הצגת המקור של הדף "חפיפת מטריצות"

{{לשכתוב|נושא=מדעי הטבע|כל הערך=כן|סיבה=פתיח לא מדויק, דוגמאות שגויות או חסרות}}
ב[[אלגברה ליניארית]], מושג '''החפיפה''' מתייחס לקשר בין שתי מטריצות <math>A</math> ו-<math>B</math> כאשר קיימת מטריצה <math>P</math> הניתנת להפיכה כך שניתן לקבל את <math>B</math> מ-<math>A</math> על ידי שינוי הבסיס באמצעות המטריצה <math>P</math>. המשמעות היא ש-<math>B</math> ו-<math>A</math> מייצגים את אותה תבנית ביליניארית בבסיסים שונים. [[יחס חפיפה]] זה, כהגדרתו הוא גם [[יחס שקילות]], כלומר עבור כל מטריצות, <math>B</math> <math>A</math>ו-<math>C</math>, אם <math>A</math> חופפת <math>B</math> ו-<math>B</math> חופפת <math>C</math>, אז <math>A</math> חייבת גם לחפוף <math>C</math>. בנוסף, כל מטריצה חופפת את עצמה ואף מטריצה לא חופפת את מטריצת האפס. מושג החפיפה קשור קשר הדוק לרעיון של תוצרים פנימיים וניתן להשתמש בו כדי לקבוע מתי שתי מטריצות מייצגות את אותו מכפלה פנימית.

מטריצה היא מערך מלבני של מספרים, סמלים או ביטויים, המסודרים בשורות ובעמודות. מטריצות משמשות לעיתים קרובות לייצוג טרנספורמציות ליניאריות וניתן להוסיף, להחסיר ולהכפיל אותן לפי כללים מסוימים.

==הגדרה==
תהיינה <math>A, B\in\ \mathbb{F}^{n \times n}</math> מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]] <math>P\in\ \mathbb{F}^{n \times n}</math>,

כך ש: <math>B=P^*AP </math>, כאשר <math>P^*</math> הוא [[אופרטור הרמיטי|הצמוד ההרמיטי]] של <math>P</math> (מעל שדה ממשי: <math>P^* = P^\top</math> ([[שחלוף מטריצות]]) אך מעל [[שדה המספרים המרוכבים]]: <math>P^* = \bar{P}^\top</math>, כלומר: לשחלוף נוספת [[צמוד מרוכב|הצמדה מרוכבת]]).

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה [[תבנית ביליניארית]] ב[[בסיס (אלגברה)|בסיסים]] שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה <math>A\in\ \mathbb{F}^{n \times n}</math> מייצגת מכפלה פנימית [[אם ורק אם]] היא חופפת ל[[מטריצת היחידה]] <math>I</math>.{{ש}}

'''הוכחה''':{{ש}}
נניח כי <math>A</math> חופפת ל-<math>I</math>. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש-<math>A=P^*IP=P^*P</math>. לכן <math>A^*=(P^*P)^*=P^*P=A</math>.

כלומר <math>A</math> [[הרמיטיות|הרמיטית]].
נותר להוכיח כי <math>A</math> [[מטריצה חיובית]]. יהא <math>\underline{b}\in\ \mathbb{F}^n</math>. אזי <math>\underline{b}^*A\underline{b}=\underline{b}^*P^*P\underline{b}=(P\underline{b})^*(P\underline{b})</math>.

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-<math>\mathbb{C}^n</math>, לכן <math>\underline{b}^*A\underline{b}= \langle P\underline{b},P\underline{b} \rangle =\|P\underline{b}\|^2\ge0</math>.

שוויון מתקבל אם ורק אם <math>P\underline{b}=\underline{0}</math>, וכיוון ש-<math>P</math> הפיכה, אזי השוויון יתקבל אם ורק אם <math>\underline{b}=\underline{0}</math>. כלומר <math>A</math> חיובית לחלוטין.

נניח כי <math>A</math> מייצגת מכפלה פנימית. אזי <math>A</math> הרמיטית וחיובית לחלוטין.

