הצגת המקור של הדף "טרנסצנדנטיות של e"

ה[[קבוע מתמטי|קבוע המתמטי]] [[e (קבוע מתמטי)|'''e''']] תופס מקום מרכזי בענפי [[מתמטיקה]] רבים. לאורך ההיסטוריה חקרו [[מתמטיקאי]]ם רבים את תכונותיו. בפרט התעורר עניין רב סביב השאלה האם הוא '''[[מספר טרנסצנדנטי]]''' – מספר שאינו פתרון של אף [[משוואה פולינומית]] עם מקדמים [[מספר שלם|שלמים]] (או [[מספר רציונלי|רציונליים]]).

==היסטוריה==
הראשון שעסק בסוגיה היה המתמטיקאי ה[[שווייץ|שווייצרי]] [[יוהאן היינריך למברט]], שבשנת [[1761]] [[השערה (מתמטיקה)|שיער]] כי <math>\text{e}</math> הוא מספר טרנסצנדנטי. אולם, בתקופה זו לא היה ידוע האם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים.

בשנת [[1844]] הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] את [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]], שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה ([[קבוע ליוביל]]). בשנת [[1874]] הוכיח [[גאורג קנטור]] כי [[הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור|כמעט כל המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים]]. על אף זאת ההוכחה כי מספר מסוים הוא טרנסצנדנטי נותרה בעיה סבוכה.

בשנת [[1873]] הוכיח המתמטיקאי ה[[צרפתים|צרפתי]] [[שארל הרמיט]] את השערתו של למברט, ובכך היה [[e (קבוע מתמטי)|'''e''']] למספר הטרנסצנדנטי הראשון שהתגלה בלי שנבנה לשם כך מראש (בניגוד ל[[מספרי ליוביל]]).

[[פרדיננד לינדמן]] ו[[קארל ויירשטראס]] הכלילו את תוצאתו של הרמיט והוכיחו את [[משפט לינדמן-ויירשטראס]] הקובע את הטרנסצנדנטיות ואת [[אי-תלות אלגברית|האי-תלות האלגברית]] של [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] [[מספר אלגברי|אלגבריות]] של <math>\text{e}</math>; ממשפט זה נובעת גם הטרנסצנדנטיות של [[פאי]].

==שיטת ההוכחה==
השיטה בה מוכיחים כי <math>\text{e}</math> טרנסצנדנטי שימושית במיוחד, ונעשה בה שימוש רב להוכחת הטרנסצנדנטיות והאי-רציונליות של מספרים רבים נוספים.

הרעיון הכללי הוא [[הוכחה בדרך השלילה|להניח בשלילה]] כי המספר מקיים את התכונה, ובאמצעות בניית פונקציות שתפורות לעניין היטב, מבצעים מניפולציות אנליטיות ומראים כי זה גורר שוויון מופרך בין [[מספר שלם]] שונה מאפס לבין מספר קטן ב[[ערך מוחלט|ערכו המוחלט]] מ-1. גם ההוכחה הפשוטה יותר כי <math>\text{e}</math> [[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] נעשית בדרך דומה. בשל השימושיות שלה בתחום זכתה השיטה לכינוי ההומוריסטי "המשפט היסודי של המספרים הטרנסצנדנטיים" (על משקל המשפטים היסודיים של [[המשפט היסודי של האריתמטיקה|האריתמטיקה]], [[המשפט היסודי של האלגברה|האלגברה]], [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] ודומיהם).{{הערה|1=[https://planetmath.org/fundamentaltheoremoftranscendence ''Fundamental Theorem Of Transcendence'' באתר PlanetMath]}}

==הילברט==
הוכחה זו מבוססת על הוכחה שניתנה על ידי [[דויד הילברט]] כפישוט להוכחתו המקורית של הרמיט, תוך שימוש בכלים בסיסיים ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] בלבד.

