הצגת המקור של הדף "טווח (סטטיסטיקה)"

ב[[סטטיסטיקה]], '''הטווח''' של המדגם הוא ההפרש בין הערך הגדול במדגם לערך הקטן. הוא מבוטא באותן [[יחידת מידה|יחידות]] כמו הנתונים.

בסטטיסטיקה [[סטטיסטיקה תיאורית|תיאורית]], טווח המדגם הוא גודל המרווח הקטן ביותר המכיל את כל הנתונים ומספק אינדיקציה לפיזור סטטיסטי.

== התפלגות טווח של מדגם מקרי ==
עבור <math>n</math> משתנים מקריים <math>X_1,X_2,...,X_n</math> נסמן ב-<math>T</math> את הטווח שלהם, שמוגדר ע"י,

<math display="block">T=Max(X_1,X_2,...,X_n)- Min(X_1,X_2,...,X_n)</math>.

מאחר שהמקסימום הוא [[סטטיסטי הסדר]] ה-<math>n</math> והמינימום הוא סטטיסטי הסדר ה-1 ניתן לכתוב באופן שקול בקצרה, <math display="inline">T=X_{(n)}- X_{(1) }</math>.

=== התפלגות ===
עבור ''<math>n</math>'' משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים ושווי התפלגות <math>X_1,X_2,...,X_n</math> עם [[פונקציית התפלגות]] [[פונקציה רציפה בהחלט|רציפה בהחלט]] <math>F(x)</math> ופונקציית [[פונקציית צפיפות|צפיפות]] <math>f(x)</math>

לטווח <math>T</math>, יש את פונקציית ההתפלגות, 

<math display="inline">F_T(t)= n \int_{-\infty}^\infty f(x )[F(x+t)-F(x) ]^{n-1}\text{d}x</math>.

=== פונקציית הצפיפות ===
:אם נגזור את פונקציית ההתפלגות נקבל את פונקציית הצפיפות,
:: <math>f_{T}(t)= n(n-1)\int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2} \, \text{d}x</math>

=== תוחלת ===
תוחלת הטווח ניתנת על ידי על ידי

:: <math>E [ T ]= n \int_{-\infty}^\infty x [F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}] \,f( x ) \text{d}x</math>.

====== הוכחה ======
נובע מכך שהטווח הוא ההפרש בין המקסימום (סטטיסטי הסדר ה-<math>n</math>) לבין המינימום (סטטיסטי הסדר ה-1) ולכן גם התוחלת של הטווח היא ההפרש בין התוחלות של המקסימום והמינימום.

<math display="block">E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)} ]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)} ]</math>

<math display="block">=n\int_{-\infty}^{\infty}f(x)F(x )^{n-1} dx-n\int_{-\infty}^{\infty}f(x)(1-F(x ) )^{n-1} dx</math>

מכאן התוצאה מתקבלת ממיזוג האנטגרלים.

====== מ.ש.ל ======
כאשר פונקציית הצפיפות <math>f</math> דועכת מספיק מהר בזנבות ההתפלגות, כלומר מקיימת  <math>\lim_{x\rightarrow\infty} x^2f(x)=0</math>  וגם <math>\lim_{x\rightarrow\infty} x^2f(-x)=0</math>, אז מתקיים,

<math display="block">E[T]=\int_{-\infty}^{\infty}\left[1-F(x )^{n} - (1-F(x ) )^{n}\right] \text{d}x</math>

====== הוכחה ======
הראינו כי

<math display="block">E [ T ]= n \int_{-\infty}^\infty x [F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}] \,f( x ) \text{d}x</math>

מההגדרה של [[אינטגרל לא אמיתי]],

<math display="block">= \lim_{u\rightarrow \infty }n \int_{-u }^u x [F(x )^{n-1}-(1-F(x))^{n-1} ] \,f( x ) \text{d}x</math>

