הצגת המקור של הדף "טטרציה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=פעולה מתמטית|אחר=שיטה לקביעת הריכוז של חומרים שונים בתמיסה|ראו=טיטור}}{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Real-tetration.png|ממוזער|390x390 פיקסלים|גרף הפונקציה <math>^xe</math>]]
ב[[מתמטיקה]], '''טֶטְרָצְיָה''' (ב[[אנגלית]]: '''Tetration''' או '''Hyper-4''') היא [[פעולה בינארית|פעולה]], המתבצעת בין שני [[מספר|מספרים]]: ה"'''בסיס'''" וה"'''גובה'''". טטרציה מסמנים בסימון <math>a\uparrow\uparrow b</math> או <math>^ab</math> כאשר <math>a</math> הוא הבסיס ו-<math>b</math> הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא [[מספר ממשי]] והגובה הוא [[מספר טבעי]], טטרציה מהווה קיצור של מגדל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-<math>b</math>־ית של <math>a</math> היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:{{ש}}{{רווח קשיח|4}} <math>a\uparrow\uparrow b = {}^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{ \cdots ^a}}}}}_b</math>

ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:

: <math>^ba = \begin{cases} 1, & \text{if }b=0 \\ a^{^{b-1}a}, & \text{if }b>0 \end{cases}</math>
== מבוא ==
ארבעת ה[[היפר-פעולות]] הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. ה[[פעולה אונארית|פעולה האונארית]] [[פונקציית העוקב|עקיבה]] {{אנ|Successor function}}, המוגדרת כ-<math>a'=a+1</math> נחשבת להיפר-פעולה האפס.

# [[חיבור]]:{{ש}}<math>a+b=a+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{b\text{ times}}</math>
# [[כפל]]:{{ש}}<math>a\times b=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b\text{ times}}</math>
# [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]]:{{ש}}<math>a^b=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{b\text{ times}}</math>
# טטרציה:{{ש}}<math>^ba = \underbrace{a^{a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot ^a}}}}}}}_{b \text{ times}}</math>

יש לשים לב כי החזקה אינה [[פעולה אסוציאטיבית]] וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, <math>{3^5}^7</math> משמעותו <math>3^{(5^7)}</math> ולא <math>{(3^5)}^7</math>.

== תכונות ==

* כיוון שחזקה אינה [[פעולה קומוטטיבית]], כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות <math>^a(^bx) = {}^{ab}x</math> ו <math>^axy = {}^ax^a{}y</math> אינן נכונות ברוב המקרים.<ref>{{קישור כללי|כתובת=http://web.math.ucsb.edu/~padraic/ucsb_2013_14/mathcs103_s2014/mathcs103_s2014_alex_presentation.pdf|הכותב=Meiburg, Alexander|כותרת=Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower|תאריך=2014}}</ref>
* בנוסף, טטרציה גם אינה [[פעולה אסוציאטיבית]]. כלומר, הטענה <math>^{({^a}b)}c = {}^{^a}(^bc)</math> אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה.
* בדומה לחזקה, מתקיים כי <math>^0x = 1</math> ו <math>^1x = x</math>
* מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה: <math>^ax = x^{(^{a-1} x)}</math>
* ממהגדרה למעלה נובע כי: <math>(^ba)^{(^ca)} = (^{c+1}a)^{(^{b-1}a)}</math> מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא:

{{ltr|: <math>\begin{align}
      &\left({}^b a\right)^{\left({}^c a\right)}         \\
  ={} &\left(a^{{}^{b-1} a}\right)^{\left({}^c a\right)} \\
  ={} &a^{\left({}^{b-1} a\right)\left({}^c a\right)}    \\
  ={} &a^{\left({}^c a\right)\left({}^{b-1} a\right)}    \\
  ={} &\left({}^{c+1} a\right)^{\left({}^{b-1} a\right)}
\end{align}</math>}}

== הכללות ==
את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.

=== הכללת הבסיס ===

==== בסיס אפס ====
החזקה <math>0^0</math> אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה <math>^n0</math> אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול <math>\lim_{x\rightarrow0} {}^nx</math> מוגדר וקיים:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://math.blogoverflow.com/2015/01/05/climbing-the-ladder-of-hyper-operators-tetration/|הכותב=George Daccache|כותרת=Climbing the ladder of hyper operators: tetration|אתר=math.blogoverflow.com|תאריך=5 בינואר 2015}}</ref>

:<math>\lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x = \begin{cases}
  1, & n \text{ even} \\
  0, & n \text{ odd}
\end{cases}</math>
ולכן, ניתן להגדיר כי <math>^n0 = \lim_{x\rightarrow0} {}^nx</math>

==== בסיס מרוכב ====
מאחר שניתן לעלות [[מספרים מרוכבים]] בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה <math>z = a+bi</math>.

