הצגת המקור של הדף "יחס הזהב"

[[קובץ:Phi uc lc.svg|שמאל|ממוזער|145px|ה[[אות]] [[פי]], שבה מתחיל שמו של ה[[פסל (מקצוע)|פָּסַל]] ה[[יוונים|יווני]] [[פידיאס]], היא ה[[סימון מתמטי|סימול המקובל]] ליחס הזהב]]
'''יחס הזהב''' (או '''חיתוך הזהב''') הוא [[קבוע מתמטי]] המעסיק את ה[[מדע]] וה[[אמנות]] כבר מאות שנים. זהו [[מספר אי רציונלי]] המסומן ב[[אלפבית יווני|אות היוונית]] [[פי]] (<math>\phi</math> ולעיתים <math>\Phi</math>):
<math>\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{.}6180339887498948482045868343656\dots</math>.

יחס הזהב הוא הפתרון החיובי של ה[[משוואה]]: <math>\ x^2 = x+1</math>

לפי ההשערות, [[יחס (בין מספרים)|יחס]] זה התגלה על ידי אחד מתלמידיו של [[פיתגורס]]; הוא תואר בספרו של [[אוקלידס]], "[[יסודות (ספר)|יסודות]]", לפני כ-2,300 שנים. [[לוקה פאצ'ולי]], [[מתמטיקאי]] איטלקי מתקופת ה[[רנסאנס]], הקדיש ליחס הזהב ספר שלם, וכינה אותו "[[הפרופורציה האלוהית]]".

היחס מייצג מידות וגדלים רבים ב[[טבע]], והחל מתקופת [[יוון הקלאסית]], הוא גם משמש ב[[אמנות]] וב[[אדריכלות]]. את האות פי לתיאור היחס הציע המתמטיקאי האמריקני [[מארק באר]].

{| class="infobox bordered" cellpadding=5
|+ '''ייצוגים שונים של יחס הזהב'''
|-
| [[בסיס בינארי|בינארי]]
| 1.1001111000110111011...
|-
| [[השיטה העשרונית|עשרוני]]
| 1.6180339887498948482...
|-
| [[בסיס הקסדצימלי|הקסדצימלי]]
| 1.9E3779B97F4A7C15F39...
|-
| [[שבר משולב]]
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
| [[מספר אלגברי|ייצוג אלגברי]]
| <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
|-
| [[טריגונומטריה]]
| <math>2\cos(\pi/5)</math>
|}

==הגדרות מתמטיות==
===הצגה גאומטרית של ההגדרה===
[[קובץ:Golden ratio line.svg|שמאל|250px|ממוזער|ה[[קטע (גאומטריה)|קטע]] a+b [[יחס (בין מספרים)|מתייחס]] ל-a כמו ש-a מתייחס ל-b]]
שני גדלים a ו-b מקיימים את '''יחס הזהב''' אם היחס בין [[חיבור|סכום]] הגדלים לבין ה[[גדול (יחס)|גדול]] מביניהם שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם. בנוסחה:
: <math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}</math>
באותה מידה, יחס הזהב מתקיים כאשר היחס בין הגדול לקטן שווה ליחס שבין הקטן לבין הפרש הגדלים. בנוסחה:
: <math>\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}</math>

בהתקיים שוויון זה, היחס בין הגדלים האמורים שווה ליחס הזהב:

:: <math>\phi = \frac{a}{b}= 1{.}618033988\dots</math>

=== הצגה אלגברית של ההגדרה ===
[[קובץ:Golden Ratio. Deriving equation.svg|210px|שמאל|לא ממוסגר]]
אם נסמן את יחס הזהב ב-''<math>\ \phi </math>'', נקבל את ה[[פולינום|משוואה האלגברית]] <math>\ \phi = 1 + 1/\phi</math>, הנגזרת
מהדרישה <math>\ (a + b)/a = a/b</math> שלעיל, או באופן שקול, מ-<math>\ 1+ b/a = a/b</math>. משוואה זו שקולה ל[[משוואה ריבועית|משוואה הריבועית]] <math>\phi^2 = \phi + 1\ </math>, שלה פתרון חיובי ופתרון שלילי. הפתרון החיובי הוא
: <math>\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618033988...</math>
זהו ה[[מספר ממשי|מספר הממשי]] החיובי היחיד שמקיים את המשוואה הריבועית לעיל.