תהי <math>P</math> [[מטריצת מעבר]] מ[[הבסיס הסטנדרטי]] ל[[בסיס אורתונורמלי]] במובן הבא <math> \underline{v}_i^* A \underline{v}_j = \delta_{ij} </math> ([[הדלתא של קרונקר]]).

אזי <math>\ P^* A P = I</math> שכן <math>\delta_{ij} = \underline{v}_i^* A \underline{v}_j = \underline{e}_i^* P^* A P e_j = (P^*AP)_{ij} </math>.
'''מ.ש.ל.'''

==דוגמאות==
=== דוגמה 1===
נתונות המטריצות הבאות:

<math>B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7   \end{bmatrix}, A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}</math>

כפי שמוצג בדוגמה הקודמת, נוכל למצוא מטריצה הפיכה <math>P</math> המקיימת <math>B = P^*AP</math>, ולכן <math>A</math> ו-<math>B</math> חופפות.
=== דוגמה 2 ===

נתונות המטריצות הבאות:

<math>B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0   \end{bmatrix}, A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math>

לא ניתן למצוא מטריצה הפיכה <math>P</math> המקיימת <math>P^*AP = B</math>, ולכן <math>A</math> ו-<math>B</math> אינן חופפות.

== שימושים ==
#'''משפט הפירוק הספקטרלי''': [[משפט הפירוק הספקטרלי]] קובע שכל מטריצה נורמלית (מטריצה שהיא גם הרמיטית וגם יחידה) ניתנת ללכסון על ידי מטריצה יחידה. המשמעות היא שקיימת מטריצה יחידה <math>P</math> כך ש-<math>P^*AP</math> היא [[מטריצה אלכסונית]].
#'''פירוק לערכים סינגולריים''': [[פירוק לערכים סינגולריים]] היא שיטה הקובעת שכל מטריצה <math>A</math> ניתנת לפירוק למכפלה של שלוש מטריצות: <math>A = U * S * V^*</math>, כאשר <math>U</math> ו-<math>V</math> הן מטריצות יחידות ו-<math>S</math> היא מטריצה אלכסונית. פירוק זה ייחודי עד לבחירת הסימנים של העמודים של <math>U</math> ו-<math>V</math>.
#'''מכפלה פנימית''': מטריצה A מייצגת מכפלה פנימית [[אם ורק אם]] היא [[עלה בקנה אחד|עולה בקנה אחד]] עם מטריצת היחידה <math>I</math>, כלומר קיימת מטריצה <math>P</math> הניתנת להפיכה כך ש-<math>A = P^*IP</math>.
#'''תהליך גרם-שמידט''': [[תהליך גרם-שמידט]] הוא אלגוריתם לבניית בסיס אורתונורמלי מקבוצה נתונה של [[וקטור (פיזיקה)|וקטורים]]. הוא מסתמך על הרעיון של חפיפה בין וקטורים למכפלה הפנימית.
#'''מכניקת הקוונטים''': ב[[מכניקת הקוונטים]], החפיפה של שתי פונקציות גלים היא מדד לדמיון ביניהן. החפיפה של שתי [[פונקציית גל|פונקציות גל]] ניתנת על ידי המכפלה הפנימית של פונקציות הגל, שניתן לייצג אותה כמטריצה.
#'''עיבוד אותות''': ב[[עיבוד אותות]], ניתן להשתמש במטריצות לייצוג אותות וניתן לקבוע את החפיפה בין שני אותות על ידי חישוב החפיפה בין המטריצות המתאימות.
#'''ניתוח נתונים''': ב[[ניתוח נתונים]], ניתן להשתמש במטריצות לייצוג מערכי נתונים וניתן לקבוע את החפיפה בין שני [[מערך (מבנה נתונים)|מערכי נתונים]] על ידי חישוב החפיפה בין המטריצות המתאימות.
#'''עיבוד תמונה''': ב[[עיבוד תמונה]] ניתן להשתמש במטריצות לייצוג תמונות וניתן לקבוע את החפיפה בין שתי תמונות על ידי חישוב החפיפה בין המטריצות המתאימות.

{{אלגברה ליניארית}}
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מטריצות]]
[[קטגוריה:יחסי שקילות]]