הצגת המקור של הדף "ייצוג של אלגברה"

ב[[תורת החוגים]], '''ייצוג''' של אלגברה באמצעות יוצרים ויחסים היא דרך הגדרה של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]]. ייצוג של אלגברה כולל קבוצת יוצרים מובחנת וקבוצת יוצרים ל[[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] היחסים שלהם, כלומר לגרעין של ההטלה מן האלגברה החופשית המוגדרת באמצעות היוצרים המובחנים.

== הגדרות ==

יהי <math>F</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] בסיס ותהי <math>R</math> [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל <math>F</math>. יהיו <math>\{a_i\}_{i\in I}</math> יוצרים של <math>R</math> בתור <math>F</math>-אלגברה ונתבונן ב[[אלגברת הטנזורים|אלגברה החופשית]] הנוצרת מעל <math>F</math> על ידי המשתנים הפורמליים <math>\{x_i\}_{i\in I}</math>, היינו <math>F\langle x_i\rangle _{i\in I}</math>. ישנה כעת הטלה טבעית מן האלגברה החופשית ל-<math>R</math> הניתנת באמצעות: <math>\phi(x_i)=a_i</math>. '''ייצוג''' של <math>R</math> הוא קבוצת יוצרים מובחנת כזו ל-<math>R</math>, ביחד עם קבוצת יוצרים ל[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של <math>\phi</math>, הוא אידיאל היחסים.

ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של [[אלגברה קומוטטיבית|אלגברות קומוטטיביות]] ניתן לחזור על אותה בנייה, כאשר את מקום האלגברה החופשית ממלאת [[חוג פולינומים|האלגברה הקומוטטיבית החופשית]].

אומרים כי אלגברה היא '''מוצגת סופית''' אם קיים לה מספר סופי של יוצרים, כך שהגרעין של ההטלה שתוארה לעיל הוא אידיאל נוצר סופית. זוהי אמנם תכונה של האלגברה עצמה, שאינה תלויה בייצוג: אם לאלגברה ישנו ייצוג סופי אחד, אזי אוסף היחסים בין כל אוסף סופי של יוצרים שלה, הוא נוצר סופית. יתרה מזאת, ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של כל [[אפימורפיזם]] מאלגברה נוצרת סופית (כלשהי) על אלגברה מוצגת סופית הוא אידיאל נוצר סופית<ref>Passman, D.S., Small, L.W. Finite presentation. ''Isr. J. Math.'' 244, 185–214 (2021). <nowiki>https://doi.org/10.1007/s11856-021-2177-2</nowiki></ref>. 

במקרה שבו ניתן להציג את האלגברה עם מספר שווה של יוצרים ושל יחסים, אומרים כי האלגברה '''מוצגת מאוזנת'''. 

לאלגברה החופשית דירוג לפי המעלה הכוללת, ואומרים כי היחסים '''הומוגניים''' אם ה[[מונום|מונומים]] בכל אחד מהם שווי-דרגה. במקרה כזה האלגברה המתקבלת היא [[אלגברה מדורגת]].

== באלגברה קומוטטיבית ==

אלגברה קומוטטיבית היא מוצגת סופית אם ורק אם היא נוצרת סופית, בזכות משפט הבסיס של הילברט. בזיהוי ה[[גאומטריה אלגברית|גאומטרי]] של [[חוג הפולינומים]] כחוג הפונקציות של [[יריעה אלגברית אפינית|המרחב האפיני]], למספר היוצרים של אידיאל היחסים של [[אלגברה קומוטטיבית]] נוצרת סופית (ולזהותם) חשיבות רבה.
כך, למשל, את ה[[יריעה אלגברית אפינית|יריעה]] המתאימה לאידיאל שנוצר על ידי אבר יחיד (לא נילפוטנטי) אפשר לזהות עם על-משטח: ממדו בהכרח קטן באחד מ[[ממד קרול|ממד חוג הפולינומים]].
באופן כללי יותר, יריעה אפינית שממדה שווה להפרש בין מספר היוצרים למספר היחסים נקראת [[חיתוך שלם (תורת הסכמות)]].

== באלגברה לא-קומוטטיבית ==

כל [[חוג עם זהויות|אלגברה עם זהויות]] שהיא [[חוג נתרי|נתרית]] ונוצרת סופית, גם מוצגת סופית<ref>{{צ-ספר|מחבר=A. Kanel-Belov, Y. Karasik, L. H. Rowen|שם=, Computational Aspects of Polynomial Identities
Volume I Kemer’s Theorems 2nd Edition|מקום הוצאה=Sound Parkway NW, Suite 300|מו"ל=CRC Press Taylor Francis Group 6000 Broken|שנת הוצאה=2016}}</ref>. עם זאת, קיימות אלגברות עם זהויות נוצרות סופית, שאינן מוצגות סופית; ואלגברות [[חוג נתרי|נתריות]] נוצרות סופית שאינן מוצגות סופית<ref>{{צ-מאמר|מחבר=R. Resco, L. W. Small|שם=Affine Noetherian algebras and extensions of the base field|כתב עת=Bull. London Math. Soc.|כרך=25 (6)|עמ=549–552|שנת הוצאה=1993}}</ref>. כל [[אלגברה מדורגת]] (עם דירוג סוף-ממדי) [[חוג נתרי|נתרית]] היא מוצגת סופית<ref>{{צ-מאמר|מחבר=J. Lewin|שם=A matrix representation for associative algebras I|כתב עת=Trans. Amer. Math. Soc.|כרך=188 (2)|עמ=293-308|שנת הוצאה=1974}}</ref>. [[הומומורפיזם|תמונה הומומורפית]] של אלגברה מוצגת סופית [[חוג נתרי|נתרית]] מוצגת סופית אף היא.

לפי אי-שוויון גולוד-שפרביץ', [[אלגברה מדורגת]] המוגדרת באמצעות n יוצרים ופחות מ-<math>\frac{(n-1)^2}{4}</math> יחסים הומוגניים היא אינסוף-ממדית (כמרחב וקטורי מעל שדה הבסיס).

אלגברה המוגדרת באמצעות יחסים מונומיאליים, כלומר יחסים שהם מילים ביוצרים של האלגברה החופשית נקראת '''אלגברה מונומיאלית'''. באלגברות כאלה יש לתכונות אלגבריות רבות פירושים נוחים יותר; כך, למשל, ניתן להכריע האם אבר שקול לאפס באלגברה באמצעות המונומים המרכיבים אותו, והאלגברה היא [[חוג ראשוני|ראשונית]] אם ורק אם לכל שני מונומים <math>u,v\neq 0</math> קיים מונום <math>w</math> כך ש-<math>uwv\neq 0</math>. גם חישוב [[ממד גלפנד-קירילוב]] של אלגברות כאלה נעשה פשוט וקומבינטורי יותר.
לאלגברות מוצגות סופית מונומיאליות יש תיאור באמצעות [[אוטומט סופי|אוטומט]], ואלגברה מוצגת סופית מונומיאלית ו[[חוג ראשוני|ראשונית]] היא [[חוג פרימיטיבי|פרימיטיבית]].

== ראו גם ==
* [[ייצוג על ידי יוצרים ויחסים|ייצוג של חבורה]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
[[קטגוריה:תורת החוגים]]