== תכונות מתמטיות של יחס הזהב ==
* יחס הזהב הוא [[מספר אי רציונלי]]. עובדה זו נובעת מכך שהמספר <math>\sqrt{5}</math> הוא אי רציונלי.
* ההופכי של יחס הזהב הוא בקירוב 0.618. זהו [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של השורש השלילי של המשוואה הריבועית לעיל, והוא גם שווה ליחס הזהב פחות יחידה.
* הריבוע של יחס הזהב הוא בקירוב 2.618 - הוא עצמו ועוד יחידה.

כמו כן, יחס הזהב שווה לשני הביטויים הבאים:
* השורש החוזר <math>\ \phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}</math>
* ה[[שבר משולב|שבר המשולב]] <math>\ \phi = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}</math>
* תכונותיו של יחס הזהב מקבלות ביטוי בזוויות מסוימות (עשירית או חמישית ממחצית העיגול) המתקשרות לתכונות של מחומשים (ראו בהמשך):
{|
|-
| <div style="text-align: left;"><math>\phi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math></div>
|-
|
|-
| <div style="text-align: left;"><math>\phi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,</math></div>
|}

== יחס הזהב וסדרת פיבונאצ'י ==
{{הפניה לערך מורחב|סדרת פיבונאצ'י}}
[[קובץ:FibonacciBlocks.svg|שמאל|ממוזער|180px|[[מלבן]] [[סדרת פיבונאצ'י]]]]
[[סדרת פיבונאצ'י]] היא סדרת מספרים ששני איבריה הראשונים שווים ל-1, ולאחר מכן כל איבר בסדרה הוא סכום של שני האיברים הקודמים לו. תחילתה של הסדרה היא המספרים 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. (יש המגדירים את הסדרה כמתחילה במספר 0). נהוג לסמן ב-<math>\ F_n</math> את האיבר ה-n בסדרה. [[יוהאנס קפלר]] הראה שהמנה של כל שני איברים עוקבים בסדרת פיבונאצ'י שואפת ליחס הזהב. עם זאת, גם אם נחשב את היחס בין שני איברים עוקבים גדולים מאוד בסדרה, לעולם לא נקבל בדיוק את יחס הזהב, משום שכאמור, יחס זה אינו [[מספר רציונלי]].
תכונה זאת אינה מיוחדת לסדרת פיבונאצ'י דווקא, אלא כל סדרה [[רקורסיה|רקורסיבית]] בעלת התנאי <math>\ F_{n+1} = F_n+F_{n-1}</math>, לכל תנאי התחלה, היחס <math>\frac{\ F_n}{F_{n-1}}</math> שואף ליחס הזהב ככל ש-n גדל.

אחת ההצגות הגאומטריות של הסדרה מתחילה בריבוע שאורך צלעו 1, כגודל האיבר הראשון. לריבוע זה מוצמד ריבוע נוסף בגודל 1x1, כך ששני הריבועים יוצרים [[מלבן]] שרוחבו 1 ואורכו 2, כגודל שני האיברים <math>\ F_2</math> ו-<math>\ F_3</math>. בשלב הבא נצמיד למלבן ריבוע בגודל 2x2, ונקבל מלבן חדש בגודל 2x3. תוספת של ריבוע בגודל 3x3 תיצור מלבן בגודל 3x5, וכך הלאה. בכל שלב, ההוספה של ריבוע שאורך צלעו הוא האיבר הבא בסדרת פיבונאצ'י יוצרת מלבן שאורכי צלעותיו הם שני איברי פיבונאצ'י עוקבים. המלבנים המתקבלים מתקרבים יותר ויותר למלבן הזהב - מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב.

