הצגת המקור של הדף "טור חזקות"

'''טוּר חֲזָקוֹת''' הוא [[טור (מתמטיקה)|טור]] הבנוי כסכום של חזקות מ-0 עד [[אינסוף]] של נעלם. טורי חזקות יכולים לתאר כל [[פונקציה אנליטית]] ומשמשים ב[[אנליזה מתמטית]], לחישוב ערכן של פונקציות אנליטיות, בגלל הפשטות שבחישוב כל אחד מאברי הטור הדורשת אך ורק שימוש ב[[ארבע פעולות החשבון|פעולות אריתמטיות רגילות]].

==הגדרה==
טור חזקות הוא [[טור פונקציות]] מהצורה <math>\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n</math> כאשר <math>\ a_n</math> היא [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של מקדמים (לרוב אלו מספרים [[מספר ממשי|ממשיים]] או [[מספר מרוכב|מרוכבים]]), ו-<math>\ c</math> היא הנקודה שסביבה מפותח הטור.

==רדיוס התכנסות==
תכונה חשובה של טורי חזקות במספרים ממשיים או מרוכבים המבדילה אותן מטורי פונקציות אחרים היא קיום '''רדיוס התכנסות''' לטור חזקות.

אם <math>\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n</math> הוא טור חזקות, אז קיים <math>\ 0\le r\le \infty</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<r</math> הטור [[התכנסות בהחלט|מתכנס בהחלט]], ולכל תת-קבוצה [[קומפקטיות|קומפקטית]] של <math>\ \left\{|x-c|<r\right\}</math> הטור [[התכנסות במידה שווה|מתכנס במידה שווה]].
כאשר <math>\ r=\infty</math> הטור [[התכנסות נקודתית|מתכנס נקודתית]] עבור כל מספר, והוא [[התכנסות במידה שווה|מתכנס במידה שווה]] על כל המרחב אם ורק אם הטור הוא [[פולינום]]. אחרת, הטור מתכנס במידה שווה רק על קבוצות חסומות בו.

על המעגל, או שתי הנקודות במקרה הממשי, <math>\ |x-c|=r</math> לא ניתן בוודאות לומר האם הטור מתכנס או מתבדר (קיימות דוגמאות לכאן ולכאן).

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות נתון על ידי '''נוסחת [[אוגוסטין קושי|קושי]]־[[ז'אק אדמר|אדמר]]''': <math>\ r = 1/ \limsup_{n\rarr\infty} \sqrt[n]{|a_n|}</math> (אם הגבול הוא אפס, הטור מתכנס תמיד). נוסחה זו תמיד מניבה את הרדיוס המבוקש, אך לעיתים קשה לחשב אותה. הנוסחה ([[ז'אן לה רון ד'אלמבר|דאלמבר]]) <math>\ r = \lim_{n\rarr\infty}1/\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|</math> נכונה כאשר הגבול קיים (סופי או אינסופי; לשם כך הכרחי ש[[כמעט תמיד]] <math>\ a_n \neq 0</math>), ולעיתים היא קלה יותר לחישוב.

==פעולות על טורי חזקות==
===[[חיבור]] ו[[חיסור]]===
סכום שני טורי חזקות הוא טור החזקות שמקדמיו הם סכום המקדמים של הטורים המחוברים, בדומה לטורי פונקציות רגילים:
: <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i + \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i + b_i ) x^i</math>
: <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i - \sum_{i=0}^\infty b_i x^i = \sum_{i=0}^\infty (a_i - b_i ) x^i</math>

===מכפלה===
[[כפל|מכפלת]] טור חזקות בקבוע היא טור החזקות שמקדמיו הם מכפלת הקבוע בטור החזקות המוכפל:
: <math>\ c \cdot \sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty c \cdot a_i x^i</math>
מכפלת שני טורים:
:<math>\left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.</math>

===גזירה ואינטגרציה===
בתוך תחום ההתכנסות ניתן [[נגזרת|לגזור]] את טורי החזקות איבר-איבר, וכן גם לבצע עליהם [[אינטגרציה (מתמטיקה)|אינטגרציה]] איבר-איבר:
:: <math>
\left( \sum_{i=0}^\infty a_i \left( x-c \right)^i \right) ^\prime (x) = \sum_{i=1}^\infty a_i i \left( x-c \right)^{i-1}
</math>

