הצגת המקור של הדף "טור לורן"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[אנליזה מרוכבת]], '''טור לורן''' (Laurent) הוא [[טור (מתמטיקה)|טור]] מהצורה <math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n</math>. כלומר, זהו [[טור חזקות]] שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם מי שגילה אותו לראשונה, ה[[מתמטיקאי]] [[פייר אלפונס לורן]].

טור לורן מהווה הכללה של [[טור טיילור]], וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של [[פונקציה|פונקציות]] מאשר באמצעות טור טיילור - בעיקר עוסקים בו לתיאור [[פונקציה מרוכבת|פונקציות מרוכבות]]. כל [[פונקציה אנליטית]] בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).

באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי (רגולרית או [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולרית]]). אם הטור מפותח סביב הנקודה <math>c</math> אז צורתו תהיה <math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n</math>. הטור מתכנס בטבעת <math>r < |z-c| < R</math>, כאשר [[רדיוס]] ההתכנסות הפנימי <math>r</math>  ורדיוס ההתכנסות החיצוני <math>R</math> נתונים ע"י:

<math>r=\limsup_{n \to \infty}|a_{-n}|^{1/n}
</math>

<math>1/R=\limsup_{n \to \infty}|a_{n}|^{1/n}</math>

נציין כי <math>R</math> יכול להיות [[אינסוף]] (כאשר <math>\limsup_{n \to \infty}|a_{n}|^{1/n}=0</math>).

כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:

*אם אין כלל חזקות שליליות בפיתוח לורן (כלומר, זהו בעצם פיתוח טיילור) - הנקודה היא רגולרית או סינגולרית סליקה.
*אם יש מספר סופי של חזקות שליליות, כשהשלילית ביותר היא <math>-N</math>, הנקודה היא [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קוטב]] מסדר <math>N</math>.
*אם יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי הוא 0, הנקודה היא נקודה סינגולרית עיקרית (ראו דוגמה 3 להלן). הערה: כאשר יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי '''גדול''' מ-0, הפונקציה עשויה אף להיות רגולרית ב-c (כמו שניתן לראות בדוגמה 1 להלן). 

החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא '''החלק העיקרי''' של הטור.

==דוגמאות==

# נביט בפונקציה <math>\frac{1}{1-z}</math>: בעיגול <math>|z|<1</math> קיים לה פיתוח טיילור סביב <math>z=0</math>: <math>\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n</math> (זהו [[טור הנדסי]] מתכנס). זהו למעשה טור לורן של הפונקציה בטבעת <math>0<\left\vert z \right\vert<1</math>. אנו רוצים לראות כיצד ניתן לתאר את הפונקציה גם "מעבר" לעיגול הזה. נשים לב כי <math>\ \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\cdot\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{z}\right)^n=-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{z^{n+1}}=-\sum_{n=-\infty}^{-1} z^n</math>. גם פיתוח זה התבסס על ההיכרות שלנו עם נוסחת הטור ההנדסי המתכנס. במקרה זה הפעלנו אותה על הפונקציה <math>\frac{1}{1-\frac{1}{z}}</math> ולכן הפיתוח מתכנס בתחום <math>\left|\frac{1}{z}\right|<1</math>, כלומר <math>1<\left\vert z \right\vert</math>. גם טור זה הוא טור לורן של הפונקציה סביב <math>z=0</math>, רק בטבעת אחרת: <math>1<\left\vert z \right\vert<\infty</math>, הטבעת של המישור כולו, פרט לעיגול היחידה.  טור לורן של פונקציה זו סביב <math>z=1</math> הוא פשוט <math>-(z-1)^{-1}</math>.
# נתבונן בפונקציה <math>f(z) = \frac{\sin z}{z^2}</math>. ניעזר בטור טיילור של פונקציית הסינוס, ונקבל פיתוח לורן ל-<math>f</math> סביב ''<math>z=0</math>'':    <math>f(z) = \frac{\sin z}{z^2} = \frac{z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots }{z^2} = \frac{1}{z} -\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}-\frac{z^5}{7!} +\cdots</math>.
# <math>f(z) = e^{-1/z^2}</math>. נמצא את טור לורן שלה סביב  <math>z=0</math> באמצעות הטור הידוע של ה[[אקספוננט]]: <math>e^{-1/z^2}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\,{z^{-2n}\over n!}</math>. ניתן להיווכח שהטור מתכנס בטבעת <math>0<\left\vert z \right\vert<\infty</math>. בטור יש אינסוף חזקות שליליות וגם רדיוס ההתכנסות הפנימי הוא <math>0</math>, ולפיכך נסיק כי <math>z=0</math> היא נקודה '''סינגולרית עיקרית.'''  הערה: נשים לב כי עבור הפונקציה הממשית <math>f(x) = e^{-1/x^2}</math>, הנק' <math>x=0</math> היא '''נקודה סינגולרית סליקה''' (הגבול של הפונקציה ב-<math>0</math> הוא <math>0</math>). למעשה, אם נגדיר <math>f(0) = 0</math> נקבל פונקציה [[פונקציה חלקה|חלקה]] ב-'''<math>\mathbb{R}</math>''' (גזירה אינסוף פעמים בכל מקום, כולל ב-<math>x=0</math>), אך '''לא אנליטית ב- <math>x=0</math>''', שכן טור טיילור שלה סביב נק' זו הוא <math>0</math> זהותית, ולא מזדהה עם הפונקציה בשום [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] של <math>x=0</math>.

== ראו גם ==

* [[שדה טורי לורן]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{אנליזה מרוכבת}}

[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:תורת הטורים|לורן]]