נניח בשלילה כי <math>e</math> [[מספר אלגברי]]. לכן קיימים מספרים שלמים <math>c_0,c_1,\ldots,c_n</math> כאשר <math>c_0,c_n</math> שונים מאפס (אם המקדם החופשי שווה אפס נחלק את המשוואה בחזקה של <math>e</math> כך שהמקדם החופשי יהיה שונה מאפס) ומקיימים:
:<math>c_0+c_1e+c_2e^2+\cdots+c_{n}e^n=0</math>
נגדיר פונקציה:
:<math>f(x)=x^{k}\bigl[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)\bigr]^{k+1}e^{-x}</math>
<math>k</math> [[מספר טבעי]] שיוגדר בהמשך. נכפול את המשוואה ב-<math>\int\limits_0^\infty f(x)dx</math>:
:<math>c_0\int\limits_0^\infty f(x)dx+c_1e\int\limits_0^\infty f(x)dx+\cdots+c_ne^n\int\limits_0^\infty f(x)dx=0</math>
נשתמש באדיטיביות ה[[אינטגרל]] ונעביר אגפים כדי לקבל:
:<math>c_0\int\limits_0^\infty f(x)dx=-\left(c_1e\int\limits_0^1f(x)dx+c_2e^2\int\limits_0^2f(x)dx+\cdots+c_ne^n\int\limits_0^nf(x)dx\right)</math>
נסמן את אגף שמאל <math>P_1</math> ואת אגף ימין <math>P_2</math>. לפי המשוואה מתקיים <math>\frac{P_1}{k!}=\frac{P_2}{k!}</math>, אולם נוכיח כי ל-<math>k</math> [[גדול מספיק]] <math>\frac{P_1}{k!}</math> מספר שלם שונה מאפס בעוד <math>\frac{P_2}{k!}</math> אינו כזה וכך נגיע לסתירה.

===שלב ראשון===
<math>P_1</math> הוא סכום של איברים מהצורה <math>c_ae^a\int\limits_a^\infty f(x)dx</math>. לכל <math>0<a\le n</math> נבצע באינטגרל [[אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים|שינוי משתנה]] מ-<math>x</math> ל-<math>x+a</math> ונקבל (נשים לב כי הקבוע <math>e^a</math> מצטמצם):
:<math>c_ae^a\int\limits_a^\infty f(x)dx=c_a\int\limits_0^\infty(x+a)^k\bigl[(x+a-1)\cdots x\cdots(x+a-n)\bigr]^{k+1}e^{-x}dx</math>
נפתח סוגריים ונקבל סכום של אינטגרלים שהחזקה המינימלית של <math>x</math> בהם היא <math>x^{k+1}</math> וכל המקדמים שלמים:
:<math>c_ae^a\int\limits_a^\infty f(x)dx=\sum_{i\,=\,k+1}^md_i\int\limits_0^\infty x^ie^{-x}dx</math>, כאשר <math>m,d_{k+1},\ldots,d_m</math> מספרים שלמים.
מ[[אינטגרציה בחלקים]] נובע <math>\int\limits_0^\infty x^ie^{-x}dx=i!</math> (זוהי [[פונקציית גמא#הקשר לפונקציית עצרת|תכונה]] ידועה של [[פונקציית גמא]]). ולכן:
:<math>\frac{1}{k!}c_ae^a\int\limits_a^\infty f(x)dx=\sum_{i\,=\,k+1}^{m}d_i\frac{i!}{k!}=\sum_{i\,=\,k+1}^md_i(k+1)\cdots i\equiv0\pmod{k+1}</math>
במקרה <math>a=0</math> מפתיחת סוגריים ומהפעלת שיקולים דומים נקבל (נשים לב כי במקרה הזה יש ל-<math>x^k</math> מקדם השווה למכפלת המקדמים החופשיים באינטגרנד):
:<math>\frac{1}{k!}c_0\int\limits_0^\infty f(x)dx=\frac{1}{k!}\left(c_0n!(-1)^{k+1}\int\limits_0^\infty x^ke^{-x}dx+\sum_{i\,=\,k+1}^md_i\int\limits_0^\infty x^ie^{-x}dx\right)\equiv c_0n!(-1)^{k+1}\pmod{k+1}</math>
כל <math>k+1</math> [[מספר ראשוני|ראשוני]] הגדול מ-<math>n</math> ומ-<math>c_0</math> [[מספרים זרים|זר]] ל-<math>c_0n!(-1)^{k+1}</math>. במקרה כזה:
:<math>\frac{P_1}{k!}=\frac{1}{k!}\sum_{i\,=\,0}^nc_ie^i\int\limits_i^\infty f(x)dx\equiv c_0n!(-1)^{k+1}\not\equiv0\pmod{k+1}</math>
והוכחנו כי <math>\frac{P_1}{k!}</math> שלם השונה מאפס.

