הצגת המקור של הדף "יווניות (מתמטיקה פיננסית)"

ב[[מתמטיקה פיננסית]], ה'''יווניות''' (באנגלית: Greeks) הן משתנים המתארים רגישות של [[אופציה|אופציות]] ו[[נגזרים]] פיננסים ביחס ל[[פרמטר]]ים שלהם. השם נגזר מסימון משתנים אלו ב[[אלפבית יווני|אותיות יווניות]].

==יעוד היווניות==
היווניות משמש ככלי עיקרי ב[[ניהול סיכונים פיננסיים]]. כאשר כל יוונית מתארת את השיעור השינוי הצפוי כאשר מתרחש שינוי באחד הפרמטרים של התיק או של נכס הבסיס ובעצם מתארת את [[רגישות (מדד)|רגישות]] התיק לשינוי זה. משתנים אלו מאפשרים למנהל הסיכונים ל[[גידור|גדר]] סיכונים שנובעים משינויים במחיר נכס הבסיס. למשל [[גידור דלתא]] יאפשר גידור של סיכון שנובע משינוי בערך של [[נכס בסיס|נכס הבסיס]].

ב[[מודל בלק ושולס]], חישוב היווניות הוא אנליטי ופשוט, אולם ישנם מודלים שבהם החישוב מסובך מאוד.

קיימות יווניות רבות אולם יש 5 יווניות עיקריות: דלתא, ווגה, תטא, רו, גמא. כאשר הארבע הראשונות הן [[נגזרת חלקית|נגזרות]] מדרגה ראשונה של מחיר נכס הבסיס, וגמא היא נגזרת מדרגה שנייה.

==היווניות==
===דלתא===
[[דלתא (אות)|דלתא]], <math>\Delta</math>, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס לערך נכס הבסיס: <math>\Delta = \frac {\partial V}{\partial S}</math>.
====במודל בלק שולס====
הנוסחה למחיר אופציית רכש (CALL) אירופאית הוא:

:<math> V_c = S\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2) \, </math>

והנוסחה של אופציית מכר (PUT) אירופאית הוא:

:<math> V_p = Ke^{-rT}\Phi(-d_2) - S\Phi(-d_1) \, </math>

כאשר

:<math> d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} </math>

:<math> d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} = d_1 - \sigma\sqrt{T} </math>

:<math>\Phi</math> הוא [[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]] הסטנדרטית.

הדלתא של אופציית רכש: <math>\Delta = \frac {\partial V_c}{\partial S}=\Phi(d_1)</math> ומכיוון ש-<math>\Phi</math> הוא פונקציית התפלגות אז ערכו נע בין 0 ל-1.
הדלתא של אופציית מכר תהיה <math>\Delta = \frac {\partial V_c}{\partial S}=-\Phi(-d_1)=\Phi(d_1)-1</math> וערכה יהיה בין 1- ל-0.

מכיוון שהדלתא של נכס בסיס הוא 1 (ערכה הוא S ולכן <math>\Delta = \frac {\partial S}{\partial S}=1</math>) אז ניתן לגדר לפי דלתא בפשטות תיק בעל נכסים רבים על ידי חישוב ערך הדלתא המשוקלל של כל הנכסים וקניה או מכירה של נכס בסיס לפי הדלתא שהתקבלה כך שהדלתא הכוללת תהיה 0.

===ווגה===
ווגה, מסומן על ידי האות [[נו (אות)|נו]] <math>\nu</math>, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס ל[[תנודתיות (כלכלה)|תנודתיות]]: <math>\nu = \frac {\partial V}{\partial \sigma}</math>.

ווגה היא יוונית החשובה למספר אסטרטגיות כמו [[אסטרטגיית אוכף]] שבו יש חשיבות גדולה מאוד לתנודתיות של נכס הבסיס.

====במודל בלק שולס====
הווגה של אופציית רכש זהה לווגה של אופציית מכר ושווה: <math>\mathcal{V}_c = \mathcal{V}_p = \frac{\partial V}{\partial \sigma}=S\sqrt{T}\Phi'(d_{1})</math>.

ערך הווגה חיובי תמיד וככל שהוא קרוב יותר ל-0 השינוי בתנודתיות משפיעה פחות על ערך התיק.

===תטא=== 
[[תטא]], <math>\theta</math>, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס ל[[ערך הזמן]] של הנגזר. מכיוון שהזמן עד למימוש/פקיעת הנגזר הוא נתון שקטן, התטא מחושבת כנגזרת שלילית <math>\theta = - \frac {\partial V}{\partial T}</math>.

====במודל בלק שולס====
ערך התטא לאופציית רכש: <math>\theta_c = -\frac{S\Phi'(d_{1})\sigma}{2\sqrt{T}}-rKe^{-rT}\Phi(d_{2})</math> {{ש}}
ערך התטא לאופציית מכר: <math>\theta_p = -\frac{S\Phi'(d_{1})\sigma}{2\sqrt{T}}+rKe^{-rT}\Phi(-d_{2})</math>

===רו===
[[רו]], <math>\rho</math>, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס ל[[ריבית חסרת סיכון]] <math>\rho = - \frac {\partial V}{\partial r}</math>.

מכיוון שהריבית במשק אינה משתנה בצורה קיצונית אלא במקרים נדירים מאוד, רו היא היוונית מסדר ראשונה שמשתמשים בה פחות. בדרך כלל אם הזמן הנגזר אינו עולה על 3 שנים, לא מתייחסים כלל למשתנה זה. 

====במודל בלק שולס====
ערך הרו לאופציית רכש: <math>\rho_c =KTe^{-rT}\Phi(d_{2})</math> {{ש}}
ערך הרו לאופציית מכר: <math>\rho_p =-KTe^{-rT}\Phi(-d_{2})</math>

ערך הרו של אופציית רכש חיובי תמיד ושל אופציית מכר שלילי תמיד.

===גמא===
[[גמא]], <math>\gamma</math>, הוא משתנה המתאר את הרגישות של מחיר הנגזר ביחס לשינוי בערך נכס הבסיס זאת אומרת ביחס לדלתא: <math>\gamma = \frac {\partial ^2 V}{\partial S^2}=\frac {\partial \Delta}{\partial S}</math>.

אף על פי שמדובר על שינוי מסדר שני, גמא היא יוונית חשובה מאוד בעיקר כאשר מחיר נכס הבסיס תנודתי מאוד. במקרה כזה, חשיפה גבוהה לגמא מייצרת עלייה מהירה בחשיפה לדלתא, ולכן ההתייחסות לגמא היא באותה דרגת חשיבות כמו ליווניות מסדר ראשון.

רבים ממנהלי הסיכונים מנסים ליצור תיקים מגודרי דלתא-גמא, זאת אומרת שערך הדלתא וערך הגמא של התיק יהיו 0.

====במודל בלק שולס====
ערך הגמא לאופציית רכש ולאופציית מכר זהות ושוות: <math>\gamma_c = \gamma_p = \frac{\partial ^2 V}{\partial S ^2}=\frac{\Phi'(d_{1})}{S\sigma\sqrt{T}}</math>

ערך הגמא חיובי תמיד וככל שהוא קרוב יותר ל-0 השינוי בתנודתיות משפיע פחות על ערך התיק.

==קישורים חיצוניים==

[[קטגוריה:סיכונים פיננסיים]]
[[קטגוריה:מתמטיקה פיננסית]]