הצגת המקור של הדף "יסודות המתמטיקה"

'''יסודות המתמטיקה''' הם המסגרת ה[[לוגיקה מתמטית|לוגית]] וה[[מתמטיקה|מתמטית]] המאפשרת את פיתוח מתמטיקה באופן [[עקביות (לוגיקה)|עקבי]] (כלומר בלי ליצור תאוריות סותרות את עצמן), ובמיוחד לקבל מושגים אמינים של [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]], [[הוכחה|הוכחות]], [[אלגוריתם|אלגוריתמים]] וכו'. ניתן לכלול בכך גם את המחקר ה[[פילוסופיה של המתמטיקה|פילוסופי]] של הקשר של מסגרת זו עם ה[[מציאות]].

המונח "יסודות המתמטיקה" לא נטבע לפני סוף המאה ה-19, אם כי יסודות הוקמו לראשונה על ידי ה[[פילוסופיה יוונית|פילוסופים היוונים הקדמונים]] במסגרת ה[[לוגיקה]] של [[אריסטו]], ויושמו באופן שיטתי ב"[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]]. קביעה מתמטית נחשבת ל[[אמת]] רק אם מדובר במשפט שמוכח מ[[הנחה (לוגיקה)|הנחות יסוד]] אמיתיות באמצעות רצף של [[סילוגיזם]] ([[כלל היסק|כללי היסק]]), כאשר הנחות היסוד הן משפטים שכבר הוכחו או קביעות מובנות מאליהן הנקראות [[אקסיומה|אקסיומות]].

יסודות אלה התקבלו בשתיקה כסופיים עד לפיתוח ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] על ידי [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] ב[[המאה ה-17|מאה ה-17]]. תחום חדש זה של המתמטיקה כלל שיטות חשיבה חדשות ומושגי יסוד חדשים ([[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציות רציפות]], [[נגזרת|נגזרות]], [[גבול (מתמטיקה)|גבולות]]) שלא היו מבוססים היטב אך היו בעלי השלכות מדהימות, כמו ההסקה מ[[חוק הכבידה העולמי של ניוטון]] ש[[מסלול כבידתי|מסלולי]] [[כוכב לכת|כוכבי הלכת]] הם [[אליפסה|אליפסות]].

במהלך [[המאה ה-19]] הושגה התקדמות לקראת פיתוח הגדרות מדויקות של המושגים הבסיסיים של חשבון אינפיניטסימלי, בעיקר ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] וה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]]. זה הוביל, לקראת סוף המאה ה-19, לסדרה של תוצאות מתמטיות [[פרדוקס]]ליות לכאורה, שאתגרו את הביטחון במהימנות ובאמיתות של תוצאות מתמטיות. זה כונה משבר היסודות של המתמטיקה.

פתרון המשבר הזה כלל את עלייתה של דיסציפלינה מתמטית חדשה בשם [[לוגיקה מתמטית]] הכוללת את [[תורת הקבוצות]], [[תורת המודלים]], [[תורת ההוכחות]], [[תורת הרקורסיה]] ו[[תורת הסיבוכיות]], ומאוחר יותר, חלקים מ[[מדעי המחשב]]. גילויים שלאחר מכן ב[[המאה ה-20|מאה ה-20]] ייצבו את יסודות המתמטיקה למסגרת קוהרנטית שתקפה לכל המתמטיקה. מסגרת זו מבוססת על שימוש שיטתי ב[[השיטה האקסיומטית|שיטה האקסיומטית]] ועל תורת הקבוצות, במיוחד [[ZFC]] - תורת הקבוצות של [[ארנסט צרמלו|צרמלו]]-[[אברהם הלוי פרנקל|פרנקל]] עם [[אקסיומת הבחירה]].

