הצגת המקור של הדף "חלקיק חופשי"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[פיזיקה]], '''חלקיק חופשי''' הוא [[חלקיק]] הנע באופן חופשי ללא השפעת שום [[כוח (פיזיקה)|כוח]] (לא נע תחת שום השפעה של פוטנציאל חיצוני).

בעיית החלקיק החופשי היא אחת הבעיות הפיזיקליות הפשוטות ביותר וניתנת לפתרון באופן מדויק במסגרות תאורטיות שונות ([[מכניקה קלאסית]], [[מכניקה קוונטית]] ועוד). הבעיה משמשת כדוגמה ראשונית בלימוד התאוריות הנ"ל ובסיס לפתרון בעיות מסובכות יותר.

== במכניקה קלאסית ==
עבור חלקיק הנע במימד אחד, הצבת <math>F=0</math> ב[[החוק השני של ניוטון|חוק השני של ניוטון]], נותנת:
:<math>\ m \ddot{x} = 0</math>.

פתרון המשוואה על ידי [[אינטגרל|אינטגרציה]] נותן את משוואת התנועה של חלקיק חופשי במימד אחד:
: <math>\ x(t) = x_0 + v_0 t</math>
כאשר <math>\ x_0, v_0</math> הם קבועים שנקבעים לפי [[תנאי התחלה|תנאי ההתחלה]].

ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה משוואת התנועה תהיה:
: <math>\ \vec{x}(t) = \vec{x_0} + \vec{v_0} t</math>

מן הפתרונות ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה ב[[קו ישר]].

==ב[[מכניקה אנליטית]]==

ה[[לגרנז'יאן]] של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:
: <math>\ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2</math>

עבור חלקיק רב-ממדי, <math>\vec{x}</math> יהיה וקטור d-[[ממד (פיזיקה)|ממד]]י, ואז:
: <math>\ L = \frac{1}{2} m \left( \frac{ d \vec{x}}{dt} \right)^2</math>

מביטויים אלו ניתן לקבל את משוואת התנועה של חלקיק חופשי באמצעות [[משוואות אוילר-לגראנז']].

ה[[המילטוניאן]] של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:
: <math>\ H = \frac{p^2}{2 m}</math>
כאשר p הוא ה[[תנע]] של החלקיק.

== במכניקת הקוונטים ==

ב[[מכניקת הקוונטים]] החלקיק החופשי מתואר על ידי [[פונקציית גל]] שפותרת את [[משוואת שרדינגר]]
: <math>\ i \hbar \frac{\partial \psi (\vec{x})}{\partial t} = H \psi ( \vec{x} )</math>
כאשר
: <math>\ H = \frac{p^2}{2 m} = \frac{ \hbar ^2 k^2}{2m} = - \frac{\hbar^2}{2m} {\nabla}^2</math>
הוא ה[[המילטוניאן]] של חלקיק חופשי.

הפונקציות העצמיות הן [[גל מישורי|גלים מישוריים]]
: <math>\ \psi ( \vec{x} ) = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i \vec{p} \cdot \vec{x} / \hbar} = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} } </math>
ומתאימים למצב בו לחלקיק יש [[תנע]] מוגדר. האנרגיות שלהם הן
: <math> \ \hbar \omega = E_k = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m}</math>

הפתרון הכללי הוא [[סופרפוזיציה]] של גלים מישוריים:
: <math>\left.\right.
\psi(\vec{x}, t) = \int
\phi(\vec{k})e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}
d\vec{k}
</math>

[[אינטגרלי מסלול|אינטגרל מסלול]] של חלקיק חופשי הוא:
: <math> \ \psi_{x_0}(x_f,t) = G(x_f, t ; x_0, 0) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar t}} \exp{ \left( \frac{i m}{2 \hbar t} (x_f - x_0)^2 \right) } </math>

== בתורת שדות ==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}

== ראו גם ==
* [[נפילה חופשית]]
* [[תנועה בליסטית]]

[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]