הצגת המקור של הדף "טופולוגיה"

{{פירוש נוסף|
נוכחי=ענף המתמטי טופולוגיה|
אחר=מבנה המתמטי טופולוגיה|
ראו=[[מרחב טופולוגי]]}}
[[קובץ:Möbius strip.jpg|ממוזער|240px|[[טבעת מביוס]], עצם בעל משטח יחיד: מבנים כאלה הם נושא למחקר בטופולוגיה]]
'''טופולוגיה''' היא ענף ב[[מתמטיקה]] העוסק בחקר התכונות של ה[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] הנשמרות תחת דפורמציות רציפות (עיוותי צורה כמו כיווץ, מתיחה, ניפוח). הטופולוגיה התפתחה מה[[גאומטריה]], אבל שלא כמו [[גאומטריה אוקלידית]], עניינה של הטופולוגיה אינו בחקר תכונות של המרחב שמקורן במושג ה[[מטריקה]] כגון המרחק בין נקודות. במקום זאת, טופולוגיה עוסקת במחקר של אותן תכונות של המרחב המתארות את האופן שבו הוא מקובץ יחדיו, כגון [[קשירות]] ו[[אוריינטביליות]].

המילה ''טופולוגיה'' פירושה גם תחום של מחקר וגם משפחה של קבוצות בעלות תכונות מסוימות המגדירות [[מרחב טופולוגי]], האובייקט הבסיסי ביותר הנחקר בטופולוגיה. בעלות חשיבות בטופולוגיה הן אותן הדפורמציות הנקראות [[הומיאומורפיזם]]. בצורה לא פורמלית, ניתן לומר שהומיאומורפיזמים הם פונקציות המעוותות את המרחב, מותחות או מכווצות אותו, אך לא קורעות אותו או מחברות חלקים מנוגדים יחדיו. רעיון מרכזי ומופשט יותר הקשור בדפורמציות הוא [[שקילות הומוטופית]], שגם לו תפקיד מרכזי בטופולוגיה.

כאשר הדסיצפלינה הובחנה לראשונה כיאות, לקראת סוף [[המאה ה-19]], היא נקראה "geometria situs" ([[לטינית]]: גאומטריה של המקום) ו-"analysis situs" ([[לטינית]]: אנליזה של המקום). משנת [[1925]] עד שנת [[1975]] היא הייתה תחום מתפתח חשוב בתוך המתמטיקה.

טופולוגיה היא ענף רחב של המתמטיקה שיש לו תתי-תחומים רבים. החלוקה הבסיסית והמסורתית ביותר של טופולוגיה היא: [[טופולוגיה קבוצתית]] שמתבססת על ההיבטים היסודיים של הטופולוגיה וחוקרת מושגים כגון [[קומפקטיות]] ו[[קשירות]], [[טופולוגיה אלגברית]], שבאופן כללי מנסה למדוד דרגות של קשירות באמצעות בניות אלגבריות כגון [[חבורות ההומוטופיה]] ו[[הומולוגיה של מרחב טופולוגי|הומולוגיה]], ו[[טופולוגיה גאומטרית]], שחוקרת בעיקר [[יריעה|יריעות]] ואת ה[[שיכון (טופולוגיה)|שיכונים]] שלהן ביריעות אחרות.

== היסטוריה ==
[[קובץ:Konigsberg bridges.png|ממוזער|שמאל|240px|[[הגשרים של קניגסברג]] היא בעיה מפורסמת שנפתרה על ידי אוילר]]
הענף של מתמטיקה שכעת נקרא טופולוגיה התפתח מחיפוש אחר פתרון של בעיות מסוימות בגאומטריה. מאמרו של [[לאונרד אוילר]] משנת [[1736]] על [[הגשרים של קניגסברג|שבעת הגשרים של קניגסברג]] נחשב לאחת התוצאות הטופולוגיות הראשונות.

