הצגת המקור של הדף "טור המספרים הטבעיים"

'''טור המספרים הטבעיים''' הוא תוצאת ה[[חיבור]] של [[סדרה (מתמטיקה)|סדרת]] ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], מ-[[1 (מספר)|1]] ועד [[אינסוף]] (<math>\ 1+2+3+\cdots</math>). [[טור (מתמטיקה)|טור]] זה אינו [[התכנסות (מתמטיקה)|מתכנס]], ולכן אין לו סכום במובן הרגיל של המילה. מצד שני, ניתן בהנחות המתאימות להגיע לתוצאה המוזרה <math>\ 1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}</math>. חישוב זה מבוסס על שיטות סיכום המשתמשות ב[[פונקציית זטא של רימן]] וב[[סיכום רמנוג'אן]] {{אנ|Ramanujan summation}}.

אף על פי שבמבט ראשון לא נראה שלסכום סדרת המספרים הטבעיים יהיה שימוש מעשי כלשהו, נעשה בו שימוש במספר תחומים מדעיים, כגון: [[אנליזה מרוכבת]], [[תורת שדות קוונטית]] ו[[תורת המיתרים]]. בתורת המיתר הבוזוני, למשל, שימוש בסכום זה מביא לתוצאה של קיומם של 26 ממדים למרחב (ממד זמן, ממד אורך ו־24 ממדים נוספים).{{הערה|Lepowsky, J. (1999), [http://arxiv.org/abs/math/9909178 "Vertex operator algebras and the zeta function"], in Naihuan Jing and Kailash C. Misra, Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics, Contemporary Mathematics 248, pp. 327–340 {{אנגלית}}}}

== סיכום לא סטנדרטי ==
[[טור (מתמטיקה)|טור]] המספרים הטבעיים מתבדר משום שהאיבר הכללי שלו אינו שואף לאפס. עם זאת, אפשר לטפל בו אם מרחיבים את מושג הסיכום של טורים, באופן הבא.

ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> היא כ[[גבול של סדרה|גבול]] של סדרת הסכומים החלקיים <math>\ S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k</math>, בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות <math>\mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math>, שהוא [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]], ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. [[אופרטור]] הסיכום הוא [[פונקציונל ליניארי]] <math>\ \Sigma : V \rightarrow \mathbb{R}</math> המחזיר על הסדרה <math>\ (a_1,a_2,\dots)</math> את הסכום שלה, <math>\ \Sigma(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>. אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת ה[[סומביליות]] ([[שיטות סיכום]]; וע"ע [[סיכום צזארו]]).{{הערה|למשל, [[משפט האן-בנך]] מבטיח שאפשר להרחיב את פונקציונל הסכום אל מרחב הסדרות שסדרת הסכומים החלקיים שלהם חסומה.}}

לדוגמה, '''שיטת הסיכום של אבל''' (שפיתח [[נילס הנריק אבל]]) מוגדרת באופן הבא: <math>\ \Sigma'(a_1,a_2,\dots) = \lim_{x \rightarrow 1^-}\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n</math>, גם כאן בתנאי שהגבול קיים. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) ניתן לסיכום גם לפי אבל, אבל יש גם טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל, שאפשר לסכם אותם בשיטת אבל. לדוגמה, השוויון <math>\ x-2x^2+3x^3-4x^4+5x^5-\cdots = \frac{x}{(x+1)^2}</math> נכון לכל <math>\ |x|<1</math>,{{הערה|ה[[טור הנדסי|טור ההנדסי]] <math>\ 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots = \frac{1}{1+x}</math> [[התכנסות במידה שווה|מתכנס במידה שווה]] בכל תת-קטע <math>[-1+\delta,1-\delta]</math>, ולכן אפשר לגזור אותו רכיב רכיב ולקבל את השוויון <math>\ 1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}</math>.}} וה[[גבול של פונקציה|גבול]] כאשר x שואף ל-1 מלמטה גם הוא קיים, ושווה ל-<math>\ \frac{1}{4}</math>, על ידי הצבת x=1 בפונקציה מימין. לפיכך, אפשר לומר שלפי אבל <math>\ 1-2+3-4+5-\cdots = \frac{1}{4}</math>, אף על פי שהגבול אינו קיים במובן הרגיל. באופן הזה, שיטת הסיכום של אבל מגדירה פונקציונל <math>\ \Sigma' : V' \rightarrow \mathbb{R}</math>, כאשר 'V הוא המרחב הווקטורי של כל הסדרות המתכנסות לפי אבל (המכיל את המרחב הווקטורי V של הסדרות המתכנסות במובן הרגיל, וגם סדרות נוספות כמו <math>\ (1,-2,3,-4,5,\cdots)</math>).