===שלב שני===
נוכיח כי ל-<math>k</math> גדול מספיק <math>\frac{P_2}{k!}</math> קטן בערכו המוחלט מ-1. נסמן:
:<math>g(x)=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n);\quad h(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-n)e^{-x}</math>
נשים לב כי:
:<math>f(x)=g(x)^k\cdot h(x)</math>
<math>g,h</math> [[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציות רציפות]] ולכן לפי [[משפטי ויירשטראס|משפט ויירשטראס הראשון]] קיימים [[חסם (מתמטיקה)|חסמים]] <math>G,H</math> כך שלכל <math>x\in[0,n]</math>:
:<math>|g(x)|<G;\quad|h(x)|<H</math>{{רווח קשיח|5}}(בפרט ניתן להגדיר: <math>G=n^{n+1};\quad H=n^n</math>)
לפי [[אי-שוויון המשולש האינטגרלי]] ותכונת המונוטוניות של אינטגרלים (לכל <math>0<i\le n</math>):
:<math>\left|\int\limits_0^if(x)dx\right|\le\int\limits_0^i|f(x)|dx<\int\limits_0^iG^kHdx=G^kH\cdot i</math>
לכן לפי [[אי-שוויון המשולש]]:
:<math>|P_2|=\left|\sum_{i\,=\,1}^nc_ie^i\int\limits_0^if(x)dx\right|<\sum_{i\,=\,1}^n|c_ie^i\cdot i|\cdot G^kH</math>
נסמן:
:<math>M=\sum_{i\,=\,1}^n|c_ie^i\cdot i|\cdot H</math>, כלומר <math>|P_2|<MG^k</math>
נבחין ב[[גבול של סדרה|גבול]] הפשוט (פונקציית ה[[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]] גדלה מהר יותר מ[[פונקציה מעריכית]]):
:<math>\lim_{k\to\infty}\frac{MG^k}{k!}=0</math>
ונסיק כי ל-<math>k</math> גדול מספיק:
:<math>\left|\frac{P_2}{k!}\right|<\frac{MG^k}{k!}<1</math>

===שלב סופי===
נבחר <math>k</math> כך שהוא גדול מספיק וגם <math>k+1</math> ראשוני (אפשרי משום ש[[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|קיימים אינסוף ראשוניים]]). לפי השלב הראשון <math>\frac{P_1}{k!}</math> שלם שונה מאפס, כלומר <math>\left|\frac{P_1}{k!}\right|\ge1</math>. לעומת זאת לפי השלב השני <math>\left|\frac{P_2}{k!}\right|<1</math> בסתירה לכך ש-<math>P_1=P_2</math>.

לכן <math>e</math> אינו [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של פולינום במקדמים שלמים ובהכרח מספר טרנסצנדנטי.

==הורוויץ==
הוכחה זו מבוססת על הוכחה שניתנה על ידי [[אדולף הורוויץ]], גם היא כפישוט להוכחתו המקורית של הרמיט.

נניח בשלילה כי <math>\text{e}</math> [[מספר אלגברי]], כלומר קיים פולינום
:<math>P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in\Z[x]</math>
עבורו <math>P(\text{e})=0</math>.

