הצגת המקור של הדף "טיוטה:נקודות קריטיות"

[[קובץ:Stationary_vs_inflection_pts.svg|שמאל|ממוזער|400x400 פיקסלים| הנקודות האדומות הן נקודות קיצון מקומיות; הריבועים הכחולים הם [[נקודת פיתול|נקודות פיתול]].]]
'''נקודה קריטית''' (לעיתים גם '''נקודה חשודה''') היא מונח רחב המשמש בענפים רבים של [[מתמטיקה]]. ערך הפונקציה בנקודה קריטית נקרא '''ערך קריטי'''.

כאשר עוסקים בפונקציות של משתנה ממשי, נקודה קריטית היא נקודה בתחום הפונקציה בה הפונקציה אינה [[פונקציה דיפרנציאבילית|גזירה]] או שהנגזרת שווה לאפס<ref name=":0">{{Cite book|title=Problems in mathematical analysis|date=1964|publisher=Moskva|others=Demidovǐc, Boris P., Baranenkov, G.|isbn=0846407612|location=Moscow(IS)|oclc=799468131}}</ref>. כאשר עוסקים ב[[אנליזה מרוכבת|משתנים מורכבים]], נקודה קריטית היא נקודה בתחום הפונקציה שבה היא איננה [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]] או שהנגזרת שלה שווה לאפס<ref>{{Cite book|title=Calculus|last=1941-|first=Larson, Ron|date=2010|publisher=Brooks/Cole, Cengage Learning|others=Edwards, Bruce H., 1946-|isbn=9780547167022|edition=9th|location=Belmont, Calif.|oclc=319729593}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1|title=Calculus : early transcendentals|last=1941-|first=Stewart, James|date=2008|publisher=Thomson Brooks/Cole|isbn=9780495011668|edition=6th|location=Belmont, CA|oclc=144526840|url-access=registration}}</ref>. באופן דומה, עבור פונקציה של מספר משתנים ממשיים, נקודה קריטית היא ערך בתחום בו [[גרדיאנט|הגרדיאנט]] אינו מוגדר או שווה לאפס<ref name=":1">{{Cite book|title=Calculus: A Complete Course|last=Adams|first=Robert A.|last2=Essex|first2=Christopher|publisher=[[Pearson Prentice Hall]]|year=2009|isbn=978-0-321-54928-0|page=744}}</ref>.

הרעיון של נקודה קריטית מאפשר תיאור מתמטי של תופעה [[אסטרונומיה|אסטרונומית]] שלא הוסברה לפני זמנו של [[ניקולאוס קופרניקוס|קופרניקוס]]. '''נקודה נייחת''' במסלול כוכב לכת היא נקודת מסלול הכוכב על [[כיפת השמיים|הכדור השמימי]], שם נראה כי תנועת הכוכב נעצרת לפני שתתחיל שוב לכיוון השני. זה מתרחש בגלל נקודה קריטית של הקרנת המסלול [[מישור המילקה|למעגל האֶקְלִיפְּטִי]].

== נקודה קריטית של פונקציה של משתנה יחיד ==
* '''נקודה קריטית''' של פונקציה עם משתנה ממשי <math>f (x)</math> היא ערך <math>x_0</math> בתחום של <math> f</math> שבו היא לא [[פונקציה דיפרנציאבילית|גזירה]] או שה[[נגזרת]] שלה שווה שם ל-<math>0</math>, כלומר <math>f'(x_0)=0</math>.{{הערה|שם=:0}}
* '''ערך קריטי''' הוא התמונה של <math> f</math> בנקודה קריטית.

בעבור פונקציה גזירה, נקודה קריטית זהה ל[[נקודה נייחת]]. עבור [[פונקציה דיפרנציאבילית|פונקציה]] גזירה, נקודה קריטית זהה לנקודה נייחת.

ניתן להמחיש מושגים אלה באמצעות [[גרף של פונקציה|גרף]] של <math> f</math>. בנקודה קריטית, לגרף יש [[משיק]] אופקי. אף על פי שניתן להמחיש זאת בקלות באמצעות גרף (שהוא [[עקומה]]), אין להתבלבל בין הרעיון של נקודה קריטית של פונקציה לבין הרעיון של נקודה קריטית של עקומה.

אם <math>g ( x, y )</math> היא פונקציה גזירה של שני משתנים, אז <math>g ( x, y )=0</math> הוא [[פונקציה סתומה|המשוואה הסתומה]] של העקומה.

'''נקודה קריטית''' של עקומה כזו, עבור [[הטלה (מתמטיקה)|ההטלה]] המקבילה לציר ה-<math>y</math>, ה[[העתקה]] <math>( x, y ) \to x )</math>, היא נקודה של העקומה שבה <math>\frac {\partial g}{\partial y}(x,y)=0</math>.