יחס הזהב מושג ב[[קירוב]] טוב כבר באיבר ה-11:

:<math>\ \frac{F_{11}}{F_{10}} = \frac{89}{55} = 1.6181818...</math>

באיבר ה-16, הדיוק משתפר:

:<math>\ \frac{F_{16}}{F_{15}} = \frac{987}{610} = 1.61803...</math>

=== חזקות ===
חזקות טבעיות של יחס הזהב ניתנות להבעה על ידי צירופים של מספרי פיבונאצ'י, בצורה הכללית הבאה:
: <math> \!\ \phi^n = F_n\phi + F_{n-1} </math>

כך מתקבל

: <math> \!\ \phi^0 = 1 </math>
: <math> \!\ \phi^1 = 1\phi + 0 </math>
: <math> \!\ \phi^2 = 1\phi + 1 </math>
: <math> \!\ \phi^3 = 2\phi +1 </math>
: <math> \!\ \phi^4 = 3\phi + 2 </math>
: <math> \!\ \phi^5 = 5\phi + 3 </math>
: <math> \!\ \phi^6 = 8\phi + 5 </math>
: <math> \!\ \phi^7 = 13\phi + 8 </math>
:

== סדרות נוספות הקשורות ליחס הזהב ==

סדרה נוספת הקשורה ליחס הזהב היא סדרת [[מספרי לוקאס]], הנפתחת במספרים 2,1 וממשיכה כסדרת פיבונאצ'י כך שכל מספר הוא סכום שני הקודמים לו:
: 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76...
סדרה זו ידועה בכך ש-<math>{L_n}</math> <math>\approx</math> <math> \!\ \phi^n </math> ככל ש-n גדל. למשל: <math> \!\ \phi^6 = 17.94427191 </math> ואילו <math>{L_6}=18</math>.

== גאומטריה של יחס הזהב ==
===מלבן הזהב===
[[קובץ:Rechteck GoldenerSchnitt.gif|250px|שמאל]]
'''מלבן הזהב''' הוא מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב.

תכונתו המיוחדת של מלבן הזהב היא שהוספת [[ריבוע]] אליו יוצרת מלבן זהב חדש. נראה זאת: אם נוסיף למלבן הזהב שמשמאל את הריבוע שצלעו a, נקבל מלבן חדש שצלעותיו הן a ו-a+b, שהיחס ביניהן הוא יחס הזהב - <math>\phi</math>, זאת מאחר שאם
[[קובץ:Golden Rectangle Construction.svg|שמאל|ממוזער|200px|[[בנייה (גאומטריה)|בנייה]] של מלבן זהב:{{ש}}1. בנה [[ריבוע]] ש[[צלע (גאומטריה)|צלעו]] יחידה (מודגש באדום).{{ש}}2. חצה אותו לשני [[מלבן|מלבנים]].{{ש}}3. השתמש ב[[אלכסון]] של אחד המלבנים בתור [[רדיוס]] לבניית מלבן הזהב]].
<math>\frac{a}{b} = \phi</math>
: הרי ש- <math>1+\frac{a}{b} = \phi+1</math>
: או <math>\frac{a+b}{b} = \phi+1 = \phi^2</math> (על פי תכונתו של יחס הזהב לעיל)
כלומר היחס בין a+b ל-b הוא יחס הזהב בריבוע, אך היחס בין a ל-b הוא יחס הזהב, ולכן גם היחס בין a+b ל-a הוא יחס הזהב, שכן
<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a+b}{b} \cdot \frac{b}{a} = \phi^2 \cdot \frac{1}{\phi} = \phi</math>.

קיימת טענה כי היוונים הקדמונים והמצרים הקדמונים התייחסו אל יחס הזהב כאל יחס אסתטי במיוחד, ולכן ניתן למצוא יחס זה במבנים מהעולם העתיק, כגון ה[[פרתנון]] באתונה, וביצירות [[אמנות]]. השימוש ביחס הזהב, ככל שהוא קיים בתחומים אלה, מתבטא בעיקר באמצעות מלבן הזהב.

=== יחס הזהב, מחומשים ופנטגרמים ===
[[קובץ:Pentagram-phi.svg|שמאל|ממוזער|200px|[[פנטגרם]], ובו מודגשים [[קטע (גאומטריה)|קטעים]] שונים, ה[[יחס (בין מספרים)|מתייחסים]] זה לזה ביחס הזהב:{{ש}}
 • היחס בין הקטע ה{{צבע גופן|אדום|אדום}} לקטע ה{{צבע גופן|ירוק בהיר|ירוק}} שווה ליחס הזהב,{{ש}}
 • כמו גם היחס בין הקטע ה{{צבע גופן|ירוק בהיר|ירוק}} לקטע ה{{צבע גופן|כחול|כחול}},{{ש}}
 • והיחס בין הקטע ה{{צבע גופן|כחול|כחול}} לקטע ה{{צבע גופן|סגול|סגול}}.]]
ל[[מחומש]] משוכלל ול[[פנטגרם]] תכונות הקושרות אותם במישרין ליחס הזהב.

