הצגת המקור של הדף "טופולוגיה חלשה"

'''טופולוגיה חלשה''' היא [[מרחב טופולוגי|טופולוגיה]] שבה ה"מרחק" או ה"[[סביבה (טופולוגיה)|סביבות]]" מוגדרות באמצעות קבוצה של [[פונקציה רציפה|פונקציות רציפות]] על ה[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]]. נהוג להשתמש במונח זה כאשר מגדירים טופולוגיה שכזו על [[מרחב מטרי]] (ובפרט, [[מרחב בנך]]) שעליו קיימת כבר הטופולוגיה המטרית/הנורמית - שהיא טופולוגיה חזקה יותר.

==הגדרה פורמלית==

יהי <math>X</math> [[מרחב נורמי]] ותהי <math>\ F \subset C(X)</math> משפחה של [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]] על <math>X</math>. '''הטופולוגיה החלשה''' המתאימה ל-<math>F</math> היא הטופולוגיה הגסה ביותר (כלומר: עם אוסף הקבוצות הפתוחות הקטן ביותר האפשרי) שביחס אליה כל הפונקציות של <math>F</math> הן [[פונקציה רציפה|רציפות]]. [[תת בסיס]] טבעי לטופולוגיה חלשה הוא הבא:
<math>\ U \left( x_0 , f , \varepsilon \right) = \left\{ x \in X \ \ | \ \ | f(x_0) - f(x) | < \varepsilon \right\}
</math>
כאשר עוברים על כל הנקודות <math>\ x_0 \in X</math>, על כל <math>\ f \in F</math> ועל כל <math>\,\varepsilon > 0</math>. כלומר, האוסף <math>\ \mathbb{B} = \{U \left( x_0 , f , \varepsilon \right) | f \in F, \varepsilon > 0, x_0 \in X\} </math> הוא תת-בסיס לטופולוגיה החלשה המתאימה ל-<math>F</math>.

==תכונות==

* אם המשפחה <math>F</math> מפרידה נקודות (כלומר: לכל <math>x,y \in X</math> יש <math>f \in F</math> כך ש-<math>f(x) \neq f(y)</math>) אזי הטופולוגיה החלשה היא [[מרחב האוסדורף|האוסדורף]].
* [[גבול (מתמטיקה)|התכנסות]]: בטופולוגיה זו <math>\ x_n \to x </math> אם ורק אם לכל <math>\ f \in F</math> מתקיים ש-<math>\ f(x_n) \to f(x)</math>.
* [[משפט בנך-אלאוגלו]]: יהי <math>X</math> [[מרחב בנך]] ונגדיר טופולוגיה חלשה מעל [[המרחב הדואלי]] <math> \ X^*</math> על ידי <math>\ w(X)</math> כאשר <math>\ X \subset X^{**}</math> (כאן <math>X</math> משחק בתפקיד של <math>F</math> ואילו <math>\ C(X) \subset X^{**}</math>. אזי ב[[מרחב טופולוגי]] זה, הנקרא <math>w*</math>, מתקיים ש[[כדור יחידה|כדור היחידה]] הוא [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]].

==ראו גם==
* [[טופולוגיות אופרטוריות]]
* [[מרחב טיכונוף]]
* [[משפט טיכונוף]]
* [[אנליזה פונקציונלית]]

{{טופולוגיה}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:טופולוגיות|חלשה]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]