הצגת המקור של הדף "טרקטריקס"

[[קובץ:Tractrix.png|שמאל|ממוזער|150px|עקום טרקטריקס. העצם ממוקם בתחילה ב-(4,0).]]
'''טרקטריקס''' (ב[[אנגלית]]: '''Tractrix''') הוא ה[[עקום]] לאורכו עצם נע כאשר הוא נמשך על גבי [[מישור (גאומטריה)|מישור]] אופקי על ידי [[קטע (גאומטריה)|קטע]] ישר המחובר בקצהו השני לנקודה הנעה (מושכת) לאורך [[קו ישר]] המאונך לקו ההתחלתי שמחבר בין הנקודה המושכת והעצם. זהו על כן סוג של [[הנחיית מרדף|עקום מרדף]]. הוא הוצג לראשונה על ידי Claude Perrault ב-1670, ונחקר מאוחר יותר על ידי [[אייזק ניוטון]] (1676) ו[[כריסטיאן הויגנס]] (1692).

שמו של העקום נגזר מהפועל [[לטינית|הלטיני]] "trahere", שפירושו למשוך או לגרור.

== גזירה מתמטית ==
[[קובץ:Tractrixtry.gif|ממוזער|500px|left|יצירת טרקטריקס באמצעות גרירת עצם.]]
נניח שהעצם ממוקם ב-''(a,0)'' (או (4,0) באיור לעיל) ושהנקודה המושכת היא בראשית, כך ש-''a'' הוא אורכו של המוט המושך. אז הנקודה המושכת מתחילה לנוע לאורך הכיוון החיובי של ציר ''y''. בכל רגע, המוט יהיה [[משיק]] לעקום (''y'' = ''y''(''x'' שמתאר העצם, כך שמסלולו הופך תלוי לגמרי בתנועה של הנקודה המושכת. כיוון שגם אורך המוט קבוע בערכו ושווה ל-a, אז מקבלים מתמטית שמסלול העצם מקיים את [[משוואה דיפרנציאלית|המשוואה הדיפרנציאלית]]:

<math>\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}</math>

יחד עם תנאי ההתחלה ''y''(''a'') = 0. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הוא:

<math>y = \int_x^a\frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt = \pm \left ( a\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}}-\sqrt{a^2-x^2} \right )</math>

כאשר האיבר הראשון בפתרון הזה ניתן לכתיבה גם כ-: <math>a \operatorname{arsech}\frac{x}{a}</math>, כאשר ''arsech'' היא [[פונקציות היפרבוליות|פונקציית הסקאנט ההיפרבולית ההופכית]].

הענף השלילי של הפתרון מייצג את המקרה שבו הנקודה המושכת נעה בכיוון השלילי של ציר ''y''. שני הענפים שייכים לטרקטריקס, ונפגשים בנקודת החוד (cusp) שהקואורדינטות שלה הן ''(a,o)''.

== חשיבות העקום ==

משמעות חשובה לעקום הטרקטריקס נגזרת מחקר [[גוף סיבוב|גוף הסיבוב]] שלו מסביב לאסימפטוטה שלו; ה[[פסאודוספירה]]. משטח הפסאודוספירה, שנחקר על ידי [[אאוג'ניו בלטראמי]] ב-1868 כמשטח בעל [[עקמומיות גאוס]] שלילית קבועה, הוא מודל מקומי של [[גאומטריה לא אוקלידית]] (במקרה זה של [[גאומטריה היפרבולית]]).

== תכונות ==
[[קובץ:Evolute2.gif|שמאל|ממוזער|250px|קו השרשרת כאוולוט של הטרקטריקס.]]
* התכונה הבסיסית של הטרקטריקס, שנגזרת ישירות מהדרך הגאומטרית בה הוא מוגדר, היא שלכל נקודה עליו, למקטע של הקו המשיק לו שמחבר בין נקודת ההשקה ונקודת החיתוך שלו עם ה[[אסימפטוטה]], יש אורך קבוע ''a''.
* אורך העקום בין נקודות ''x'' = ''x''<sub>1</sub> ו-''x'' = ''x''<sub>2</sub> הוא <math>a ln(\frac {{x_1}}{{x_2}})</math>.
* השטח בין הטרקטריקס לאסימפטוטה שלו הוא <math>\frac {{\pi a^2}}{{2}}</math>.
* ה[[מעטפת (מתמטיקה)|מעטפת]] של קווי ה[[נורמל]] של הטרקטריקס (שהיא גם ה[[אוולוט]] שלו) היא [[קו השרשרת]] שמשוואתו נתונה על ידי <math>y = a cosh(\frac{{x}}{{a}})</math>. להסבר מורחב לתופעה זאת ראו ערך [[פסאודוספירה]].

== מכונות שרטוט ==
* ב-1693, [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] תיאר מכניזם שיכל לבצע [[תרבוע (מתמטיקה)|תרבוע]] מכני של עקומים. המכניזם, שהוא דוגמה מוקדמת למנגנון של "אינטגרף" (integraph), היה מבוסס על תכונות עקום הטרקטריקס.
* ב-1706 ג'ון פרקס בנה מכונה המבוססת על תכונות העקום שיכלה לבצע תרבוע היפרבולי.
* ב-1729 יוהאן פולני בנה מכונה דומה המאפשרת לשרטט עקומים לוגריתמיים.

== ראו גם ==
* [[פסאודוספירה]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

[[קטגוריה:עקומות]]