אם נמתח אלכסונים בתוך מחומש משוכלל, נקבל פנטגרם, ובמרכזו של כל פנטגרם נקבל מחומש משוכלל חדש, וכך ניתן להמשיך את הסדרה עד [[אינסוף]]. גודלה של [[זווית]] פנימית במחומש משוכלל הוא 108 [[מעלה (זווית)|מעלות]], ולכן הזווית בכל אחד מקודקודי הפנטגרם היא בת 36 מעלות.
:(במשולש שווה-שוקיים שקודקדו 36 מעלות ניתן להוכיח שהיחס קיים בין השוקיים לבסיס על ידי [[דמיון משולשים]])

הפנטגרם הוא אחת מהצורות ה[[גאומטריה|גאומטריות]] שבהן מתגלה באופן טבעי יחס הזהב. בפנטגרם מתחלקות הצלעות המרכיבות אותו למספר קטעי צלעות באורכים שונים. היחס בין כל שני אורכים עוקבים שווה ליחס הזהב.
סוברים{{הערה|למשל, קורט פון-פריץ, במאמרו "גילוי חוסר המידה המשותפת בידי היפסוס ממטאפונטום" (1945 ,The Annals of Mathematics)}}, כי תוך התבססות על קשר זה, הוכיחו הפיתגוראים כי אין [[מידה משותפת]] לצלע ולאלכסון של המחומש (כלומר מדובר ב[[יחס (בין מספרים)|יחס]] שהוא [[מספר אי רציונלי]]) - מה שמתקשר להיותו של יחס הזהב מספר אי רציונלי. על כך נסמכת טענה נוספת - מי שגילה את יחס הזהב היו כבר ה[[פיתגוראים]].

=== זווית הזהב ===
[[קובץ:Angulodeoro.png|שמאל|ממוזער|200px|[[זווית]] הזהב]]
אם נחלק את המעגל (360 מעלות) ביחס הזהב, נקבל זווית בת כ-°{{כ}}222.5. הזווית המשלימה זווית זו ל-360° נקראת זווית הזהב והיא שווה בקירוב ל-137.5°.

:: <math>\Psi_2 = \frac{360^\circ}{\phi} \approx 222{.}5^\circ </math>

זווית הזהב היא:

:: <math>\Psi = 360^\circ - \frac{360^\circ}{\phi} \approx 137{.}5^\circ </math>

תצפיות של חוקרים על נביטת עלי צמחים הראו שעלים חדשים נוטים להופיע בזווית זו על הגבעול.
{{-}}

== יחס הזהב ויחסים אחרים ==
יחס הזהב הוא המוכר בסדרה של יחסים, או קבועים מתמטיים, הנקראים '''ממוצעי הכסף''' (silver means), ששוויים הוא פונקציית הזהב:
: <math>

 \frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4}\right)
</math>

יחס הזהב מתקבל עבור n=1 ואילו עבור n=2 מתקבל קבוע הנקרא [[יחס הכסף]]. יחסים נוספים מובאים בטבלה משמאל. היחסים הללו פותרים את המשוואה הריבועית

: <math>
x^2 - nx = 1,\,
</math>

{| class="infobox" style="font-size: 90%; text-align: center;"
|-
| colspan="3" align="center" |'''קבועי הכסף'''
|-
|'''0:''' || (0 + 4√)½ ||1
|-
|'''1:''' || (1 + 5√)½ ||1.618033989
|-
|'''2:''' || (2 + 8√)½ ||2.414213562
|-
|'''3:''' || (3 +13 √)½ ||3.302775638
|-
|'''4:''' || (4 + 20√)½ ||4.236067978
|-
|'''5:''' || (5 +29√)½ ||5.192582404
|-
|'''6:''' || (6 + 40√)½ ||6.162277660
|-
|'''7:''' || (7 + 53√)½ ||7.140054945
|-
|'''8:''' || (8 +68√)½ ||8.123105626
|-
|'''9:''' || (9 +85√)½ ||9.109772229
|-
|'''...'''
|-
|'''n:''' || <math>

