הצגת המקור של הדף "טורוס"

[[קובץ:Torus.png|שמאל|ממוזער|250px|טורוס]]
[[קובץ:Torus_cycles.png|שמאל|ממוזער|250px|הטורוס כמכפלת שני מעגלים]]
[[קובץ:Inside-out torus (animated, small).gif|ממוזער|שמאל|250px|טורוס מתהפך מבפנים החוצה, ולהפך]]
'''טורוס''' (מ[[לטינית]]: '''torus''', וברבים - '''tori''') הוא [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] המתקבל מסיבוב מעגל במרחב התלת-ממדי סביב [[ישר]] הנמצא במישור המעגל, ועובר מחוץ למעגל. עצמים מוכרים אשר להם צורת טורוס הם [[כעך]] ופנימית של גלגל.

זוהי צורה גאומטרית בסיסית הנחקרת במספר תחומים שונים במתמטיקה, כמו [[גאומטריה]], [[טופולוגיה]], [[טופולוגיה גאומטרית]], [[חבורת לי|חבורות לי]]. זהו אובייקט מרכזי במספר משפטי מיון, כמו מיון ה[[יריעה|יריעות]] ה[[קומפקטיות|קומפקטית]] (וללא שפה) ה[[יריעה ניתנת לכיוון|אוריינטביליות]] מגנוס 1, מיון [[משטח רימן]] ועוד.

==הגדרה==
===טופולוגית===
ב[[טופולוגיה]], מתארים את הטורוס הדו-ממדי כ[[מרחב מנה]] של [[ריבוע]], על ידי הדבקת זוגות הצלעות המקבילות באותו כיוון. ב[[משחק מחשב|משחקי מחשב]] רבים (למשל [[פק-מן]]) מתואר המרחב שבו משחקים על ידי מפה מלבנית, שבה אפשר לעבור מן הקצה העליון לתחתון ולהפך, וכן מן הקצה הימני לשמאלי, ולהפך. מבחינה טופולוגית, עולם כזה הוא טורוס. מכיוון שהריבוע הוא מכפלה של קטע אחד בקטע אחר, מרחב המנה המתקבל מזיהוי הצלעות המקבילות, גם הוא [[מרחב מכפלה]] - <math>\ S^1\times S^1</math> כאשר <math>\ S^1</math> הוא ה[[מעגל]].

===הצגה פרמטרית===
טורוס ניתן ל[[תיאור פרמטרי של עקום|תיאור פרמטרי]] בצורה הבאה:
:<math>x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \, </math>
:<math>y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \, </math>
:<math>z(u, v) = r \sin{v} \, </math>
כאשר u ו-v הם בקטע [0, 2π), {{כ}}R הוא המרחק בין מרכז המעגל המסתובב למרכז הטורוס, ו-r הוא ה[[רדיוס]] של המעגל המסתובב.

ב[[מערכת צירים קרטזית]] ניתן להגדיר את הטורוס באמצעות כל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] שמקיימות את המשוואה הבאה:
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2</math>

==טורוס n-ממדי==
הטורוס ה-<math>n</math> ממדי מוגדר כמרחב הטופולוגי <math>T^n=S^1 \times\dots \times S^1</math> 
(<math>n</math> פעמים). הוא מהווה הכללה של הטורוס הרגיל <math>T^2=S^1 \times S^1</math>.

דרך הסתכלות נוספת על הטורוס היא כמנה של <math>\mathbb{R}^n</math>, בה מזהים את הרשת של השלמים <math>\mathbb{Z}^n</math> (שהיא תת-חבורה סגורה [[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטית]]) - כלומר מחלקים בפעולת הזזות שלמות של חבורות, ומתקבל <math>T^n \cong \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n</math>. לדרך זו יש מספר שימושים, כמו ב[[חבורת לי|חבורות לי]]; היא גם משרה פעולת [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] (למעשה, חבורת לי אבלית) על הטורוס, שגם שווה ל[[מכפלה ישרה|מכפלה הישרה]] של פעולת הכפל הטבעית על <math>S^1</math>.

==מבנה טופולוגי==
===החבורה היסודית===
החבורה היסודית של ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] היא ה[[חוג המספרים השלמים#החבורה הציקלית האינסופית|חבורה הציקלית האינסופית]]. לכן, החבורה היסודית של מכפלת ספירות היא מכפלה של החבורה הזו, כלומר <math>\pi_1(T^n) =\mathbb{Z}^n </math>.