נובע מכך שהמושגים המתמטיים הבסיסיים, כמו [[מספר]]ים, [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]], [[ישר]]ים ומרחבים גאומטריים אינם מוגדרים כ[[הפשטה (מתמטיקה)|הפשטות]] של המציאות אלא נובעים מתכונות בסיסיות (אקסיומות). ההסתגלות שלהם למקורות הפיזיקליים שלהם אינה שייכת יותר למתמטיקה, אם כי הקשר שלהם עם המציאות עדיין משמש להנחיית אינטואיציה מתמטית: המציאות הפיזית עדיין משמשת מתמטיקאים כדי לבחור אקסיומות, למצוא אילו משפטים מעניין להוכיח ולהשיג אינדיקציות להוכחות אפשריות.

==יוון העתיקה==
רוב התרבויות פיתחו מתמטיקה מסוימת, בעיקר למטרות מעשיות, כגון [[ספירה (אריתמטיקה)|ספירה]] ([[סוחר]]ים), [[מדידה]] (תיחום שדות), [[אסטרונומיה]] ו[[אסטרולוגיה]]. נראה שה[[פילוסופיה יוונית|פילוסופים היוונים הקדמונים]] היו הראשונים שחקרו את טבעה של המתמטיקה והקשר שלה עם העולם האמיתי.

[[זנון מאליאה]] (490 - בערך 430 לפנה"ס) יצר כמה פרדוקסים שבהם השתמש כדי לתמוך בתזה שלו ש[[תנועה (פיזיקה)|תנועה]] לא קיימת. הפרדוקסים הללו כרוכים ב[[אינסוף]] מתמטי, מושג שהיה מחוץ ליסודות המתמטיים של אותה תקופה ולא הובן היטב לפני סוף המאה ה-19.

[[האסכולה הפיתגוראית]] למתמטיקה התעקשה במקורה שהמספרים היחידים הם [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] ו[[יחס (בין מספרים)|יחסים]] של מספרים טבעיים. הגילוי (בסביבות [[המאה ה-5 לפנה"ס]]), שהיחס בין ה[[אלכסון]] של [[ריבוע]] לצלע שלו ([[השורש הריבועי של 2]]) אינו יחס בין שני מספרים טבעיים, היה להם זעזוע שהם קיבלו בחוסר רצון. עדות לכך היא הטרמינולוגיה המודרנית של [[מספר אי-רציונלי]] להתייחסות למספר שאינו המנה של שני מספרים שלמים, שכן "אי-רציונלי" פירושו במקור "לא סביר" או "לא נגיש עם היגיון".

העובדה שיחסי אורך אינם מיוצגים במספרים רציונליים נפתרה על ידי [[אאודוקסוס מקנידוס]] (408–355 לפנה"ס), תלמידו של [[אפלטון]], שצמצם את ההשוואה של שני יחסים אי-רציונליים להשוואות של כפולות שלמים של הגדלים המעורבים. השיטה שלו רומזת לשיטה של [[חתכי דדקינד]] בהגדרה המודרנית של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] מאת [[ריכרד דדקינד]] (1831–1916).

בחיבורו "האנליטיקה שבדיעבד" (חלק מה[[אורגנון]]), קבע אריסטו (384–322 לפנה"ס) את הלוגיקה לארגון שדה ידע באמצעות מושגים יסודיים, אקסיומות, הגדרות ומשפטים. אריסטו לקח לכך את רוב הדוגמאות שלו מה[[אריתמטיקה]] ומה[[גאומטריה]], והלוגיקה שלו שימשה כבסיס למתמטיקה במשך מאות שנים. שיטה זו מזכירה את השיטה האקסיומטית המודרנית אך עם הבדל פילוסופי גדול: אקסיומות היו אמורות להיות נכונות, בהיותן מובנות מאליהן או נובעות מ[[ניסוי]]ים, בעוד שאין שום אמת אחרת מלבד נכונות ההוכחה מעורבת בשיטה האקסיומטית. אז, עבור אריסטו, משפט מוכח הוא נכון, בעוד שבשיטות האקסיומטיות, ההוכחה אומרת רק שהאקסיומות גוררות את המשפט.