 \frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4}\right)
</math>
|}
ושווים גם לביטוי:
:<math>n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}
\,</math>

סדרה בעלת מיקום סידורי m שבה האיבר האפסי הוא 0, האיבר הראשון הוא 1 והיחס בין שני איבריה העוקבים שואף לממוצע הכסף <math>
 \frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4}\right)
</math>, היא בעלת הנוסחה הסגורה:

<math>\!\, \frac{1}{\sqrt{n^2+4}}\left[\left(\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right)^m-\left(\frac{n-\sqrt{n^2+4}}{2}\right)^m\right]</math>

עבור n=1 מתקבלת הנוסחה הסגורה ל[[סדרת פיבונאצ'י]], ואילו עבור n=2 מתקבלת הנוסחה הסגורה ל[[סדרת פל]]. עבור המספר n, החוקיות של הסדרה היא שכל איבר שווה ל-n פעמים כפול האיבר הנמצא מקום אחד לפניו, ועוד האיבר הנמצא שני מקומות לפניו. כלומר:

<math>\ F_{m} = n \cdot F_{m-1}+F_{m-2}</math>

==תחומים בהם מופיע יחס הזהב==
יחס הזהב קיבל הילה מיסטית מסוימת, עד כדי כינויו בשם "הפרופורציה האלוהית" בספרו של פאצ'ולי. מנגד, נמצא ב-1994 שוויון המקשר את יחס הזהב דווקא ל-[[666 (מספר)|מספר החיה]] (666) - מספרו של ה[[אנטיכריסט]]:
: <math>-\frac{\phi}{2}=\sin666^\circ=\cos(6\cdot 6 \cdot 6^\circ).</math>
בעוד שאין חולק על תכונותיו המתמטיות המיוחדות של המספר, רבים רואים בנטייה לחפש את היחס בתחומים מסוימים כאדריכלות ואמנות כנטיית לבם של חסידי המספר ותו לא, וזאת מהטעם שערכו של המספר קרוב מאוד ל[[שבר (מתמטיקה)|שבר]] העשרוני 1.6.
יחס הזהב מופיע, או נטען ככזה, בתחומים הבאים:
* ב[[גאומטריה]]: בפנטגרמים ומחומשים, במלבני זהב ובמשולשי זהב.
* ב[[בוטניקה]]: בסידור העלים סביב הגבעול, במיקום הזרעים בתפוח, באיצטרובל של אורן, בהיערכות זרעי ה[[חמנייה]] ב[[תפרחת]], בעלי הכותרת בוורד.
* בתצורות של [[גביש]]ים: על גילוי [[גביש כמו-מחזורי]] מחומש המקיים את יחס הזהב זכה פרופ' [[דן שכטמן]] ב[[פרס נובל לכימיה]] לשנת 2011{{הערה|{{ynet|פרופ' מריו ליביו|תגלית הזהב: המתמטיקה שמאחורי הגבישים|4131874|5 באוקטובר 2011}}}}
* בדגלי מדינות
* ב[[בעלי חיים]]: בקרני [[צבי|צבאים]], ביחס בין ה[[דבורת הדבש|דבורים]] בכוורת, ובצורה הלוליינית של קונכיית ה[[נאוטילוס (בעל חיים)|נאוטילוס]] (אם כי יש הרואים בכך מיתוס ותו לא{{הערה|<div class="mw-content-ltr">John Sharp, [http://www.emis.de/journals/NNJ/Sharp_v4n1-pt04.html Spirals and the Golden Section – Part 4: The Myth Of The Nautilus Shell], Nexus Network Journal, Winter 2002</div>|כיוון=שמאל}})
* באמנות
* ב[[אדריכלות]]: למשל במבנה [[מוזיאון גוגנהיים]], או ב[[מטה האומות המאוחדות]]
* ב[[ניתוח טכני]] של שוק המניות (בהתבסס על [[סדרת פיבונאצ'י]])
* בהליכים מסוימים ב[[פסיכולוגיה]].{{מקור|נושא=מדעי הטבע|נושא2=מדע וטכנולוגיה}}
* ב[[אנליזה נומרית]] - [[סדר ההתכנסות]] של [[שיטת המיתר]] (secant) הוא יחס הזהב.
* ב[[מעגל חשמלי|מעגלים חשמליים]] - ההתנגדות השקולה של שרשרת נגדים אינסופית בערך של 1 אוהם המחוברים לסירוגין בטור ובמקביל שווה ליחס הזהב<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Gary ZL1AN|שם=The Infinite Resistor Chain|כתב עת=NZART Journal|שנת הוצאה=2007|קישור=https://www.qsl.net/zl1an/Downloads/Infinite_resistor_chain.pdf}}</ref>.