::<math>
\int \sum_{i=0}^\infty a_i \left( x-c \right)^i \,dx = \sum_{i=0}^\infty \frac{a_i \left( x-c \right)^{i+1}} {i+1} + C
</math>
:לאחר גזירה: אם הטור לאחר הגזירה מתכנס בגבולות אז הטור המקורי גם מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור המקורי התכנס גם הטור לאחר הגזירה יתכנס. לאחר אינטגרציה (כמו בגזירה רק הפוך): אם הטור המקורי מתכנס אז הטור לאחר האינטגרציה מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור לאחר האינטגרציה מתכנס אז הטור המקורי יתכנס.

==שימושים==
השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של [[פונקציה אנליטית|פונקציות אנליטיות]]. אם פונקציה <math>\ f(x)</math> היא אנליטית בנקודה <math>\ c</math>, אז מקדמי טור החזקות סביב <math>\ c</math> שמתאר את הפונקציה בסביבת <math>\ c</math> הם <math>\ a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}</math>. כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא [[טור טיילור]] שלה באותה נקודה. ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור.

במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר [[פונקציה הולומורפית]] סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף [[סינגולריות (מתמטיקה)|נקודה סינגולרית]].

ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי [[טור לורן|טורי לורן]].

==טורי חזקות פורמליים==
ב[[אלגברה מופשטת]] וב[[קומבינטוריקה]], משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם. בקומבינטוריקה הטורים מכונים [[פונקציה יוצרת|פונקציות יוצרות]]. הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים. כך לדוגמה, טור החזקות <math>\sum_{n=1}^\infty n! x^n</math> שמתבדר עבור כל מספר ששונה מאפס הוא פונקציה יוצרת לגיטימית.

=== טורי חזקות מוכללים ===

לכל שדה F ולכל [[חבורה אבלית סדורה]] <math>\ \Gamma</math>, '''השדה של טורי החזקות המוכללים''' <math>\ F((\Gamma))</math> כולל את כל הסכומים הפורמליים <math>\ \sum_{g \in \Gamma} \alpha_g g </math> שיש להם [[תומך (מתמטיקה)|תומך]] [[קבוצה סדורה היטב|סדור היטב]].

==דוגמאות==
=== הפונקציה האקספוננציאלית ===
[[אקספוננט|הפונקציה האקספוננציאלית]] ניתנת להצגה כטור חזקות: <math>\ \exp(x) = e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>.

ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה – העברת חיבור לכפל – נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומ[[הבינום של ניוטון]]. גם את הנוסחה <math>\ \frac{d}{dx} e^{ax} = a \cdot e^{ax}</math> אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות. תכונות אלו ניתן להרחיב גם ל[[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] ול[[אלגברת בנך|אלגבראות בנך]] באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה ב[[קומוטטיביות]] של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי.

=== פונקציות סינוס וקוסינוס ===
פונקציית ה[[סינוס (טריגונומטריה)]] ניתנת להצגה כטור חזקות: <math>\sin{x} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}</math>.

פונקציית ה[[קוסינוס (טריגונומטריה)]] ניתנת להצגה כטור חזקות: <math>\cos{x} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}</math>.

=== פונקציה רציונלית ===
 {{הפניה לערך מורחב|פונקציה רציונלית}}
טור החזקות שמקדמיו שווים ל-1 מתכנס לפונקציה: <math>\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k</math>

ובמקרה זה טור החזקות מתכנס עם רדיוס התכנסות 1=r כפי שניתן להוכיח בקלות בעזרת משפט דאלמבר שלעיל.

=== טורים נוספים ===
לעיתים ניתן למצוא את הפונקציה שאליה מתכנס טור חזקות נתון על ידי ביצוע מניפולציות על הטור הנתון כדי להגיע לטור שידוע לאיזו פונקציה הוא מתכנס, ולאחר מכן ביצוע מניפולציות הפוכות על הפונקציה שהתקבלה, לקבלת הפונקציה שאליה מתכנס הטור המקורי.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{לא מדויק|2024/04/27/power_series|טורי חזקות ורדיוס התכנסות}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת הטורים|חזקות]]