הצגת המקור של הדף "חסימות במידה אחידה"

ב[[מתמטיקה]], [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] של [[פונקציה|פונקציות]] היא '''חסומה במידה אחידה''' אם כל הפונקציות מהקבוצה [[פונקציה חסומה|חסומות]] על יד אותו קבוע. בשקילות, משפחת הפונקציה חסומה כאשר איחוד ה[[פונקציה|תמונות]] של כל הפונקציות השייכות לקבוצה הוא [[קבוצה חסומה]]. [[סדרת פונקציות]] <math>\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> היא '''חסומה במידה אחידה''' אם קבוצת כל הפונקציות שבסדרה חסומה במידה אחידה. 

ב[[אנליזה פונקציונלית]], [[משפט בנך-שטיינהאוס]] מספק [[תנאי מספיק|תנאים מספיקים]] לחסימות במידה אחידה של  קבוצה של אופרטורים.

==הגדרה פורמלית==
===הציר הממשי והמישור המרוכב===
תהי <math>\mathcal F=\{f_i: X \to K, i \in I\}</math>  משפחה של פונקציות עם <math>X</math> קבוצה כלשהי, <math>I</math> קבוצת אינדקסים ו-<math>K</math> [[שדה המספרים הממשיים]] או [[מספר מרוכב|המרוכבים]].  <math>\mathcal F</math> '''חסומה במידה אחידה''' אם קיים מספר ממשי <math>M</math> כך שמתקיים:
<center>
<math>\forall i \in I \, \forall x \in X:\,\,\, |f_i(x)|\le M </math>.
</center>

===מרחב מטרי===
ביתר כלליות, אם <math>Y</math> [[מרחב מטרי]] עם מטריקה <math>d</math>, אז הקבוצה <math>\mathcal F=\{f_i: X \to Y, i\in I\}</math>  נקראת '''חסומה במידה אחידה''', אם קיים איבר <math>a \in Y</math> ומספר ממשי <math>M</math> כך שמתקיים <math>\forall i \in I \, \forall x \in X:\,\,\,  d(f_i(x), a) \leq M </math>.

==דוגמאות==
* כל סדרת פונקציות אשר [[התכנסות במידה שווה|מתכנסת במידה שווה]] בתחום נתון היא חסומה במידה אחידה על התחום.
* סדרת הפונקציות <math>f_n(x)=\sin nx\,</math> כך ש-<math>x</math> ממשי ו-<math>n</math> [[מספר שלם|שלם]] חסומה במידה אחידה על כל הישר הממשי; החסם הוא 1.
* סדרת ה[[נגזרת|נגזרות]] של הפונקציות מהדוגמה שלעיל,'''<math>f'_n(x)=n cos nx</math>''', '''אינה''' חסומה במידה אחידה על כל הישר: סדרת הערכים <math>\{f_n'(2 \pi)\}</math> איננה חסומה.

== ראו גם ==
* [[פונקציה חסומה]]
* [[קבוצה חסומה]]
* [[משפט בנך-שטיינהאוס]]

[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]