===מלבן הזהב באמנות ובאדריכלות===
[[קובץ:יחס הזהב בכיפת הסלע.jpg|טקסט=יחס הזהב בהיכל כיפת הסלע, מבט ממרחק 75 מ', מצפון. היחס בין בסיס המבנה לגובה הכיפה המוזהבת: 1.618 צילום וגרפיקה: דב תמרקין|ממוזער|200x200 פיקסלים|יחס הזהב ב[[כיפת הסלע]], ב[[הר הבית]] שב[[ירושלים]], [[ישראל]]]]
[[קובץ:Saint-jerome-or.JPG|שמאל|ממוזער|200px|[[הירונימוס הקדוש (דה וינצ'י)|הירונימוס הקדוש]]]]
[[קובץ:BosselePlein.jpg|שמאל|ממוזער|200px|[[כיכר עירונית|כיכר]] ב[[כפר]] ה[[הולנד]]י ברוסלה, ש[[אדריכלות נוף|תוכננה]] על פי יחס הזהב.]]
יצירות [[אמנות חזותית|אמנות חזותיות]] ואדריכליות משמשות את חסידי יחס הזהב ככר פורה. ברוב המקרים קשה להוכיח או להפריך את הטענות בדבר שימוש ביחס הזהב, הן בשל בעיות מדידה (וקרבתו של היחס למספר 1.6), והן בשל היעדר כל תיעוד.

נטען כי השימוש ביחס הזהב החל כבר ב[[אדריכלות יוון העתיקה|אדריכלות של יוון הקלאסית]]. מבנים קלאסיים כגון ה[[פרתנון]] ב[[אתונה]] נבנו ביחס קרוב ליחס הזהב, אם כי יש מומחים המפקפקים בכך{{הערה|George Markovsky, [http://laptops.maine.edu/GoldenRatio.pdf Misconceptions about the golden ratio], College Mathematics Journal 23 (1992)|כיוון=שמאל}} וטוענים, כי מדידת הפרתנון עשויה להיערך בכל מיני צורות, והאומדן כי יחס הזהב היה מעורב בבנייה היא שרירותית.

יש הטוענים{{מקור|נושא=מדעי הטבע|נושא2=מדע וטכנולוגיה}} שאת יחס הזהב ניתן לראות גם ב[[מבנה אדריכלי|מבנה]] [[הפירמידה הגדולה של גיזה]], בה היחס בין גובה הפירמידה לבסיסה הוא 1.618. כמו כן, יחס הגבהים בין הראש לרגל לבין המרחק מהטבור לרגל הוא 1.618.

יש המנסים לראות את יחס הזהב גם בממדיו של [[ארון הברית]], שבהתאם להוראות הבנייה, אורכו [[אמה (יחידת מידה)|אמתיים]] וחצי, ורחבו אמה וחצי.<ref>שמות, כ"ה, 10</ref>. כלומר יחס של 1.666, שהוא הקירוב הטוב ביותר ליחס הזהב לאור העובדה שתכנון המשכן נמסר באמות שלמות או חצויות בלבד.{{הערה|[[שם טוב גפן]], הממדים הנבואה האדמתנות, ירושלים תשל"ד, עמ' 209. [[מאיר בר-אילן (חוקר)|מאיר בר-אילן]], נומרולוגיה מקראית, רחובות תשס"ה, עמ' 51.}}

ב[[ימי הביניים]] נעשה שימוש ביחס הזהב ב[[אדריכלות אסלאמית|אדריכלות האסלאמית]]. לדוגמה, [[כיפת הסלע]] ב[[ירושלים]] נבנתה במידות פרופורציונליות מדויקות התואמות את יחס הזהב{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר=דורון חן|שם=The design of the Dome of the Rock in Jerusalem|כתב עת=Palestine Exploration Quarterly|כרך=112|שנת הוצאה=1980|עמ=41-50|קישור=https://ur.booksc.me/book/39316672/d5e5e4}}|כיוון=שמאל}}, אם כי קיים קושי להראות כי אכן מדובר ביחס הזהב.

