הצגת המקור של הדף "טבלת אמת"

'''טבלת אמת''' היא [[טבלה]] שמשמשת ב[[לוגיקה בוליאנית]] וב[[תחשיב הפסוקים]] כדי להציג את כל הערכים האפשריים ש[[ביטוי (מתמטיקה)|ביטוי]] מסוים יכול לקבל, בהתאם לערכים האפשריים של מרכיבי הביטוי, והיא מאפשרת לדעת מתי טיעון הוא [[תקפות (לוגיקה)|תקף]]. 

טבלאות אמת מראות את הערכים שמתקבלים כאשר מבצעים [[פעולה בוליאנית|פעולות בוליאניות]] על ביטויים לוגיים, כלומר כאשר ה[[קשר לוגי|קשרים הלוגיים]] נתפסים כפונקציות של ערכי האמת של הפסוקים שהם מקשרים. הפעולות הלוגיות הנחשבות סטנדרטיות הן ה[[לא (לוגיקה)|שלילה]], הקוניונקציה "[[וגם (לוגיקה)|וגם]]", הדיסיונקציה "[[או (לוגיקה)|או]]", פעולת התנאי או הגרירה ("[[אם-אז]]"), ופעולת התנאי הכפול ("[[אם ורק אם]]").

טבלאות האמת הופיעו לראשונה בעבודותיהם של [[גוטלוב פרגה]], [[צ'ארלס פרס]] ואחרים מ[[שנות ה-80 של המאה ה-19]]. הן הגיעו לצורתן הנוכחית ב-[[1922]] בעבודתם של [[אמיל פוסט]] ו[[לודוויג ויטגנשטיין]].

הן שימושיות במיוחד הן לשם חישוב תוצאותיהם של ביטויים בוליאניים, הן ככלי סמנטי עבור [[תחשיב הפסוקים]], הן ככלי להוכחת [[תקפות (לוגיקה)|תקפותם]] של טיעונים בתחשיב זה.

==טבלאות אמת בסמנטיקה של תחשיב הפסוקים==
במסגרת הסמנטיקה של  [[תחשיב הפסוקים]], כל פסוק יסודי יכול לקבל אחד משני [[ערך אמת|ערכי אמת]]: "אמת" או "שקר", ובלבד שהוא מקבל את אותו ערך בכל הופעה שלו באותו טיעון. כל קשר לוגי מובן כ[[פונקציה|פונקציית]]-אמת, דהיינו עבור כל צירוף של ערכי אמת, מחזיר הקשר ערך אמת אחד ויחיד. לדוגמה, השלילה מחזירה פסוק שקרי עבור כל פסוק אמיתי אליו היא מקושרת, ומחזירה פסוק אמיתי עבור כל פסוק שקרי. נוח לייצג פונקציות אמת באמצעות טבלת אמת, בהן T ו-F מייצגים את הערכים אמת ושקר, בהתאמה. בטורים הימניים של הטבלה אנו ממצים את כלל הצירופים האפשריים של ערכי האמת הניתנים לפסוקים היסודיים, ובטורים השמאליים אנו מציגים את ערך האמת המתקבל עבור הפסוק המורכב:

{| align=center border=0 cellpadding=8

| טבלת האמת של שלילה
{| style=text-align:center border=1 cellpadding=3
| <math>\neg P</math> || <math>P</math>
|-
| T || F
|-
| F || T
|}

| טבלת האמת של הקוניונקציה
{| style=text-align:center border=1 cellpadding=3
| <math>P\land Q</math>
| <math>Q</math>
| <math>P</math>
|-
| T || T || T
|-
| F || F || T
|-
| F || T || F
|-
| F || F || F
|}

| טבלת האמת של הדיסיונקציה
{| style=text-align:center border=1 cellpadding=3
| <math>P\lor Q</math>
| <math>Q</math>
| <math>P</math>
|-
| T || T || T
|-
| T || F || T
|-
| T || T || F
|-
| F || F || F
|}

| טבלת האמת של התנאי
{| style=text-align:center border=1 cellpadding=3
| <math>P\to Q</math>
| <math>Q</math>
| <math>P</math>
|-
| T || T || T
|-
| F || F || T
|-
| T || T || F
|-
| T || F || F
|}

|טבלת האמת של התנאי הכפול
{| style=text-align:center border=1 cellpadding=3
| <math>P\lrarr Q</math>
| <math>Q</math>
| <math>P</math>
|-
| T || T || T
|-
| F || F || T
|-
| F || T || F
|-
| T || F || F
|}
|}

כל שיוך של ערכי אמת לפסוקים יסודיים נקרא '''פירוש'''  ("אינטרפרטציה") או הצבה. בטבלאות האמת, כל שורה היא פירוש. פסוק מורכב המקבל את הערך "אמת" בכל פירוש של הפסוקים היסודיים (כלומר כזה שבטבלת האמת שלו הוא מקבל T בכל השורות, נקרא [[טאוטולוגיה (לוגיקה)|טאוטולוגיה]]. משמעות הדבר היא שפסוק זה הוא אמיתי בזכות הקשרים הלוגיים שבין רכיביו, ללא תלות באמיתותם של הפסוקים האטומיים עצמם. פסוק המקבל את הערך "שקר" בכל פירוש נקרא '''סתירה'''.
פסוק הוא קונטינגנטי אם ורק אם אינו סתירה ואינו טאוטולוגיה. קבוצה של פסוקים נקראת '''עקבית''' (קונסיסטנטית) אם קיים פירוש עבורו כל הפסוקים בקבוצה מקבלות ערך "אמת".