המונח "topologie" הוצג לראשונה ב[[גרמניה]] על ידי [[יוהאן בנדיקט ליסטינג]]. למעשה, הוא השתמש במונח הזה כבר עשר שנים קודם בהתכתבות."topology", הגרסה האנגלית של המילה, הוצגה בשנת [[1883]] בג'ורנל [[Nature]] על מנת להבדיל "גאומטריה איכותית מגאומטריה סטנדרטית בה מטפלים בעיקר ביחסים כמותיים". המונח '''טופולוגיסט''' במובן של [[מתמטיקאי]] המתמחה בטופולוגיה הוצג לראשונה ב-[[1905]] במגזין [[ספקטייטור]].

טופולוגיה מודרנית ביותר מתבססת מאוד על רעיונות מ[[תורת הקבוצות]], שפותחו על ידי [[גאורג קנטור]] בחלקה המאוחר של המאה ה-19. קנטור, בנוסף להנחת היסודות הרעיוניים של תורת הקבוצות, החשיב{{כלומר?}} קבוצות של נקודות ב[[מרחב אוקלידי]], כחלק מן המחקר שלו של [[טור פורייה|טורי פורייה]].

[[אנרי פואנקרה]] פרסם את המאמר ''[[analysis situs]]'' ב-[[1895]], המציג את הרעיונות של [[הומוטופיה]] ו[[הומולוגיה של מרחב טופולוגי|הומולוגיה]], שכעת נחשבים חלק מ[[טופולוגיה אלגברית]].

[[מוריס פרשה]], בעבודתו המאחדת את עבודתם על מרחבי פונקציות של קנטור, [[וולטרה]], [[ארזלה]], [[ז'אק אדמר|אדמר]], אסקולי ואחרים, הציג את ה[[מרחב מטרי|מרחב המטרי]] ב-[[1906]]. מרחב מטרי כעת נחשב מקרה פרטי של מרחב טופולוגי כללי. ב-1914, [[פליקס האוסדורף]] טבע את המונח '''מרחב טופולוגי''', ונתן את ההגדרה למה שכעת נקרא [[מרחב האוסדורף]]. בשימוש העכשווי, מרחב טופולוגי הוא אובייקט מעט כללי יותר ממרחב האוסדורף, שהגדרתו ניתנה לראשונה ב-1922.

להתפתחויות מאוחרות יותר, ראו [[טופולוגיה קבוצתית]] ו[[טופולוגיה אלגברית]].

== הקדמה אלמנטרית ==
מרחבים טופולוגיים מופיעים כמעט בכל ענפי המתמטיקה, ומכאן חשיבותה הרבה של הטופולוגיה.

ה[[תובנה]] שסיפקה [[תמריץ]] להתפתחות הטופולוגיה היא שכמה בעיות גאומטריות תלויות לא במבנה המדויק של העצמים המעורבים, אלא ב'''דרך''' שבה הם מקובצים יחדיו. לדוגמה, לריבוע ולמעגל יש תכונות רבות במשותף (מנקודת מבט טופולוגית): שניהם עצמים חד-ממדיים ושניהם מחלקים את המישור לשני חלקים - בתוכם ומחוץ להם.

אחת הבעיות הראשונות בטופולוגיה הייתה שאלת [[הגשרים של קניגסברג]], שנפתרה בידי [[לאונרד אוילר]], במסגרתה נקבע כי בלתי אפשרי למצוא מסלול שעובר דרך העיר [[קלינינגרד|קניגסברג]] שיחצה כל אחד משבעת הגשרים שלה בדיוק פעם אחת. תוצאה זו לא התבססה על אורך הגשרים, וגם לא על מרחקם אחד מהשני, אלא על תכונות הקשירות שלהם: אילו גשרים מחוברים לאילו איים או גדות נהר. בעיה זו, [[הגשרים של קניגסברג|שבעת הגשרים של קניגסברג]], היא כעת בעיה מפורסמת המוצגת רבות בהקדמות לקורסים במתמטיקה, והיא הוליכה לענף המתמטיקה הקרוי [[תורת הגרפים]].