===שלב ראשון===
יהי <math>f(x)</math> פולינום ממעלה <math>d</math>. נגדיר <math>F(x)=\sum_{k\,=\,0}^df^{(k)}\!(x)</math>. נגזור ונקבל כי
:<math>F'\!(x)=\sum_{k\,=\,0}^df^{(k+1)}\!(x)=\sum_{k\,=\,1}^df^{(k)}\!(x)=F(x)-f(x)</math>
נגדיר <math>G(x)=\text{e}^{-x}F(x)</math>. נגזור ונקבל כי
:<math>G'\!(x)=\text{e}^{-x}F'\!(x)-\text{e}^{-x}F(x)=\text{e}^{-x}\bigl[F'\!(x)-F(x)\bigr]=-\text{e}^{-x}f(x)</math>
כיון שהפונקציה <math>G(x)</math> גזירה, ניישם את [[משפט הערך הממוצע של לגראנז']] מעל הקטע <math>[0,m]</math> כאשר <math>m\in\N</math>. לכן קיים <math>x_m\in(0,m)</math> עבורו
:<math>G'\!(x_m)=\frac{G(m)-G(0)}{m-0}=\frac{\text{e}^{-m}F(m)-\text{e}^{-0}F(0)}{m}=-\text{e}^{-x_m}f(x_m)</math>
נסמן
:<math>\begin{align}F(m)-\text{e}^mF(0)=-m\,\text{e}^{m-x_m}f(x_m)=A_m\\[6pt]a_mF(m)-a_m\text{e}^mF(0)=a_mA_m\end{align}</math>
נסכום ונקבל כי
:<math>\begin{align}\sum_{m\,=\,1}^na_mF(m)-\sum_{m\,=\,1}^na_m\text{e}^mF(0)=\sum_{m\,=\,1}^na_mA_m\\[6pt]\sum_{m\,=\,1}^na_mF(m)-F(0)\sum_{m\,=\,1}^na_m\text{e}^m=\sum_{m\,=\,1}^na_mA_m\\[6pt]\sum_{m\,=\,1}^na_mF(m)-F(0)(-a_0)=\sum_{m\,=\,1}^na_mA_m\\[6pt]\sum_{m\,=\,0}^na_mF(m)=\sum_{m\,=\,1}^na_mA_m\end{align}</math>

===שלב שני===
'''[[למה (מתמטיקה)|למה:]]''' יהי <math>f(x)</math> פולינום בעל שורש <math>x_0</math> מריבוי <math>d\ge1</math>. אזי <math>f^{(j)}\!(x_0)=0</math> לכל <math>0\le j\le d-1</math>.

'''הוכחה:''' ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה שלמה]].

נרשום <math>f(x)=(x-x_0)^dQ(x)</math>, כאשר <math>Q(x)</math> פולינום עבורו <math>Q(x_0)\ne0</math>.

עבור <math>d=1</math> מתקיים:
:<math>f^{(0)}\!(x_0)=f(x_0)=0</math>
נניח כי לכל <math>1\le d\le k</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le j\le d-1</math>.{{ש}}
נוכיח כי עבור <math>d=k+1</math> הטענה מתקיימת לכל <math>0\le j\le k</math>:
:<math>\begin{align}f(x)&=(x-x_0)^{k+1}Q(x)\\[5pt]f^{(1)}\!(x)&=(k+1)(x-x_0)^kQ(x)+(x-x_0)^{k+1}Q^{(1)}\!(x)\\[5pt]&={\color{blue}(x-x_0)^k}{\color{red}\bigl[(k+1)Q(x)+(x-x_0)Q^{(1)}\!(x)\bigr]}\\[5pt]&={\color{blue}(x-x_0)^k}{\color{red}R(x)}\end{align}</math>
{{צבע גופן|כחול|'''הביטוי הכחול'''}} מריבוי <math>k\ge1</math>, כאשר <math>R(x)</math> פולינום עבורו <math>R(x_0)\ne0</math>.{{ש}}
לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.