===טבלאות אמת ככלי לבדיקת תקפות טיעונים===
טבלאות האמת הן כלי נוח לשם בדיקת [[תקפות (לוגיקה)|תקפותם]] של טיעונים ([[היסק]]ים) בתחשיב הפסוקים. הטכניקה של טבלאות אמת מאפשרת לבטא את ערכי האמת של כל פסוק מורכב במונחי ערכי האמת של הפסוקים המרכיבים אותו, וכאשר הטבלה גמורה, ניתן לבדוק האם ישנם מצבים בהם ההנחות של הטיעון אמיתיות אבל המסקנה שקרית. אם יש שורה כזו בטבלה, הרי שהטיעון אינו תקף, שהרי זו דוגמה נגדית. אולם אם אין שורה כזו, הראנו שהטיעון תקף. לדוגמה, ננסה לבדוק האם הטיעון הבא הוא תקף:


#השמש זורחת וגם אם האגם קפוא הברווזים עפים
#אם השמש זורחת האגם אינו קפוא
מסקנה: הברווזים לא עפים

תחילה יוצרנו הפסוקים האטומים על פי הלקסיקון הבא:
:<math>P</math>: השמש זורחת
:<math>Q</math>: האגם קפוא
:<math>R</math>: הברווזים עפים

הטיעון המוצרן נכתב כך:
#<math>P\land(Q\to R)</math>
#<math>P\to\neg Q</math>
מסקנה: <math>\neg R</math>

וטבלת האמת שלו היא:

{| style=text-align:center align=center border=1 cellpadding=3
| <math>\neg R</math>
| <math>P\to\neg Q</math>
| <math>P\land(Q \to R)</math>
| <math>R</math>
| <math>Q</math>
| <math>P</math>
|
|-
| F || F || T || T || T || T || 1
|-
| T || F || F || F || T || T || 2
|-
| F || T || T || T || F || T || 3
|-
| T || T || T || F || F || T || 4
|-
| F || T || F || T || T || F || 5
|-
| T || T || F || F || T || F || 6
|-
| F || T || F || T || F || F || 7
|-
| T || T || F || F || F || F || 8
|}

על פי ההצבה של שורה 3 בטבלה, ברור ששתי ההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית. זו מהווה דוגמה נגדית, ועל כן הטיעון אינו תקף.

==טבלאות אמת לחישוב תוצאותיהם של ביטויים בוליאניים== 
לשם חישוב תוצאותיהם של ביטויים ב[[אלגברה בוליאנית]], ניתן להשתמש בטבלאות אמת בהן הערכים מיוצגים על ידי 0 ו-1. לדוגמה:

{| align=center border=0 cellpadding=8

|טבלת האמת של "[[וגם (לוגיקה)|AND]]"
{| style=text-align:center align=center border=1 cellpadding=3
!colspan=2| קלטים !! תוצאה
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}

|טבלת האמת של "[[או (לוגיקה)|OR]]"
{| style=text-align:center align=center border=1 cellpadding=3
!colspan=2| קלטים !! תוצאה
|-
| 0 || 0 || 0
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 1
|}

|טבלת האמת של "[[XOR]]"
{| style=text-align:center align=center border=1 cellpadding=3
!colspan=2| קלטים !! תוצאה
|-
| 0 || 0 || 0
|-"
| 1 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 1 || 0
|}

|טבלת האמת של "[[שקילות (לוגיקה)|שקילות]]"
{| style=text-align:center align=center border=1 cellpadding=3
!colspan=2| קלטים !! תוצאה
|-
| 0 || 0 || 1
|-
| 1 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 1 || 1
|}

|טבלת האמת של "Not"
{| style=text-align:center align=center border=1 cellpadding=3
! קלט !! תוצאה
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 0
|}
|}

והרי דוגמה לטבלת אמת המראה תוצאה של ביטויים מורכב יותר:

{| align=center border=0 cellpadding=8
|-
| טבלת האמת של (Not(A And B
{| style=text-align:center align=center border=1 cellpadding=5
|-
!colspan=2| קלטים
! A And B
! Not(A And B)
|-
| 0 || 0 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 1
|-
| 1 || 1 || 1 || 0
|}
|}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
*{{אנציקלופדיה למתמטיקה|Truth_table}}
*{{MathWorld|TruthTable}}
{{ויטגנשטיין}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:לוגיקה]]
[[קטגוריה:לוגיקה בוליאנית]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]
[[קטגוריה:מעגלים ספרתיים]]
[[קטגוריה:לודוויג ויטגנשטיין]]