טור המספרים הטבעיים, <math>\ 1+2+3+4+5+\cdots</math>, אינו מתכנס אפילו לפי אבל (כלומר, הסדרה <math>\ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots)</math> אינה שייכת למרחב 'V). כדי לסכם אותה בכל זאת, צריך להרחיב עוד יותר את מרחב הסדרות שאפשר לסכם. בהרחבה סתמית יש מעט מאוד תועלת, משום שפורמלית אפשר להתבונן במרחב הווקטורי <math>\ V' + \mathbb{R}\alpha</math>, ולהגדיר את הסכום של <math>\ \alpha</math> כרצוננו. כדי להגביל את טווח האפשרויות ולקבל שיטות סיכום משמעותיות יותר, מניחים שפעולות טבעיות מסוימות אינן משנות את הסכום. למשל, נגדיר את אופרטור המתיחה <math>P : \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> לפי <math>\ P(a_1,a_2,a_3,a_4,\dots) = (0,a_1,0,a_2,0,a_3,\dots)</math>. קל להראות שהמתיחה שומרת על המרחב 'V של אבל, ואינה משנה את הסכום שם. יתרה מזו, אם נסמן <math>\ \alpha = (1,2,3,4,5,\dots)</math>, נגלה ש-<math>\ \alpha - 4P(\alpha) = (1,-2,3,-4,5,\dots)</math>. כעת, אם נניח שאפשר להרחיב את הסכום של אבל לשיטת סיכום <math>\ \Sigma''</math> המוגדרת על מרחב <math>V''</math> שמכיל את הסדרה <math>\ (1,2,3,4,5,\dots)</math> וסגור למתיחה, ונניח בנוסף שמתיחה אינה משנה את הסכום ב-<math>V''</math>, נקבל מיד ש-<math>\ -3\Sigma''(\alpha) = \Sigma'(\alpha - 4 P(\alpha)) = \Sigma'(1,-2,3,-4,5,\dots) = \frac{1}{4}</math>, כלומר, לפי שיטת הסיכום המוכללת הזו, <math>\ 1+2+3+4+\cdots = -\frac{1}{12}</math>.

=== חישוב בעזרת פונקציית זטא של רימן ===
הטור <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math> מתכנס לכל s [[מספר מרוכב|מרוכב]] שהחלק הממשי שלו גדול מ-1. הטור מגדיר [[פונקציה אנליטית]] <math>\zeta(s)</math> שיש לה [[המשכה אנליטית]] לכל [[המישור המרוכב]] עם [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קוטב]] ב-1. באופן הזה <math>\zeta(s)</math> מוגדרת גם בנקודות בהן הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math> אינו מתכנס. פונקציה זו קרויה [[פונקציית זטא של רימן]].

ההמשכה האנליטית מקיימת את זהות הסימטריה <math>\ \Lambda(s) = \Lambda(1-s)</math> כאשר <math>\ \Lambda(s) = \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s)</math> ו-<math>\Gamma</math> היא [[פונקציית גמא]]. מכיוון ש-<math>\ \zeta(2m)=(-1)^{m+1}\frac{1}{2}\frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}B_{2m}</math> (ע"ע [[מספרי ברנולי#ערכים של פונקציית זטא|מספרי ברנולי]]), נובע מזהות הסימטריה שלכל n אי-זוגי מתקיים <math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}</math> כאשר <math>B_{k}</math> הוא [[מספר ברנולי]] ה-k. בפרט, <math>B_2 = \frac{1}{6}</math>. אם נציב n=1 נקבל <math>\zeta(-1)=-\frac{B_{2}}{2}=-\frac{1}{12}</math>.

על כן, אם נזהה פורמלית את הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math> עם פונקציית זטא של רימן, גם בנקודות בהן הטור אינו מתכנס, נקבל:
:<math>1+2+3+\ldots = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{-1}}=\zeta(-1)=-\frac{1}{12}</math>

=== חישוב בעזרת סיכום רמנוג'אן ===
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
ניתן לחשב טור זה בעזרת [[סיכום רמנוג'אן]]. הנוסחה היא 

<math>\frac{f(0)}{2} + \sum_{n=1}^\infin f(n) = i\int^\infin_0 \frac{ f(it)-f(-it) }{e^{2\pi t} - 1} dt</math>

אם נבחר <math>f(n) = n</math>, נקבל את הטור הרצוי. לכן, נקבל

<math>\sum_{n=1}^\infin {n} = i\int^\infin_0 \frac{2it}{e^{2\pi t} - 1} dt</math>

בעזרת הצבה <math>u=2\pi t</math>, נקבל

<math>i\int^\infin_0 \frac{2it}{e^{2\pi t} - 1} dt= -\frac{1}{2\pi ^2} \int_0^\infin \frac{u}{e^u - 1}du</math>

האינטגרל הזה שווה ל<math>\zeta (2)</math><ref>{{קישור כללי|כתובת=http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Riemann Zeta Function באתר MathWorld, נוסחה 1|אתר=mathworld.wolfram.com|תאריך=|שפה=en|תאריך_וידוא=2020-01-18}}</ref>,שהיא שווה ל-<math>\frac{\pi ^2}{6}</math>. לאחר הצבת הערך נקבל את הסכום הרצוי:

<math>1+2+3+ \dots = \sum_{n=1}^\infin n = -\frac{1}{12}</math>

== קישורים חיצוניים ==
* {{לא מדויק|2014/01/18/sum_of_naturals|איך ייתכן ש …+1+2+3 שווה למינוס 1 חלקי 12?!}}
* John Baez, [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12] {{אנגלית}}
* Brydon Cais, [http://math.arizona.edu/~cais/Papers/Expos/div.pdf Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12] {{אנגלית}}
* {{יוטיוב|w-I6XTVZXww|שם=ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12|סוג=סרטון|ערוץ=Numberphile|אורך=7:49}} {{אנגלית}}
** {{יוטיוב|E-d9mgo8FGk|שם=Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage){{D}}|סוג=סרטון|אורך=21:05}} {{אנגלית}}
** Tony Padilla, [http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html What do we get if we sum all the natural numbers?{{D}}] – תגובה להערות על הסרטון {{אנגלית}}
** Dennis Overbye, [http://www.nytimes.com/2014/02/04/science/in-the-end-it-all-adds-up-to.html In the End, It All Adds Up to -1/12] – מאמר במדור המדע של [[הניו יורק טיימס]] על הסרטון {{אנגלית}}
* {{יוטיוב|jcKRGpMiVTw|שם=Ramanujan: Making sense of 1+2+3+... = -1/12 and Co.{{D}}|סוג=סרטון|ערוץ=Mathologer|אורך=34:30}} {{אנגלית}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:טורים מתמטיים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]