הצגת המקור של הדף "טרנסצנדנטיות של פאי"

[[קבוע מתמטי|הקבוע המתמטי]] '''[[פאי]]''' (<math>\pi</math>) תופס מקום מרכזי בענפי [[מתמטיקה]] רבים. לאורך ההיסטוריה חקרו [[מתמטיקאי]]ם רבים את תכונותיו.{{ש}}בפרט התעורר עניין רב סביב השאלה האם הוא '''[[מספר טרנסצנדנטי]]''' (או [[מספר אלגברי|'''אי-אלגברי''']]) – מספר שאינו פתרון של אף [[פולינום|משוואה פולינומית]] עם מקדמים [[מספר שלם|שלמים]] (או [[מספר רציונלי|רציונליים]]).

==היסטוריה==
הראשון שעסק בסוגיה היה המתמטיקאי ה[[שווייץ|שווייצרי]] [[יוהאן היינריך למברט]], שבשנת [[1761]] הוכיח לראשונה כי <math>\pi</math> [[אי-רציונליות של פאי|אי-רציונלי]], ואף [[השערה (מתמטיקה)|שיער]] כי הוא מספר טרנסצנדנטי. אולם, בתקופה זו לא היה ידוע האם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים.

בשנת [[1844]] הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] את [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]], שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה ([[קבוע ליוביל]]). בשנת [[1874]] הוכיח [[גאורג קנטור]] כי [[הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור|כמעט כל המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים]]. על אף זאת ההוכחה כי מספר מסוים הוא טרנסצנדנטי נותרה בעיה סבוכה.

בשנת [[1873]] הוכיח המתמטיקאי ה[[צרפתים|צרפתי]] [[שארל הרמיט]] את השערתו של למברט, ובכך היה [[e (קבוע מתמטי)|'''e''']] למספר הטרנסצנדנטי הראשון שהתגלה בלי שנבנה לשם כך מראש (בניגוד ל[[מספרי ליוביל]]).

[[פרדיננד לינדמן]] ו[[קארל ויירשטראס]] הכלילו את תוצאתו של הרמיט והוכיחו את [[משפט לינדמן-ויירשטראס]] הקובע את הטרנסצנדנטיות ואת [[אי-תלות אלגברית|האי-תלות האלגברית]] של [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] [[מספר אלגברי|אלגבריות]] של <math>\text{e}</math>; ממשפט זה נובעת גם הטרנסצנדנטיות של [[פאי]].

==שיטת ההוכחה==
השיטה בה מוכיחים כי <math>\pi</math> טרנסצנדנטי שימושית במיוחד, ונעשה בה שימוש רב להוכחת הטרנסצנדנטיות והאי-רציונליות של מספרים רבים נוספים.

הרעיון הכללי הוא [[הוכחה בדרך השלילה|להניח בשלילה]] כי המספר מקיים את התכונה, ובאמצעות בניית פונקציות שתפורות לעניין היטב, מבצעים מניפולציות אנליטיות ומראים כי זה גורר שוויון מופרך בין [[מספר שלם]] שונה מאפס לבין מספר קטן ב[[ערך מוחלט|ערכו המוחלט]] מ-1. גם ההוכחה הפשוטה יותר כי <math>\pi</math> [[אי-רציונליות של פאי|אי-רציונלי]] נעשית בדרך דומה. בשל השימושיות שלה בתחום זכתה השיטה לכינוי ההומוריסטי "המשפט היסודי של המספרים הטרנסצנדנטיים" (על משקל המשפטים היסודיים של [[המשפט היסודי של האריתמטיקה|האריתמטיקה]], [[המשפט היסודי של האלגברה|האלגברה]], [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] ודומיהם).{{הערה|1=[https://planetmath.org/fundamentaltheoremoftranscendence ''Fundamental Theorem Of Transcendence'' באתר PlanetMath]}}

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי|שם ויקיספר=ℼ מספר טרנסצנדנטי (הוכחה מפורטת)}}{{-}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

{{אנליזה מרוכבת}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:פולינומים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|יסודי של האלגברה]]