הצגת המקור של הדף "טרנספורמציית בוקס-מילר"

'''טרנספורמציית בוקס–מילר''' או '''שיטת בוקס–מילר''' נוצרה בשנת [[1958]] על ידי [[ג'ורג' בוקס]] ו[[מרווין מילר]]. שיטה זו היא שיטה ליצירת זוגות [[מספר אקראי|מספרים אקראיים]] ב[[התפלגות נורמלית]] ממספרים המתפלגים ב[[התפלגות אחידה רציפה]].

==שיטת בוקס-מילר==
אם X,Y מתפלגים בצורה אחידה בקטע [0,1] אזי אם נגדיר <math>R=\sqrt{-2*\ln(x)}</math> ו-<math>\theta=2 \pi y</math>, המשתנים U,V יתפלגו נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1.
כאשר: <math>U = R*cos\theta</math> ו-<math>V = R*sin\theta</math>.

===הוכחה===
הצפיפות המשותפת של X, Y היא: <math>f(x,y)=1</math> מפני שהם מתפלגים בהתפלגות אחידה.
נמצא את ה[[יעקוביאן]] בהמרה מ-X,Y ל-R ו-θ:
:<math>J(R,\theta) =\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial R}{\partial x} & \dfrac{\partial \theta}{\partial x} \\[2pt]
\dfrac{\partial R}{\partial y} & \dfrac{\partial \theta}{\partial y} \\[2pt]
 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/(x*\sqrt{-2\ln x}) & 0\\0 & 2\pi\end{vmatrix}\,
= 2\pi/(R*e^{-R^2/2} )</math>
נמצא את ה[[יעקוביאן]] בהמרה בין R,θ ו-u,v:
:<math>J(u,v) =\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial u}{\partial R} & \dfrac{\partial v}{\partial R} \\[2pt]
\dfrac{\partial u}{\partial \theta} & \dfrac{\partial v}{\partial \theta} \\[2pt]
 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} cos \theta & sin \theta \\-R sin \theta & R cos \theta \end{vmatrix}\,
= R </math>
עכשיו נמצא את הצפיפות המשותפת של V ו-U:
<math>f_{uv}=f_{xy}/(J(u,v)*J(R,\theta)=1/(2\pi/(R*e^{-R^2/2})*R)=e^{-(V^2+U^2)/2}/{2\pi} </math> וזו בדיוק הצפיפות של משתנים המתפלגים נורמלית.

===בעייתיות===
שיטה זו דורשת שימוש בפונקציות טריגונומטריות וכן בשורש שאלו פעולות שלמחשב לוקח זמן רב לחשב ולכן שיטה זו איטית. בעקבות זאת, יצרו שיטות חדשות יעילות מעט יותר כמו [[שיטת מרסגליה]] וכן שיטות אשר האלגוריתם מסובך יותר אך הוא משתמש בפעולות בסיסיות בלבד שלא דורשות זמן חישוב רב כמו [[שיטת זיגורט]].

==קישורים חיצוניים==
* [http://www.random.org/gaussian-distributions/ מחולל מספרי גאוס על ידי שימוש בטרנספורמצית בוקס-מולר]
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:יצירת מספרים אקראיים]]