הצגת המקור של הדף "יחס שקילות"

{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Set partitions 5; matrices.svg|ממוזער|52 יחסי השקילות האפשריים של קבוצה של 5 איברים. תאים שאינם לבנים הם איברים שמקיימים את הייחס. והצבעים השונים, מלבד אפור בהיר, מציינים את מחלקות השקילות (כל תא אפור בהיר הוא מחלקת השקילות של עצמו).]]
ב[[מתמטיקה]], '''יחס שקילות''' הוא [[יחס (תורת הקבוצות)|יחס בינארי]] שהוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס סימטרי|סימטרי]] ו[[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]]. 

כל יחס שקילות על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] קובע חלוקה שלה לתת קבוצות שונות שנקראות [[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]]. שני איברים של הקבוצה הנתונה שקולים זה לזה [[אם ורק אם]] הם שייכים לאותה מחלקת שקילות.

הדוגמה הפשוטה ביותר ליחס שקילות היא יחס ה[[שוויון (מתמטיקה)|שוויון]]. דוגמאות נוספות כוללות [[דמיון משולשים|דמיון]] [[חפיפת משולשים|וחפיפת]] משולשים, [[ישרים מקבילים|הקבלה]] בין ישרים, [[איזומורפיזם|איזומורפיות]] של מבנים ועוד. זיהוי וחישוב של יחסי שקילות מעניינים הוא חלק חשוב במחקר המתמטי.

מרכזיותו של מושג זה בחשיבה המתמטית מודגמת באמרתו המפורסמת של [[אנרי פואנקרה]], מגדולי המתמטיקאים במחצית השנייה של המאה התשע-עשרה: "מתמטיקה היא האמנות של קריאה באותו שם לדברים שונים".

==הגדרה==

[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס בינארי]] <math>R</math> מעל קבוצה <math>A</math> הוא תת-קבוצה של [[מכפלה קרטזית|המכפלה הקרטזית]] <math>A \times A</math>, כלומר: <math>\mathcal{R} \subseteq A \times A</math>. כלומר: הוא קבוצה של [[זוג סדור|זוגות סדורים]] כך שכל איבר בזוג שייך ל-<math>A</math>. אם <math>(a,b) \in \mathcal{R}</math> אזי מקובל לסמן <math>a\mathcal{R}b</math>.

[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] <math>R</math> מעל קבוצה <math>A</math> נקרא '''יחס שקילות''' אם הוא מקיים את התכונות הבאות:
# [[יחס רפלקסיבי|'''רפלקסיביות''']]: כל איבר עומד ביחס עם עצמו, כלומר <math>a\mathcal{R}a</math> לכל <math>a\isin A</math>. לדוגמה, תכונה זו מתקיימת תמיד עבור היחס "שווה ל", כי כל איבר תמיד שווה לעצמו.
# [[יחס סימטרי|'''סימטריות''']]: אם <math>a</math> עומד ביחס עם <math>b</math> אזי גם <math>b</math> עומד ביחס עם <math>a</math>, כלומר: <math>a\mathcal{R}b\Leftrightarrow b\mathcal{R}a</math>. לדוגמה: היחס "אח של" הוא סימטרי כי אם יעקב אח של עשו אז גם עשו אח של יעקב. לעומת זאת, יחס ההורות "אב של" איננו סימטרי כי אם יצחק אב של יעקב, יעקב אינו אב של יצחק.
#'''[[טרנזיטיביות]]''': אם <math>a</math> נמצא ביחס ל-<math>b</math> ו-<math>b</math> נמצא באותו היחס ל-<math>c</math> אזי גם בין <math>a</math> ל-<math>c</math> מתקיים אותו היחס, ובניסוח פורמלי: <math>a\mathcal{R}b,b\mathcal{R}c\Rightarrow a\mathcal{R}c</math>. לדוגמה, תכונה זו מתקיימת תמיד עבור היחס "קטן מ", כי אם <math>a</math> קטן מ-<math>b</math> ו-<math>b</math> קטן מ-<math>c</math>, אז <math>a</math> קטן מ-<math>c</math>.

סימטריה וטרנזיטיביות אינן מספיקות כדי להכריח יחס להיות רפלקסיבי. לדוגמה, היחס הריק (שלא מתקיים לאף זוג איברים) על קבוצה לא ריקה הוא סימטרי וטרנזיטיבי [[באופן ריק]], אך אינו רפלקסיבי.