[[אינטגרציה בחלקים]],

<math display="block">= \lim_{u\rightarrow \infty } \left[ x [F(x )^{n}+(1-F(x))^{n} -1 ] \right]_{-u}^u-
 \lim_{u\rightarrow \infty }\int_{-u }^u[F(x )^{n}+(1-F(x))^{n} -1 ]\text{d}x </math>

נראה שהחלק השמאלי של הביטוי מתאפס ואז החלק הימני נותן את התוצאה המבוקשת,

<math display="block"> \lim_{u\rightarrow \infty } \left[ x [F(x )^{n}+(1-F(x ) )^{n} -1 ] \right]_{-u}^u   </math>

<math display="block"> = \lim_{u\rightarrow\infty} u [F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} -1 ]+u [F(-u )^{n }+(1- F(-u ) )^{n } -1 ]   </math>

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty}u\left(F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} + F(-u )^{n }+(1-F(-u ) )^{n }\right) 
 </math>

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty} \frac{F(u )^{n}+(1-F(u ) )^{n} + F(-u )^{n }+(1-F(-u ) )^{n }}{1/u} 
 </math>

נפעיל את [[כלל לופיטל]],

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty} n\frac{f(u)\left[F(u )^{n-1}-(1-F(u ) )^{n-1} \right]+f(-u)\left[ F(-u )^{n-1 }-(1-F(-u ) )^{n-1 } \right]}{-1/u^2} 
 </math>

על סמך תכונות פונקציית ההתפלגות, <math>\lim_{u\rightarrow\infty }F(u)=1</math>ו- <math>\lim_{u\rightarrow\infty }F(-u)=0</math>, ועל סמך הנתון כי <math>\lim_{u\rightarrow\infty} u^2f(u)=0</math> ו- <math>\lim_{u\rightarrow\infty} u^2f(-u)=0</math> נקבל את התוצאה המבוקשת,

<math display="block"> =\lim_{u\rightarrow\infty} n u^2 f(u )\left[(1-F(u ) )^{n-1 }-F(u )^{n-1 } \right]+
\lim_{u\rightarrow\infty} n u^2 f(-u)\left[ (1-F(-u ) )^{n-1 }-F(-u )^{n-1 } \right]=0 
 </math>

====== מ.ש.ל ======

== התפלגות טווח של מדגם מקרי הלקוח מהתפלגויות שונות ==
עבור ''<math>n</math>'' משתנים אקראיים <math>X_1,X_2,...,X_n</math> עם פונקציות התפלגות רציפות בהחלט, <math>F_1(x),F_2(X),...,F_n(X)</math>

ופונקציות צפיפות <math>f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)</math>, לטווח <math>T</math> יש פונקציית ההתפלגות:

:: <math>F_T(t) = \sum_{i=1}^n \int_{-\infty}^\infty f_i (x) \prod_{j=1, j \neq i}^n [F_j(x+t)-F_j(x)] \, \text{d}x</math>

== פונקציית הסתברות של טווח מדגם מקרי הלקוח מתוך התפלגות אחידה בדידה ==
אם המדגם לקוח מ[[התפלגות אחידה בדידה|ההתפלגות האחידה הבדידה]], <math>X_1,X_2,...,X_n\sim U (1,N)</math> אז

:: <math>P(T=t) = \begin{cases}
\frac{1}{N^{n-1}} & t=0 \\[4pt]
(N-t)\left(\left[\frac{t+1}{N}\right]^n -2\left[\frac{t}{N}\right]^n +\left[\frac{t-1}{N}\right]^n
\right) & t=1,2,3\ldots ,N-1
\end{cases}</math>

== הטווח כאומד-<math>L</math> ==
הטווח הוא [[צירוף ליניארי]] של [[סטטיסטי הסדר]], ולכן הוא [[אומד-L|אומד-<math>L</math>]].

== ראו גם==
{{קישורי פורטל|Mathematics}}
* [[טווח בין-רבעוני|טווח בין רבעוני]]
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]