הצגת המקור של הדף "יחס הכסף"

[[קובץ:Delta.jpg|ממוזער|150px|הסימול ה[[מתמטיקה|מתמטי]] המקובל של יחס הכסף]]
'''יחס הכסף''' הוא כינוי{{הערה|[http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html Silver Ratio], Wolfram > [[MathWorld]] website}}  ל[[קבוע מתמטי|קבוע המתמטי]] <math>\ 1+\sqrt{2}</math> שערכו ה[[קירוב|מקורב]] הוא 2.4142135623....

סימולו ה[[מתמטיקה|מתמטי]] המקובל הוא: <math>\delta_{Ag}</math> או <math>\delta_{S}</math>.

==הגדרה והצגה==
יחס הכסף מהווה פתרון ל[[משוואה ממעלה שנייה|משוואה הריבועית]] <math>\ x^2-2x-1=0</math>.
* ניתן להציג את יחס הכסף כסכום של [[1 (מספר)|אחת]] ועוד [[השורש הריבועי של 2|שורש שתיים]]:
:<math>\delta_{Ag} = 1+\sqrt{2} \approx 2.4142135623...\, </math>
:כך שמתקיים: <math>(\delta_{Ag}-1)^2=2\,  </math>
* ניתן להציגו גם כ- <math> \delta_{Ag} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}  </math>

* הגדרה נוספת של יחס הכסף היא ה[[שבר משולב|שבר המשולב]] האינסופי:

:<math>
\delta_{Ag} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\, .
</math>

==יחס הכסף וסדרת פל==
יחס הכסף נקרא בשם זה ב[[אנלוגיה]] ל[[יחס הזהב]] המוכר יותר. לשני היחסים תכונות רבות משותפות (ראו בהמשך). אחת מהן היא ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין איברי [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] מספרית: כפי שיחס הזהב מהווה את קירוב היחס בין שני [[סדרת פיבונאצ'י|מספרי פיבונאצ'י]] עוקבים, כך יחס הכסף מהווה את היחס בין שני איברי [[סדרת פל]] עוקבים.

סדרת פל היא סדרה שתחילתה במספרים [[0 (מספר)|0]] ו-[[1 (מספר)|1]], וכל איבר נוסף בה הוא סכום של פעמיים האיבר הקודם לו ושל האיבר שלפני הקודם. כך למשל, האיבר הרביעי בסדרה הוא 5 – פעמיים המספר 2 ופעם אחת המספר 1.

תחילתה של סדרת פל היא המספרים: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ...

באיבר התשיעי, הקירוב הוא:
:<math>\frac{985}{408}=2.4142\approx 1+\sqrt{2}</math>

==תכונות מתמטיות של יחס הכסף==
* [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] יחס הכסף ניתנות להבעה באמצעות איברי סדרת פל בצורה הבאה:
:<math> \!\ \delta_{Ag}^n = K_n\delta_{Ag} + K_{(n-1)} </math>
:כאשר <math> \!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)} </math> הוא האיבר ה-<math>n</math>-י בסדרת פל:

:<math> \begin{align} & \delta_{Ag}^0 = 1 \\ & \delta_{Ag}^1 = \delta_{Ag} + 0 \\ & \delta_{Ag}^2 = 2\delta_{Ag} + 1 \\ & \delta_{Ag}^3 = 5\delta_{Ag} + 2 \\ & \delta_{Ag}^4 = 12\delta_{Ag} + 5 \end{align} </math>

*ב[[טריגונומטריה]]:
:<math>\textstyle \cot \frac {\pi}{8} = \cot 22.5^\circ = 1+\sqrt{2} = \delta_{Ag} </math>

==יחס הכסף, מלבני כסף ומתומנים==
[[קובץ:Octagon1.png|שמאל|ממוזער|230px|[[מתומן משוכלל]], המחולק לשני [[טרפז]]ים ול[[מלבן]]]]
בשם "מלבני כסף" מכונים [[מלבן|מלבנים]] משני סוגים:
* מלבנים שהיחס בין [[צלע (גאומטריה)|צלעותיהם]] הוא יחס הכסף; כלומר, 2.414 בקירוב
* מלבנים שהיחס בין צלעותיהם הוא השורש הריבועי של 2; כלומר, 1.414 בקירוב. דפי [[נייר]] המוגדרים ב[[תקן]] [[ISO 216]], כמו [[A4]], הם דמויי מלבן זה.
למלבני הכסף תכונה דומה ל"[[מלבן זהב|מלבני זהב]]", בהם הסרת [[ריבוע]] מהמלבן יוצרת מלבן זהב נוסף, אלא שקיים שוני ביניהם: 
* הסרת ריבוע ממלבן כסף מהסוג הראשון תביא ליצירת מלבן כסף מהסוג השני. 
* הסרת ריבוע מהסוג השני של מלבני הכסף תביא ליצירת מלבן כסף מהסוג הראשון.{{ש}}קל לראות זאת במלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה ליחס הכסף – הסרת ריבוע תותיר מלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה לשורש 2. תכונה זו נובעת מהעובדה, שניתן להציג את יחס הכסף הן כאחת ועוד שורש שתיים והן כ- 