יש הסבורים כי יחס הזהב נחשב באמנות כפרופורציה המושלמת והיפה ביותר שאדם יכול לתאר. [[אמן (אמנות)|אמני]] ה[[רנסאנס]] בתחום הציור, הפיסול והאדריכלות השתמשו בפרופורציות אלה כדי להשיג את מה שנחשב ליופי המושלם. פרופורציות של חתך הזהב ניתן למצוא בשפע ב[[ציור]]יו של [[לאונרדו דה וינצ'י]] ושל אמנים גדולים אחרים.

אנשי הרנסאנס [[פיירו דלה פרנצ'סקה]] ו[[לוקה פאצ'ולי]] כתבו שניהם [[ספר]]ים העוסקים ביחס הזהב. ספרו של פאצ'ולי "[[על הפרופורציה האלוהית]]" ("De divina proportione") נכתב ב[[מילאנו]] בשנים [[1496]]–[[1498]] ופורסם ב[[ונציה|וונציה]] ב-[[1509]]. את הספר [[מאייר|אייר]] לאונרדו דה וינצ'י.

בציורו המפורסם של לאונרדו דה וינצ'י, ה[[מונה ליזה]], ניתן למדוד יחס זהב מדויק בפני המונה ליזה. גם בציור "[[הירונימוס הקדוש (דה וינצ'י)|הירונימוס הקדוש]]" משנת [[1483]] השתמש דה וינצ'י ביחס הזהב. בציור מתואר [[הירונימוס]] ה[[קדוש (נצרות)|קדוש]] יושב ולמרגלותיו אריה. הירונימוס הקדוש עצמו תחום במלבן זהב. גם על טענות אלה קמו חולקים.

גם כיום משתמשים במלבן הזהב ב[[אדריכלות]] וב[[גרפיקה]]. מספר בניינים מודרניים נבנו בעולם לפי יחס הזהב. למשל, היחס בין גובהו (152 מטר) ורוחבו (95 מטר) של [[בניין המזכירות של האומות המאוחדות]] ב[[ניו יורק]] הוא היחס 1.621 שקרוב מאוד לחתך הזהב. [[כרטיס אשראי|כרטיסי אשראי]] ו[[כרטיס מגנטי|כרטיסים מגנטיים]] נוספים קרובים במידותיהם למלבן הזהב.

==ראו גם==
* [[סימטריה]]
* [[יחס הכסף]]
* [[ערכים עדיפים]]

==לקריאה נוספת==
* [[אלי מיטב]], '''מספרים מכושפים - על חיתוך הזהב, סדרת פיבונאצ'י ועוד פנינים מתמטיות''', הוצאת שורש, 2008.
* [[מריו ליביו]], '''חיתוך הזהב – קורותיו של מספר מופלא''', [[הוצאת אריה ניר]], 2003.
* [[מיכאל קוסטא]], '''חתך הזהב, חותם שלמה ומגן דוד''', [[ספרית פועלים]], 1990.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://goldennumber.net אתר העוסק ביחס הזהב, יישומיו ושאר הקשרים שונים]
* [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html אתר העוסק ביחס הזהב], כולל ערכו עד אלפי ספרות אחרי הנקודה העשרונית
* {{מחשבות|[[גילה בלס]]|חתך הזהב באמנות|m059p036-045|אפריל 1990}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Golden_ratio}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* [https://www.masa.co.il/article/חתך-הזהב-יופי-של-מתמטיקה מאמר] של [[ליאור שמיר]] על חתך הזהב
* {{OEIS||סדרת הספרות של יחס הזהב}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007533649305171|חתך הזהב}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{מספרים אי-רציונליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:קבועים מתמטיים]]
[[קטגוריה:אסתטיקה]]
[[קטגוריה:מספרים אלגבריים]]
[[קטגוריה:סדרת פיבונאצ'י]]
[[קטגוריה:יוון: המצאות]]
[[קטגוריה:יחסים]]