[[קובץ:Mug and Torus morph.gif|ממוזער|ימין|240px|דפורמציה רציפה ([[הומוטופיה]]) בין [[ספל]] ל[[דונאט]] וחזרה - לשניהם יש טופולוגיה של [[טורוס]].]]
באופן דומה, [[משפט הכדור השעיר]] בטופולוגיה אלגברית טוען כי "לא ניתן לסרק את השיער שעל פני כדור כך שהשיער לא יבלוט, מבלי להשאיר [[קרחת]]". טענה זו מתקבלת על ידי רוב האנשים באופן אינטואיטיבי, אף על פי שהם עשויים לא לזהות את הניסוח המתמטי המדויק של המשפט, שאין [[שדה וקטורי|שדה]] [[וקטור משיק|וקטורים משיקים]] רציף על ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] שאינו מתאפס בנקודה אחת לפחות. כמו במקרה של הגשרים של [[קניגסברג]], התוצאה לא מתבססת על גודלה המדויק של הספירה, היא נכונה גם עבור [[אגס]]ים ולמעשה כל סוג של צורה חלקה, כל עוד אין לה [[חור]]ים.

במטרה לעסוק בבעיות הללו שאינן מסתמכות על הצורה המדויקת של העצמים, נדרש להבהיר על אילו תכונות הבעיות הללו כן מסתמכות. מצורך זה נוצר המושג של [[הומיאומורפיזם]]. אי האפשרות לחצות כל גשר פעם אחת בדיוק מתקיים בכל סידור של הגשרים שהומיאומורפי לזה שבקניגסברג, ואת משפט הכדור השעיר ניתן ליישם לכל מרחב שהומיאומורפי ל[[כדור (גאומטריה)|ספירה]].

באופן אינטואיטיבי, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם ניתן לעוות אחד מהשנים לצורה של השני מבלי לחתוך אותו או להדביק חלקים מנוגדים יחדיו. [[בדיחה]] ידועה מספרת כי טופולוגיסט אינו מבדיל בין ספל קפה ל[[דונאט]] (טורוס), ומכיוון ש[[טורוס]] גמיש מספיק ניתן לעיוות לצורתו של ספל קפה (כפי שנראה באנימציה), באמצעות יצירת גומה והרחבה מתמשכת שלו, שבמהלכה מכווצים את החור לידית.

[[הומיאומורפיזם]] יכול להיחשב ל[[שקילות טופולוגית|שקילות הטופולוגית]] הבסיסית ביותר. שקילות טופולוגית אחרת היא [[שקילות הומוטופיה]]. קשה יותר לתאר את המושג הזה מבלי להיכנס לפרטים הטכניים, אך התנאי ההכרחי הוא ששני עצמים "X" ו-"Y" הם שקולים הומוטופית אם קיים עצם נוסף "Z" כך ש-"Z" מכיל גם את "X" וגם את "Y" והוא ניתן לכיווץ בדרכים שונות ל-X ו-Y. מקרה חלקי ופשוט הוא כאשר אנו לוקחים את Z כאחד מ-X ו-Y, נניח X. במקרה זה, Y מוכל ב-X ו-X ניתן לכיווץ ל-Y.

