הצגת המקור של הדף "ייצוג של חבורה"

ב[[תורת החבורות]], '''ייצוג חבורה על ידי יוצרים ויחסים''' היא דרך הגדרה או אפיון של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. בשיטה זו ישנה קבוצת יוצרים, המקיימים יחסים מסוימים. למשל, [[חבורה ציקלית]] סופית מסדר <math>n</math> ניתן לייצג על ידי <math>\langle a \mid {a}^{n}=1\rangle</math>.

==הגדרה==
[[חבורה חופשית]] מעל קבוצה <math>S</math> מוגדרת כקבוצת כל המילים (הסופיות) מחזקות של איברי <math>S</math>, והפעולה היא [[שרשור (מחרוזות)|שרשור]]. נסמנה <math>{F}_{S}</math>. התכונה המיוחדת של חבורה חופשית הוא שאיבריה לא מקיימים אף יחס לא טריוויאלי ביניהם, ומכאן שמה.

בהינתן קבוצה כלשהי של מילים <math>R</math> באיברי <math>S</math>, מגדירים את '''החבורה הנוצרת על ידי <math>S</math> עם היחסים <math>R</math>''' בתור [[חבורת מנה|חבורת המנה]] של <math>{F}_{S}</math> עם ה[[סגור מוצמד|סגור המוצמד]] {{אנ|Conjugate closure}} שלו, שהוא תת-החבורה הנורמלית הקטנה ביותר שמכילה את <math>R</math>. את הייצוג מסמנים ב- <math>\langle S \mid R \rangle</math>.

את איברי <math>S</math> נהוג לכנות '''יוצרי החבורה''', ואילו איברי <math>R</math> הם '''יחסי החבורה'''. 

אם לחבורה <math>G</math> יש ייצוג מהצורה <math>\langle S \mid R \rangle</math> שבו הקבוצה <math>S</math> סופית, אומרים כי '''<math>G</math> נוצרת סופית'''. אם קיים ייצוג שבו <math>S,R</math> שתיהן סופיות, נאמר כי '''<math>G</math> מוצגת סופית'''.

לעיתים, במקום לסמן את היחס בתור מילה <math>w</math>, כותבים <math>w=1</math>. כך למשל, החבורה הציקלית הסופית מקבלת את הייצוג <math>\langle a \mid {a}^{n}=1\rangle</math>.

==תכונות==
ראשית, לכל חבורה יש ייצוג על ידי יוצרים ויחסים: כדי להוכיח זאת, נביט באפימורפיזם הטבעי מ<math>{F}_{G} \rightarrow G</math>, השולח כל יוצר של החבורה החופשית לעצמו. ה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] <math>K</math> של העתקה זו הוא ודאי קבוצה נורמלית, והיא בדיוק הקבוצה שמייצגת את היחסים של החבורה <math>G</math>. אם כן, הייצוג של החבורה הוא <math>\langle G \mid K \rangle</math>.

יש להדגיש כי ההוכחה שהוצגה לעיל איננה בעלת אופי יישומי, משום שבייצוג שהוגדר ישנו שימוש בכל איברי החבורה ובכמות גדולה של יחסים (לרוב אינסופי); מציאת ייצוג נוח עלולה להיות משימה קשה.

לכל חבורה סופית יש ייצוג סופי, משום שאפשר לקחת את איברי החבורה <math>G</math> כיוצרים, ואת קבוצת היחסים להיות טבלת הכפל של החבורה.

ייצוג של חבורה איננו יחיד - הבעיה של לזהות שני ייצוגים לאותה החבורה היא בעיה נפוצה בתחומים שונים במתמטיקה; בעיה זו איננה כריעה, ולעיתים מתגלה כמאוד קשה ומהותית.

==דוגמאות==
* כאמור לעיל, [[חבורה חופשית]] מעל קבוצה <math>S</math> היא בעלת קבוצת יחסים ריקה, וייצוגה הוא: <math>\langle S \mid \emptyset \rangle</math>.

* ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] מסדר <math>n</math> היא בעלת הייצוג <math>{D}_{n}=\langle s,r \mid r^{n},s^{2}, s^{-1}rsr \rangle</math>. אינטואיטיבית, <math>r</math> הוא סיבוב ב-<math>\frac{ 2 \pi } {n}</math> [[רדיאן|רדיאנים]] נגד השעון ו-<math>s</math> הוא שיקוף.

* ל[[החבורה הסימטרית|חבורה הסימטרית]] ישנם מספר ייצוגים שונים, אליהם ניתן להגיע מתפישות גאומטריות שונות של החבורה. להלן אחד הייצוגים הנפוצים שלה:
<math display="block">S_n = \langle \sigma_1, \dots, \sigma_{n-1} \mid \sigma_i^2=1 , \sigma_i \sigma_j = \sigma_j \sigma_i \quad  (i \neq j+1),  \sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_{i} = \sigma_{i+1} \sigma_{i} \sigma_{i+1} \rangle</math>

* ל[[חבורת הצמות]] ישנו הייצוג הבא:
<center>
<math>B_n=\left\langle \sigma_1,...,\sigma_{n-1} \left|
\begin{matrix}
\sigma_i \sigma_j=\sigma_j \sigma_i,\quad \quad \quad \quad \quad |i-j|\ge 2\\
\sigma_{i+1} \sigma_i  \sigma_{i+1}=\sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i, \quad 1\le i\le n-2
\end{matrix} \right. \right\rangle </math>.
</center>

*[[חבורת הקווטרניונים]] מיוצגת על ידי <math>\langle i,j,k \mid {i}^{2}={j}^{2}={k}^{2}=ijk=-1 \rangle</math>.

*ל[[חבורת הייזנברג]] ייצוג <math>\langle x,y,z \mid z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, yz=zy \rangle\,\!</math>.

==ראו גם==
*[[חבורה חופשית]]
*[[חבורה מוצגת סופית]]
*[[ייצוג של אלגברה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:תורת החבורות הקומבינטורית]]