:<math> \delta_{Ag} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} </math>

ב[[מתומן|מתומנים]], ניתן לחלק [[מתומן משוכלל]] לשלושה חלקים – 2 [[טרפז|טרפזים]] שווים בגודלם ומלבן. המלבן הוא מלבן כסף מהסוג הראשון, ואילו בטרפזים, היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן ולצלעות (השוות בגודלן) הוא יחס הכסף. [[שטח|שטחו]] של מתומן זה, שצלעו <math> t </math>, שווה לפעמיים יחס הכסף, כשהוא מוכפל בריבוע הצלע: <math>2(1+\sqrt{2})t^2</math>.

==הקשר בין יחס הכסף ליחס הזהב==
{|  class="infobox" style="font-size: 90%; text-align: center;
|-
| colspan="3" align="center" | '''קבועי הכסף'''
|-
|'''0:''' || <math>\frac{0+\sqrt{4}}{2}</math> || 1
|-
|'''1:''' || <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> || 1.618033989
|-
|'''2:''' || <math>\frac{2+\sqrt{8}}{2}</math> || 2.414213562
|-
|'''3:''' || <math>\frac{3+\sqrt{13}}{2}</math> || 3.302775638
|-
|'''4:''' || <math>\frac{4+\sqrt{20}}{2}</math> || 4.236067978
|-
|'''5:''' || <math>\frac{5+\sqrt{29}}{2}</math> || 5.192582404
|-
|'''6:''' || <math>\frac{6+\sqrt{40}}{2}</math> || 6.162277660
|-
|'''7:''' || <math>\frac{7+\sqrt{53}}{2}</math> || 7.140054945
|-
|'''8:''' || <math>\frac{8+\sqrt{68}}{2}</math> || 8.123105626
|-
|'''9:''' || <math>\frac{9+\sqrt{85}}{2}</math> || 9.109772229
|-
|'''...'''
|-
|'''n:''' || <math>\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}</math>
|}
תכונה מעניינת קושרת בין שני היחסים: בתבנית <math>\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}</math>,
שהיא למעשה הפתרון של המשוואה הריבועית <math>x^2-nx-1=0</math>, יחס הזהב מתקבל עבור <math>n=1</math> ואילו יחס הכסף עבור <math>n=2</math>. יחסים נוספים מובאים בטבלה משמאל. יחסים אלה נקראים "ממוצעים מטאליים" ("Metallic means").{{הערה|Vera W. de Spinadel, [http://www.nexusjournal.com/the-nexus-conferences/nexus-1998/119-n1998-spinadel.html The Metallic Means and Design], [http://www.nexusjournal.com Nexus Network Journal] website, 1998}}

יחסים אלה שווים גם לשבר המשולב האינסופי:

:<math>
n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}
\,
</math>

ליחסים בטבלה משמאל תכונות משותפות רבות. היחס השלישי, למשל, (3.30277), הנקרא גם יחס ה[[ארד]],{{הערה|1=Constantine Dumitrescu & Vasile Seleacu, 1997. '''[http://books.google.co.il/books?id=PQfxiVcFEEMC&pg=PA89&lpg=PA89&dq=1,1,4,13,43,142,469&source=bl&ots=-krTbsc7hA&sig=fV4UzfFzDCsX_X_DgBG70wyq0OY&hl=en&sa=X&ei=kgYpUa-NCcGRtQaEiYDIBQ&ved=0CD0Q6AEwAw#v=onepage&q=1%2C1%2C4%2C13%2C43%2C142%2C469&f=false Proceedings of the First International Conference on Smarandache Type Notions in Number Theory]''', American Research Press}} הוא היחס בין איברי הסדרה ...1,1,4,13,43,142,469, שכל איבר בה הוא סכום של שלוש פעמים קודמו, ועוד האיבר הקודם לקודמו.

==ראו גם==
* [[ערכים עדיפים]]

==לקריאה נוספת==
{{ltr|1=
* Antonia Redondo Buitrago, 2007. '''[http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00004-007-0046-x?LI=true#page-1 Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean]''', Nexus Network Journal, Volume 9, Issue 2, p. 321-326
}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{מספרים אי-רציונליים}}

[[קטגוריה:קבועים מתמטיים]]
[[קטגוריה:מספרים אלגבריים]]