ענף נוסף של הטופולוגיה, הנקרא "'''[[טופולוגיה קבוצתית]]'''" עוסק בחקירת [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]] באמצעות אוסף [[קבוצה פתוחה|הקבוצות הפתוחות]] שלהם. למעשה, אוסף הקבוצות הפתוחות של מרחב מסוים הוא מה שמגדיר את הטופולוגיה של אותו מרחב. הטופולוגיה הקבוצתית החלה כהכללה של [[חשבון אינפיניטסימלי|האנליזה על הישר הממשי]], בה הקבוצות הפתוחות מוגדרות כקבוצות המכילות [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות פתוחות]] לכל נקודה בקבוצה. הסביבות הבסיסיות הן "[[כדור (טופולוגיה)|הכדורים הפתוחים]]" <math>B(a,\varepsilon) = \{ x \in \mathbb{R} \ : \ |x-a| < \varepsilon \} </math>. ההכללה הראשונה של [[הישר הממשי]] היא [[מרחב מטרי]], כלומר: מרחב המצויד ב[[מטריקה]] המודדת מרחק בין כל שתי נקודות. בשלב הבא נחקרו מרחבים טופולוגיים שהם לא בהכרח מטריים. במרחבים אלה הטופולוגיה הוגדרה באמצעות קבוצות פתוחות, וכך גם [[רציפות (טופולוגיה)|רציפות]] של פונקציה בין מרחבים טופולוגיים. נושא מרכזי במרחבים אלה הם [[אקסיומות ההפרדה]]: באיזו מידה ניתן להפריד נקודות או קבוצות זרות באמצעות עטיפתן בקבוצות פתוחות זרות. מרחבים בהם ניתן להפריד שתי נקודות נקראים [[מרחב האוסדורף|מרחבי האוסדורף]]. תוצאות חשובות בנושא זה הם [[הלמה של אוריסון]] ו[[משפט טיטצה]]. מבחינה זו, המרחב שבו תכונות ההפרדה הן החזקות ביותר הוא [[מרחב מטרי|המרחב המטרי]]. נושא נוסף של מחקר בטופולוגיה קבוצתית הוא [[קבוצה קומפקטית|קומפקטיות]]. בישר הממשי קבוצה היא קומפקטית [[אם ורק אם]] היא [[קבוצה סגורה]] וחסומה. הטופולוגיה הקבוצתית מכלילה מושג זה למרחב טופולוגי כלשהו באמצעות שימוש במושג [[כיסוי פתוח]] - כלומר: כיסוי הקבוצה באוסף של קבוצות פתוחות - באופן הבא: קבוצה קומפקטית במרחב טופולוגי היא קבוצה שלכל כיסוי פתוח שלה יש תת-כיסוי סופי (כלומר ניתן לכסות אותה במספר סופי של קבוצות מתוך הכיסוי הפתוח הנתון). נושא מחקר נוסף הוא [[קבוצה קשירה|קשירות של מרחבים טופולוגיים]]. דוגמה לקבוצה מעניינת שנחקרה במסגרת הטופולוגיה הקבוצתית היא [[קבוצת קנטור]].

== רציפות והומיאומורפיזמים ==

[[קובץ:TrefoilKnot-01.png|שמאל|ממוזער|150px| קשר התלתן, הקשר ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאלי]] הפשוט ביותר ב[[תורת הקשרים]]]]
[[פונקציה]] מ[[מרחב טופולוגי]] אחד לאחר נקראת [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] אם הדמות ההופכית של כל קבוצה פתוחה היא גם פתוחה. אם הפונקציה ממפה את ה[[מספרים ממשיים|מספרים הממשיים]] למספרים הממשיים (שניהם מרחב עם טופולוגיה סטנדרטית), אז הגדרה זו של רציפות זהה להגדרה של רציפות שניתנת ב[[חשבון אינפיניטסימלי]]. אם פונקציה רציפה היא [[חד חד ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] והפונקציה ההופכית לפונקציה גם היא רציפה, אז היא נקראת [[הומיאומורפיזם]] וה[[תחום_הגדרה|תחום]] של הפונקציה הומיאומורפי ל[[טווח של פונקציה|טווח]]. דרך אחרת לחשוב על זה היא שלפונקציה יש הרחבה טבעית אל הטופולוגיה. אם שני מרחבים הם הומיאומורפיים, אז יש להם תכונות טופולוגיות זהות, והם נחשבים זהים מבחינה טופולוגית. ה[[קובייה]] והספירה הם הומיאומורפיים, כמו גם ספל קפה וה[[בייגלה]] (טורוס). אך המעגל אינו הומיאומורפי לטבעת.

==לקריאה נוספת==
* {{פא"ר|מספר=170|שם הספר=טופולוגיה קבוצתית|כותב=ד"ר דניאלה ליבוביץ|שנה=1997}}
{{ltr|
*James R. Munkres, '''Topology''', 2 Edition, Prentice Hall, 2000, {{ISBN|0-13-181629-2}}
}}

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=טופולוגיה}}
* {{MathWorld}}
* {{הרעיונות|topology|טופולוגיה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007541465705171|טופולוגיה}}

{{טופולוגיה}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:טופולוגיה|*]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]