הצגת המקור של הדף "יחידה חוזרת"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
'''יחידה חוזרת''' (ב[[אנגלית]]: '''Repunit''', [[הלחם בסיסים]] של repeated unit) הוא [[מספר טבעי]] שכל [[ספרה|ספרותיו]] הם [[אחד]]ות, כגון 1, [[11 (מספר)|11]] ו-11111. המספרים שהם יחידות חוזרות משתנים מ[[בסיס ספירה]] אחד למשנהו. היחידה החוזרת בבסיס b שלו n ספרות מסומן <math>\ R^{(b)}_n</math>.

==הגדרה והצגה==
לפי ההגדרה של ייצוג מספר בבסיס ספירה b יחידה חוזרת הוא [[סכום]] ה[[טור הנדסי|טור ההנדסי]]:
:<math>\ R^{(b)}_n = \sum_{i=0}^{n-1} b^i = 1+b+b^2+\ldots +b^{n-1}</math>

כאשר הבסיס הוא [[בסיס אונרי]] (b=1) כל מספר הוא יחידה חוזרת ומתקיים <math>\ R^{(b)}_n=n</math>. לפי הנוסחה לסכום טור הנדסי, לכל בסיס <math>\ b>1</math>  מתקיים:
:<math>\ R^{(b)}_n = \frac{b^n-1}{b-1}</math>

למשל ב[[בסיס עשרוני]] הנפוץ יחידות חוזרות הם מספרים מהצורה:
:<math>\ R^{(10)}_n =  \frac{10^n-1}{9}</math>
לדוגמה:
:<math>\ R^{(10)}_3 =  \frac{1000-1}{9} = 111</math>

מקרה פרטי חשוב הוא ב[[בסיס בינארי]] (b=2), אז מתקבל:
:<math>\ R^{(2)}_n = \frac{2^n-1}{2-1} = 2^n-1</math>

כלומר היחידות החוזרות בבסיס בינארי הם [[מספר מרסן|מספרי מרסן]].

==מחלקים וראשוניות==
אם <math>\ n</math> [[מחלק|מתחלק]] ב-<math>\ m</math> אז <math>\ R^{(b)}_n</math> מתחלק ב-<math>\ R^{(b)}_m</math>. זאת בהסתמך על הזהות האלגברית הבסיסית:
:<math>\ R^{(b)}_m \cdot \sum_{i=0}^{n/m-1} b^{im} = (1+b+b^2+ \ldots + b^{m-1})(1+b^m+b^{2m}+ \dots + b^{n-m}) = 1+b+b^2+\ldots +b^{n-1} = R^{(b)}_n 
</math>

לכן <math>\ R^{(b)}_n</math> [[מספר פריק|פריק]] אם <math>\ n</math> פריק ו-<math>\ R^{(b)}_n</math> יכול להיות [[מספר ראשוני|ראשוני]] רק אם <math>\ n</math> ראשוני. המשפט ההפוך אינו נכון - ייתכן כי <math>\ n</math> ראשוני ו-<math>\ R^{(b)}_n</math> פריק. למשל: <math>\ R^{(10)}_3 = 111 = 3 \times 37</math>.

בשל העניין הרב ב[[בדיקת ראשוניות]] ו[[פירוק מספר שלם לגורמים|פירוק לגורמים]] חוקרים רבים חיפשו יחידות חוזרות ראשוניים. היחידות החוזרות הראשוניים הראשונים בבסיס עשרוני הם <math>\ R^{(10)}_2, R^{(10)}_{19}, R^{(10)}_{23}, R^{(10)}_{317}, R^{(10)}_{1031},\ldots</math>. נכון לשנת [[2010]] היחידה החוזרת הגדול ביותר החשוד כראשוני הוא <math>\ R^{(10)}_{270343}</math> ולא נמצא חשוד אחר עד ל-<math>\ R^{(10)}_{1300000}</math>. 

משערים כי בבסיסים מסוימים (למשל עשרוני ובינארי) ישנם אינסוף יחידות חוזרות ראשוניים, אולם טרם הוכח מקרה כזה. ידועים בסיסים בהם יש רק מספר סופי של יחידות חוזרות ראשוניים. למשל ידוע כי לכל n מתקיים ש-3 תמיד מחלק את 2<sup>n</sup>+1 או את 2<sup>n</sup>-1 (כי הוא בוודאי לא מחלק את 2<sup>n</sup> והוא חייב לחלק אחד מבין שלושה עוקבים) ולכן בבסיס 4: <math>\ R^{(4)}_n = \frac{4^n-1}{3} = \frac{(2^n+1)(2^n-1)}{3}</math> הוא תמיד פריק למעט במקרה <math>\ R^{(4)}_2 = 5</math>. בדרך דומה מראים כי <math>\ R^{(8)}_3 = 73</math> הוא היחידה החוזרת הראשוני היחיד ב[[בסיס אוקטלי|בסיס 8]], ושאין כלל יחידות חוזרות ראשוניים בבסיס 9.

מקרה חשוב במיוחד הוא מציאת יחידות חזרות ראשוניים בבסיס בינארי, הלו הם מספרי מרסן ראשוניים. ראשוניים כאלה משמשים למציאת [[מספר משוכלל|מספרים משוכללים]] (מכל מספר מרסן ראשוני ניתן לבנות מספר משוכלל), ובאופן יחסי, קל לבדוק את הראשוניות שלהם. לכן המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים כיום הם מספרי מרסן.

==השערת גורמאגטיג==
השערת גורמאגטיג היא ה[[השערה (מתמטיקה)|השערה]] שהמספרים היחידים שהם יחידות חוזרות עם יותר משלוש ספרות בשני בסיסים שונים (לא כולל בסיס אונרי), הם [[31 (מספר)|31]] (בבסיס 2 ו-5) ו-8191 (בבסיס 2 ו-90).

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:תכונות התלויות בבסיס הספירה]]