<math>\square</math>

===שלב שלישי===
עתה נגדיר פולינום
:<math>\begin{align}f(x)&=\frac{1}{(p-1)!}\,x^{p-1}\bigl[(1-x)(2-x)\cdots(n-x)\bigr]^p\\[5pt]&=\frac{(n!)^p}{(p-1)!}x^{p-1}+\!\!\sum_{m\,=\,p}^{(n+1)p-1}\!\!\!\frac{b_m}{(p-1)!}x^m\quad:b_m\in\Z\end{align}</math>
כאשר <math>p</math> [[מספר ראשוני]] המקיים <math>p>\max\{a_0,n\}</math>. מתקיים כי
:<math>f^{(k)}\!(x)=\!\!\sum_{m\,=\,k}^{(n+1)p-1}\!\!\!\frac{k!}{(p-1)!}\binom{m}{k}b_mx^{m-k}\quad:p\le k\le(n+1)p-1</math>
לכן לכל <math>k\ge p</math> הפונקציה <math>f^{(k)}\!(x)</math> היא פולינום במקדמים שלמים המתחלקים כולם ב-<math>p</math>.


לפי השלב השני, לכל <math>1\le m\le n</math> מתקיים
:<math>F(m)=\!\!\sum_{k\,=\,0}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(m)=\!\!\sum_{k\,=\,p}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(m)</math>
ולכן <math>F(m)</math> [[מספר שלם]] המתחלק ב-<math>p</math>.

לעומת זאת, עבור <math>m=0</math> מתקיים
:<math>F(0)=\!\!\sum_{k\,=\,0}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(0)=\!\!\sum_{k\,=\,p-1}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(0)</math>
אך <math>f^{(p-1)}\!(0)=(n!)^p</math>, והמספרים <math>n,a_0</math> אינם מתחלקים ב-<math>p</math>. לכן <math>a_0F(0)</math> לא מתחלק ב-<math>p</math>.

'''מסקנה:''' <math>N=\sum_{m\,=\,0}^na_mF(m)</math> הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב-<math>p</math>, ובפרט <math>N\ne0</math>.

===שלב סופי===
לפי השלב הראשון, לכל <math>1\le m\le n</math> מתקיים <math>0<x_m<m\le n</math>. לכן
:<math>\begin{align}A_m&=-m\,\text{e}^{m-x_m}f(x_m)=-\frac{m\,\text{e}^{m-x_m}}{(p-1)!}\,(x_m)^{p-1}\bigl[(1-x_m)(2-x_m)\cdots(n-x_m)\bigr]^p\\[5pt]|A_m|&=\frac{m\,\text{e}^{m-x_m}}{(p-1)!}\,(x_m)^{p-1}\Big|(1-x_m)(2-x_m)\cdots(n-x_m)\Big|^p\\[5pt]&\le\frac{n\,\text{e}^n}{(p-1)!}\,n^{p-1}(1\cdot2\cdots n)^p=\text{e}^n\frac{(n\cdot n!)^p}{(p-1)!}\end{align}</math>
על־פי [[אי-שוויון המשולש]] מתקיים
:<math>0<|N|=\left|\sum_{m\,=\,0}^na_mF(m)\right|=\left|\sum_{m\,=\,1}^na_mA_m\right|\le\sum_{m\,=\,1}^n|a_mA_m|\le\left(\sum_{m\,=\,1}^n|a_m|\right)\text{e}^n\frac{(n\cdot n!)^p}{(p-1)!}</math>
אך <math>\lim_{p\to\infty}\frac{(n\cdot n!)^p}{(p-1)!}=0</math>, כלומר עבור <math>p</math> [[גדול מספיק]] מתקיים <math>0<|N|<1</math>. '''[[סתירה (לוגיקה)|סתירה]].'''

<math>\square</math>

'''מסקנה:''' <math>\text{e}</math> מספר טרנסצנדנטי.

<math>\blacksquare</math>

==קישורים חיצוניים==
*[https://web.archive.org/web/20110716060646/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf הוכחת הטרנסצנדנטיות של e בגרסת הילברט (ואי-רציונליות של π)] {{גרמנית}}
*[http://planetmath.org/encyclopedia/EIsTranscendental.html הוכחת הטרנסצנדנטיות של e בגרסת אדולף הורוויץ] (לא פעיל) [https://web.archive.org/web/20140703002818/http://planetmath.org/eistranscendental ארכיון] {{אנגלית}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:e (קבוע מתמטי)]]
[[קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה]]