לדוגמה, עבור <math>^nz</math> כאשר <math>z=i</math>, ניתן באמצעות [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] להראות כי:

: <math>i^{a+bi} = e^{\frac{1}{2}{\pi i} (a + bi)} = e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \left(\cos{\frac{\pi a}{2}} + i \sin{\frac{\pi a}{2}}\right)</math>

ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את <math>^{n+1}i = a'+b'i</math> באמצעות <math>^ni = a+bi</math>:

: <math>\begin{align}
  a' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \cos{\frac{\pi a}{2}} \\[2pt]
  b' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \sin{\frac{\pi a}{2}}
\end{align}</math>

=== הכללת הגובה ===

==== גובה אינסופי ====
[[קובץ:Infinite power tower.svg|ממוזער|ערכי הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infin} {}^nx</math>, שמתכנס רק עבור <math>e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}</math>]]
ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים [[אינסוף|אינסופיים]]. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infin} {}^nx</math>. זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף.

לדוגמה, <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math> מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2.

את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:

: <math>\begin{align}
  \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.414}}}}}
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{1.89} \\
    &\approx 1.93
\end{align}</math>

[[לאונרד אוילר]] הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי <math>x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\!\!</math> מתכנס עבור <math>e^{-e} \leq x \leq e^{\frac{1}{e}}</math>.

==== גובה שלילי שלם ====
באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:

: <math>{^{k+1}a} = a^{\left({^{k}a}\right)},</math>

ניתן למצוא את <math>{}^{-1}a</math>:

: <math>^{k}a = \log_a \left(^{k+1}a\right);</math>

אם במקום k נציב {{משמאל לימין|-1}} נקבל:

: <math>{}^{-1}a = \log_{a} \left({}^0 a\right) = \log_a 1 = 0</math>

ערכים שליליים הקטנים מ{{משמאל לימין|-1}} לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב {{משמאל לימין|-2}} במקום k באותה משוואה אז נקבל:

: <math>{}^{-2}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_a 0</math>

וזהו מספר שאינו מוגדר.

== פעולות הופכיות ==
ל[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] קיימות שתי פעולות הופכיות: ה[[שורש של מספר|שורש]] וה[[לוגריתם]]. באופן [[אנלוגיה|אנלוגי]], גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: ה'''סופר-שורש''' וה'''סופר-לוגריתם'''. (למעשה, לכל ה[[היפר-פעולות]] הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות [[פונקציה אלמנטרית|אלמנטריות]].

=== סופר-שורש ===
הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם <math>^ny = x</math> אז <math>y</math> הוא הסופר-שורש ה-<math>n</math>־י של <math>x</math>, והוא יסומן בצורה <math>y = \sqrt[n]{x}_s</math>

לדוגמה, אם <math>^42 = 2^{2^{2^{2}}} = 65,536</math> אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 (<math>2 = \sqrt[4]{65,536}_s</math>).

==== סופר-שורש ריבועי ====
[[קובץ:The graph y = √x(s).png|ממוזער|גרף הפונקציה <math>y=\sqrt{x}_s</math>]]
הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה <math>\sqrt[2]{x}_s</math>, או בפשטות <math>\sqrt{x}_s</math>.

הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה ה[[פונקציה הפיכה|פונקציה ההופכית]] לפונקציה <math>x^x</math>, וניתן להציגו באמצעות [[פונקציית אומגה]] {{אנ|Lambert W function}}:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02124750|הכותב=Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; [[דונלד קנות'|Knuth, D. E]]|כותרת="On the Lambert W function|אתר=Advances in Computational Mathematics|תאריך=1996}}</ref>

: <math>\sqrt{x}_s = e^{W(\ln{x})} = \frac{\ln{x}}{W(\ln{x})}</math>

=== סופר-לוגריתם ===
הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם <math>^yn = x</math> אז <math>y</math> הוא הסופר-לוגריתם מבסיס <math>n</math> של <math>x</math>, והוא יסומן בצורה <math>y = \text{slog}_n{x}</math>. פונקציה זו מוגדרת עבור כל <math>n > 1</math>.

==== תכונות ====

* <math>\text{slog}_b(b^x) = \text{slog}_b(x) + 1</math>
* <math>\text{slog}_b1 = 0</math>
* <math>\text{slog}_b(x) = \text{slog}_b(\log_b{(x)}) + 1</math>
* לכל <math>x</math> ממשי מתקיים <math>\text{slog}_b(x) > -2</math>

== ראו גם ==
* [[היפר-פעולות]]
* [[מספרים גדולים]]
* [[לוגריתם חוזר]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:אלגברה]]