הצגת המקור של הדף "יחס כפול"

בהינתן רביעיית נקודות <math>(a,b,c,d)</math> במישור (הממשי או המרוכב), '''היחס הכפול''' ביניהן מוגדר בנוסחה:
:<math>\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}</math>
שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין היחס <math>\frac{a-c}{a-d}</math> ובין היחס <math>\frac{b-c}{b-d}</math>.

היחס הכפול הוא [[שמורה (מתמטיקה)|שמורה]] של [[העתקת מביוס]] ושל [[העתקה פרויקטיבית|העתקות פרויקטיביות]].

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול,  [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] בין ארבע הנקודות <math>(a,b,c,d)</math> יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את <math>(a,b,c,d)</math> ב-<math>(b,a,d,c)</math> נקבל את הביטוי <math>\frac{(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}</math>, השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול <math>\lambda</math>, שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

{| class=wikitable style=text-align:center;"
|-
! תמורה !! תיאור קצר !! ערכו של היחס הכפול
|-
| <math>(z_1,z_2;z_3,z_4)</math>
|תמורת ה[[פונקציית הזהות|זהות]]
| <math>\lambda</math>
|-
| <math>(z_1,z_2;z_4,z_3)</math>
| <math>z_3\lrarr z_4</math>
| <math>\frac{1}{\lambda}</math>
|-
| <math>(z_1,z_3;z_2,z_4) </math>
| <math>z_2\lrarr z_3</math>
| <math>1-\lambda</math>
|-
| <math>(z_1,z_3;z_4,z_2)</math>
| <math>z_2\to z_3\to z_4\to z_2</math>
| <math>\frac{1}{1-\lambda}</math>
|-
| <math>(z_1,z_4;z_3,z_2) </math>
| <math>z_2\leftrightarrow z_4</math>
| <math>\frac{\lambda}{\lambda-1}</math>
|-
| <math>(z_1,z_4;z_2,z_3) </math>
| <math>z_2\to z_4\to z_3\to z_2</math>
| <math>\frac{\lambda-1}{\lambda}</math>
|}

==היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית==
ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה ב[[גאומטריה פרויקטיבית]]: יהיו
:<math>a=\binom{a_0}{a_1},\ b=\binom{b_0}{b_1},\ c=\binom{c_0}{c_1},\ d=\binom{d_0}{d_1}</math>
ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה <math>T</math> העתקה פרויקטיבית המקיימת
:<math>T(a)=\infty,\ T(b)=0,\ T(c)=1</math>
היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות <math>T(d)</math>.

===הוכחת השקילות===
מהיות <math>a,b,c</math> שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את <math>c</math> כצירוף ליניארי: <math>c=\alpha a+\beta b</math>. אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש <math>a=\alpha a,b=\beta b</math>. כלומר, מתקיים 
<math>T(\alpha a)=(1,0)</math> (נקודת האינסוף ב[[קואורדינטות הומוגניות]]) וכן <math>T(\beta b)=(0,1)</math> (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).

כמו את <math>c</math>, ניתן לבטא גם את <math>d</math> כצירוף ליניארי: <math>d=\gamma a+\delta b</math>. מכך נובע:
<math display=block>T(d)=T\left(\frac{\gamma}{\alpha}(\alpha a)+\frac{\delta}{\beta}(\beta b)\right)=\frac{\gamma}{\alpha}(1,0)+\frac{\delta}{\beta}(0,1)=\left(\frac{\gamma}{\alpha},\frac{\delta}{\beta}\right)=\left(\frac{\gamma \beta}{\alpha \delta},1\right)</math>

באמצעות [[נוסחת קרמר]] ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים <math>\alpha,\beta,\gamma,\delta</math>, ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld}}
*{{בריטניקה}}

[[קטגוריה:גאומטריה פרויקטיבית]]