוא מספר ראשוני ו-<math>x</math> ו-<math>y</math> הם חברים ב[[חוג חילופי]] בעל [[מאפיין (אלגברה)|מאפיין]] <math>p</math>, אז <math>(x+y)^p=x^p+y^p</math>. ניתן להוכיח זאת באמצעות בחינת הגורמים הראשוניים של המקדמים הבינומיים:
:<math>\binom{p}{n} = \frac{p!}{n!(p-n)!}.</math>

המונה הוא <math>p</math> [[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]] (!), שהיא מתחלקת ב-<math>p</math>. עם זאת, כאשר <math>0<n<p</math>, גם <math>n!</math> וגם <math>(p-n)!</math> זרים ל-<math>p</math>, שכן כל הגורמים קטנים מ-<math>p</math> ו-<math>p</math> הוא מספר ראשוני. מכיוון שמקדם בינומי הוא תמיד מספר שלם, המקדמים הבינומיים עבור <math>n</math> בין <math>1</math> ל-<math>p-1</math> מתחלקים ב-<math>p</math> ולכן שווים ל-0 בחוג. נשארים המקדם הראשון והאחרון, ששניהם שווים ל-1, והתוצאה היא המשוואה הרצויה.

לכן, במאפיין <math>p</math>, חלום השנה הראשונה מתקיים. תוצאה זו מראה שהעלאה בחזקת <math>p</math> יוצרת [[אנדומורפיזם]], הידוע כ[[אנדומורפיזם פרובניוס]] של החוג.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{ערך יתום}}
[[קטגוריה:מספרים ראשוניים]]