משמעות הדבר היא כי המשיק של העקומה מקביל לציר ה-<math>y</math>, וכי בנקודה זו <math>g</math> אינה מגדירה [[פונקציה סתומה]] מ-<math>x</math> ל-<math>y</math> ([[משפט הפונקציות הסתומות]]).

אם <math>(x_0, y_0)</math> היא נקודה קריטית כזו, אז <math>x_0</math> הוא '''הערך הקריטי''' המתאים.

מההגדרות הללו עולה כי [[פונקציה דיפרנציאבילית|לפונקציה]] המבדלה <math>f(x) </math> יש נקודה קריטית <math>x_0</math> עם ערך קריטי <math>y_0</math>, אם ורק אם <math>(x_0, y_0)</math> היא נקודה קריטית של הגרף שלה עבור ההקרנה המקבילה ל-<math>x</math> מזה, עם אותו ערך קריטי <math>y_0</math>.

אם <math> f</math> אינו לגזירה להבחנה ב-<math>x_0</math> כי המנגן הופך מקביל לציר ה-<math>y</math>, אז <math>x_0</math> הוא שוב נקודה קריטית של <math> f</math>, אך כעת <math>(x_0, y_0)</math> הוא נקודה קריטית בגרף שלו להקרנה במקביל לציר ה-<math>y</math>.

לדוגמה, הנקודות הקריטיות של [[מעגל היחידה]] של המשוואה <math>x^2 + y^2 - 1 = 0</math> הן <math>(0, 1) </math> ו-<math>(0, -1) </math> עבור ההקרנה המקבילה לציר ה-<math>x</math>, ו- <math>(0, 1) </math> ו- <math>(0, -1) </math> לכיוון המקביל לציר ה-<math>y</math>.

אם רואים את העיגול החצי העליון כגרף הפונקציה <math>f(x)= \sqrt{1-x^2} </math>, אז <math>x = 0</math> הוא נקודה קריטית עם ערך קריטי <math>1</math> מפני שהנגזרת שווה ל-<math>0</math>, ו-<math>x = -1</math> ו-<math>x = 1</math> הם נקודות קריטיות עם ערך קריטי <math>0</math> כי הנגזרת אינה מוגדרת.

=== דוגמאות ===
* הפונקציה <math>f ( x ) = x^2 + 2 x + 3</math> גזירה בכל נקודה ונגזרתה <math>f '( x ) = 2 x + 2</math>. לפונקציה זו נקודה קריטית ייחודית ב-<math>-1</math>, מכיוון שהיא המספר הייחודי <math>x_0</math> עבורו <math>2x_0 + 2 = 0</math>. נקודה זו היא ה[[נקודת קיצון|מינימום הגלובלי]] של <math> f</math>. הערך הקריטי המתאים הוא <math>f(-1)=2
</math>. הגרף של <math> f</math> הוא [[פרבולה]] קעורה כלפי מעלה, הנקודה הקריטית היא שיעור ה-<math>x</math> של הקודקוד, שם קו המשיק אופקי, והערך הקריטי הוא מסדר הקודקוד ויכול להיות מיוצג על ידי הצומת של קו המשיק הזה והקו לציר ה-<math>y</math>.
* הפונקציה <math>f ( x ) = x^{\frac{2}{3}}</math> מוגדרת עבור כל <math>x</math> ומיוחדת ל- <math>x \neq 0</math>, עם הנגזרת <math> f'\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}</math>. מכיוון ש-<math> f</math> אינה גזירה ב-<math>x=0</math> וגם <math>f '(x) \neq 0</math> אחרת, זו הנקודה הקריטית הייחודית. לגרף הפונקציה <math> f</math> יש השקה בנקודה זו עם משיק אנכי. הערך הקריטי המתאים הוא <math>f (0) = 0</math>.
* [[ערך מוחלט|פונקציית הערך המוחלט]] <math>f (x) = | x |</math> ניתן לגזירה בכל מקום למעט בנקודה הקריטית <math>x = 0</math>, שם יש לה נקודת מינימום גלובלית, עם ערך קריטי <math>0</math>.
* לפונקציה <math>f ( x ) = \frac{1}{x} </math> אין נקודות קריטיות. הנקודה <math>x = 0</math> אינה נקודה קריטית מכיוון שהיא אינה כלולה בתחום הפונקציה.

=== מיקום נקודות קריטיות ===
על פי [[משפט גאוס-לוקאס]], כל הנקודות הקריטיות של פונקציה פולינומית [[המישור המרוכב|במישור המורכב]] נמצאות בתוך [[קמור|הקליפה הקמורה]] של [[שורש (של פונקציה)|שורשי]] הפונקציה. לפיכך, עבור פונקציה פולינומית עם שורשים אמיתיים בלבד, כל הנקודות הקריטיות הן אמיתיות והן בין השורשים הגדולים והקטנים ביותר.

ההשערה של סנדוב טוענת שאם כל שורשי הפונקציה טמונים בדיסק היחידה במישור המורכב, יש לפחות נקודה קריטית אחת במרחק יחידה מכל שורש נתון.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}