==מחלקות שקילות==
[[קובץ:Set partition.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[מעגל#עיגול|עיגול]] מחולק ל[[#מחלקות שקילות|מחלקות שקילות]] המסומנות ב[[צבע]]ים שונים.]]{{ערך מורחב|מחלקות שקילות}}
יחס שקילות מחלק את ה[[קבוצה (תורת הקבוצות)|קבוצה]], שמעליה הוא מוגדר, ל'''מחלקות שקילות''': בהינתן קבוצה <math>A</math> ויחס שקילות <math>R</math> שהוגדר עליה, מגדירים את '''מחלקת השקילות''' של איבר כלשהו כקבוצת כל האיברים השקולים לו. מתכונות יחס השקילות עולה שכל איבר בקבוצה יהיה שייך ל[[מחלקת שקילות]] אחת בלבד, ולכן יחס השקילות מחלק את הקבוצה לתת [[קבוצות זרות]] שה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] שלהן הוא הקבוצה כולה.

לדוגמה: בהנחה שכל אדם בעולם הוא תושב של מדינה אחת ויחידה, הרי היחס "בעל תושבות משותפת" מחלק את כל תושבי העולם למחלקות שקילות, שכל אחת מהן מכילה את כל תושביה של מדינה מסוימת. 

בנוסף, בהינתן [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] של הקבוצה, ניתן לבנות יחס שקילות כך שכל זוג איברים נמצא ביחס שקילות [[אם ורק אם]] שני האיברים היו באותה קבוצה בחלוקה. 

את מחלקת השקילות של איבר a כלשהו המקיים <math>a\isin A</math> ניתן לסמן ב- ā או S<sub>a</sub>, ואת החלוקה של קבוצה A כלשהי למחלקות שקילות ב- π<sub><small>A</small></sub> או π אם ידוע באיזו קבוצה מדובר. 

==קבוצת המנה==
{{ערך מורחב|קבוצת המנה}}
אוסף מחלקות השקילות של קבוצה על פי יחס שקילות מסוים מכונה '''קבוצת המנה''' שלה. כל מחלקה מיוצגת לרוב על ידי איבר ("נציג") מהקבוצה המקורית. בדוגמה לעיל, תהיה קבוצת המנה לפי יחס השקילות שהוגדר, קבוצה המכילה את כל המדינות בעולם. 

הגדרה זו משמשת, בין השאר, לצורך בנייה של [[מערכות מספרים]], על ידי הגדרת [[מספר רציונלי]] כמחלקת שקילות של היחס <math>
\ \{(\,(a,b),(x,y)\,): ay=xb\}</math>. בצורה הזו קבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצת המנה של <math>\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus 0)</math> לפי אותו יחס. גם בניית [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] מתוך הרציונליים יכולה להיעשות על ידי שימוש במחלקות שקילות, כאשר בונים את המספרים הממשיים על ידי [[מרחב מטרי שלם|השלמה]] של המספרים הרציונליים.

במקרים רבים במתמטיקה מגדירים פונקציות בין מחלקות שקילות על ידי נציגים של אותן מחלקות. במקרה כזה כדי שמה שיתקבל יהיה באמת [[פונקציה]] צריך לוודא שהערך המתקבל אינו תלוי בנציג שנבחר. לדוגמה כאשר מגדירים חיבור בין המספרים הרציונליים (שמוגדרים כמחלקות שקילות של זוגות סדורים של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]]) מגדירים זאת על ידי נציגים. במקרה הזה יש לוודא שלפעולה <math>\frac{1}{3}+\frac{2}{3}</math> ולפעולה <math>\frac{2}{6}+\frac{8}{12}</math> יש תוצאות שקולות.

==דוגמאות==
*יחס ה[[שוויון]]: <math>a\mathcal{R}b \Leftarrow a=b</math>
*יחס שקילות [[חשבון מודולרי|מודולו]] <math>p</math>: <math>a\mathcal{R}b \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} \ \ a-b=k \cdot p</math>
*באופן כללי בהינתן חוג <math>R</math> ואידיאל דו-צדדי <math>I</math>, ניתן להגדיר יחס שקילות ''~'' על ''<math>R</math>'' על ידי:
:<math>a \sim b</math> <math>\Leftrightarrow </math> <math>\,b-a \in I</math>.
*כל [[פונקציה]] מגדירה יחס שקילות של שני איברים המועתקים לאותו איבר: <math>a\mathcal{R}b \Rightarrow f(a)=f(b)</math>.
* [[חפיפה]], [[דמיון (גאומטריה)|דמיון]] והיחס הטריוויאלי (כל דבר שקול לכל דבר אחר) הם יחסי שקילות.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Equivalence_relation}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{לא מדויק|2020/01/06/equivalence_relations|תורת הקבוצות - יחסי שקילות}}	

{{תורת הקבוצות}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:יחסי שקילות|*]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[קטגוריה:יחסים מתמטיים]]