הצגת המקור של הדף "טופולוגיה מושרית"

ב[[טופולוגיה]], '''טופולוגיה מושרית''' (נקראת גם '''הטפולוגיה היחסית''', או '''טופולוגיית התת-מרחב''') היא טופולוגיה על תת-קבוצה של [[מרחב טופולוגי]] המתקבלת מהטופולוגיה של מרחב האם. הטופולוגיה המושרית היא הטופולוגיה החלשה ביותר האפשרית כך שהעתקת ההכלה היא [[רציפות|רציפה]].

יהי X מרחב טופולוגי עם [[טופולוגיה]] (אוסף [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]) O. יהי <math>\ Y \subset X</math> תת-קבוצה של X. נסמן את הטופולוגיה של Y ב- <math>\ O_Y</math> (זהו אוסף כל הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה המושרית). 
:<math>\ O_Y = \left\{ V\cap Y | \ V \in O \right\}</math>
או בניסוח מילולי:
* קבוצה <math>\ W \subset Y</math> היא קבוצה פתוחה ב- Y אם קיימת קבוצה V פתוחה ב- X  כך ש <math>\ W = Y \cap V</math>.
* קבוצה <math>\ M \subset Y</math> היא [[קבוצה סגורה]] ב- Y אם קיימת קבוצה F סגורה ב- X  כך ש <math>\ M = Y \cap F</math>.
אפשר לראות שזוהי באמת טופולוגיה על הקבוצה Y, שהתכונות שלה מושרות מהטופולוגיה על X.

מראש, Y יכולה להיות כל תת-קבוצה של X, ולא צריכה להיות דווקא קבוצה פתוחה או סגורה. יתר על כן, קיים אוסף רחב של תכונות של מרחבים טופולוגיים שהם '''תורשתיים''' כלומר המרחב X מוריש אותם לכל תת-מרחב שלו. מצד שני, קיימות תכונות רבות שהן לא תורשתיות ותכונות אחרות שהן חצי-תורשתיות (כלומר עוברות רק לתתי מרחב פתוחים או סגורים).

==דוגמאות==
הטופולוגיה הרגילה על [[שדה המספרים הרציונליים]] היא הטופולוגיה המושרית עליהם מ[[הישר הממשי]]. מהסיבה הזו שדה המספרים הרציונליים "יורש" את ה[[מטריקה]] של הישר הממשי והופכים למרחב מטרי. מצד שני אף על פי שהישר הממשי הוא [[קשירות (טופולוגיה)|קשיר]], מרחב הרציונליים אינו קשיר- כיוון שמתקיים: <math>\mathbb{Q} = \left( \ ( - \infty , \pi)\cap \mathbb{Q} \right) \cup \left( (\pi , \infty)\cap \mathbb{Q} \right)</math>.

קל לראות שבאופן כללי [[מטריזביליות]] היא תכונה תורשתית, בעוד שקשירות היא לא תורשתית, ואפילו לא חצי תורשתיות. כך גם [[מרחב האוסדורף|תכונת האוסדורף]], ו[[מרחב רגולרי|רגולריות]] הן תכונות תורשתיות, בעוד ש[[מרחב נורמלי|נורמליות]] היא לא תורשתית. [[מרחב קומפקטי|קומפקטיות]] היא חצי תורשתית כי היא עוברת בירושה לכל תת-מרחב סגור. לעומת זאת היא לא תורשתית לחלוטין: לדוגמה <math>\ (0,1) \subset [0,1]</math>
והקטע הסגור הוא קומפקטי, אך הקטע הפתוח לא קומפקטי.

{{טופולוגיה}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:טופולוגיות|מושרית]]