===מרחבי כיסוי===
[[מרחב כיסוי#מרחב הכיסוי האוניברסלי|מרחב הכיסוי האוניברסלי]] של <math>S^1</math> הוא [[הישר הממשי]], על ידי ההעתקה <math>p(r)=e^{2 \pi i r}</math>. בנוסף, מרחב כיסוי של מכפלת מרחבים המתקבל באופן טבעי הוא מכפלת כיסויים נתונים שלהם - ולכן מרחב כיסוי של הטורוס ה-<math>n</math> ממדי הוא <math>\mathbb{R}^n</math>. בפרט, לטורוס יש מרחב כיסוי אוניברסלי [[מרחב כוויץ|כוויץ]], ולכן זהו [[מרחב אספרי]] - מרחב לו רק [[חבורות ההומוטופיה|חבורת הומוטופיה]] לא טריוויאלית מסדר ראשון.

===חבורות ההומולוגיה===
[[הומולוגיה של מרחב טופולוגי|חבורת ההומולוגיה]] ה-<math>k</math> של הטורוס ה-<math>n</math> ממדי היא [[חבורה אבלית חופשית]] ב-<math>{n \choose k} </math> יוצרים, כלומר <math>\mathbb{Z}^{{n \choose k}}</math>. בפרט, [[מאפיין אוילר]] הוא אפס.

===כמשטח===
הטורוס ה-<math>n</math> ממדי הוא [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] [[קומפקטיות|קומפקטי]] סגור.

בכל [[חבורת לי]] קומפקטית וקשירה ניתן למצוא טורוס מממד מקסימלי.

===חבורת מחלקות ההעתקות===
לכל [[אוטומורפיזם]] <math>f:T^n \to T^n</math>, מתאים אוטומורפיזם <math>f_*: \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^n</math> - זוהי הפעלת ה[[פונקטור]] של העתקות ממרחבים טופולוגיים להעתקות על החבורה היסודית.

המיפוי <math>f \mapsto f_*</math> מגדיר [[הומומורפיזם]] חבורות <math>\operatorname{Aut}(T^n) \to GL_n(\mathbb{Z})</math>. העתקה זו היא על (למשל במקרה ה-2 ממדי, המטריצות היוצרות <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & \pm 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> מתקבלות), וה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה הוא אוסף ההעתקות ש[[איזטופויה|איזוטופיות]] להעתקת הזהות. 

ולכן, [[חבורת מחלקות ההעתקות]] של הטורוס (ה-2 ממדי) היא <math>GL_n(\mathbb{Z})</math>, ושני הומיאומורפיזמים <math>h_1,h_2 \in \operatorname{Aut}(T^n)</math> איזוטופיים אם ורק אם הם [[הומוטופיה (טופולוגיה)|הומוטופיים]].

==n-טורוס nT==
דרך יותר אינטואיטיבית להכליל את הטורוס היא בעזרת ה-<math>n</math>-טורוס: אינטואיטיבית, אם הטורוס הוא גלגל הצלה ליחיד, הכללה זו היא מספר גלגלי הצלה מחוברים לגלגל הצלה משפחתי אחד ארוך.

המרחב <math>nT</math> הוא [[סכום קשיר]] של <math>n</math> טורוסים <math>T=T^2</math>. כלומר, מוסיפים טורוס לטורוס על ידי הדבקת שתי סביבות מעגליות בתוך הטורוסים, וחוזרים על התהליך מספר סופי של פעמים.

באופן זה מתקבל [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] דו־ממדי סגור (כלומר קומפקטי ובלי שפה); זהו משטח אוריינטבילי מ[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] <math>n</math>, וכל משטח קומפקטי קשיר ואוריינטבילי מגנוס <math>n</math> הומיאומורפי ל-<math>n</math>-טורוס.

[[משפט ואן קמפן#דוגמאות בסיסיות|החבורה היסודית של nT]] מחושבת באמצעות [[משפט ואן קמפן]] (ראו בערך לפרטים) - היא שווה ל-
<center>
<math>\pi_1(nT) \cong \langle a_1,...,a_{2n} \mid [a_1,a_2]\cdot...\cdot[a_{2n-1},a_{2n}] \rangle</math>
</center>

את [[סדרת מאייר-ויאטוריס#n-טורוס|חבורות ההומולוגיה של nT]] מחשבים בעזרת [[סדרת מאייר-ויאטוריס]], והן
<center>
<math>\tilde{H}_{i}(nT)=\begin{cases}
\mathbb{Z}^{2n} & i=1\\
\mathbb{Z} & i=2\\
0 & i\neq1,2
\end{cases} </math>
</center>

==ראו גם==
*[[קשר טורוס]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:יריעות טופולוגיות]]
[[קטגוריה:צורות גאומטריות]]
[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים יחידאים]]