הלוגיקה של אריסטו הגיעה לשיאה שלו עם "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של אוקלידס (300 לפנה"ס), מסה על מתמטיקה הבנויה עם סטנדרטים גבוהים מאוד של קפדנות: אוקלידס מצדיק כל [[השערה (מתמטיקה)|השערה]] באמצעות הוכחה בצורה של שרשראות של [[סילוגיזם]] (אם כי הן לא תמיד תואמות בקפדנות את התבניות האריסטוטליות). הסילוגיזם של אריסטו, יחד עם הדגמתו על ידי ה"יסודות" של אוקלידס, מוכרים כהישגים מדעיים של יוון העתיקה, ונשארו כיסודות המתמטיקה במשך מאות שנים.

==לפני החשבון האינפיניטסימלי==

ב[[ימי הביניים]] ה"יסודות" של אוקלידס עמד כבסיס מוצק לחלוטין למתמטיקה, וה[[פילוסופיה של המתמטיקה]] התרכזה במעמד ה[[אונטולוגיה|אונטולוגי]] של מושגים מתמטיים; השאלה הייתה האם הם קיימים ללא תלות בתפיסה ([[ריאליזם פילוסופי|ריאליזם]]) או בתוך הנפש בלבד ([[קונצפטואליזם]]); ואלי הם פשוט שמות של אוסף של עצמים בודדים ([[נומינליזם]]).

ב"יסודות", המספרים היחידים שנחשבים הם מספרים טבעיים ויחסי אורכים. השקפה גאומטרית זו על מספרים שאינם שלמים נותרה דומיננטית עד סוף ימי הביניים, אם כי עליית ה[[אלגברה]] הובילה לשקול אותם ללא תלות בגאומטריה, מה שמרמז שישנם מושגים יסודיים של המתמטיקה, למשל פתרון [[משוואה|משוואות]] שהציג [[מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי|אל-ח'ואריזמי]] ו[[משוואה ממעלה שלישית|משוואות ממעלה שלישית]] ו[[משוואה ממעלה רביעית|משוואות ממעלה רביעית]] שהתגלו ב[[המאה ה-16|מאה ה-16]] נובעות ממניפולציות אלגבריות שאין להן מקבילה גאומטרית.

אף על פי כן, זה לא אתגר את היסודות הקלאסיים של המתמטיקה שכן ניתן להסיק את כל תכונות המספרים שהיו בשימוש מהגדרתם הגאומטרית.

בשנת [[1637]] פרסם [[רנה דקארט]] את ספרו "[[הגאומטריה (ספר)|הגאומטריה]]" (La Géométrie), שבו הראה שניתן לצמצם את הגאומטריה לאלגברה באמצעות [[קואורדינטות]] ב[[מערכת צירים קרטזית]], שהן מספרים הקובעים את מיקומה של נקודה. זה נותן למספרים שהוא כינה מספרים ממשיים תפקיד יסודי יותר (לפניו, מספרים הוגדרו כיחס בין שני אורכים). ספרו של דקארט התפרסם לאחר 1649 וסלל את הדרך לחשבון אינפיניטסימלי.

בשנת 1637 פרסם רנה דקארט את La Géométrie, בו הראה שניתן לצמצם את הגאומטריה לאלגברה באמצעות קואורדינטות של אמצעים, שהן מספרים הקובעים את מיקומה של נקודה. זה נותן למספרים, שהוא כינה מספרים ממשיים, תפקיד יסודי יותר (לפניו, מספרים הוגדרו כיחס בין שני אורכים). ספרו של דקארט סלל את הדרך לחשבון אינפיניטסימלי.

==חשבון אינפיניטסימלי==

[[אייזק ניוטון|ניוטון]] (1642–1727) ב[[אנגליה]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]] (1646–1716) ב[[גרמניה]] פיתחו באופן עצמאי את ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] להתמודדות עם נקודות בתנועה (כגון כוכבי לכת בשמים) וכמויות משתנות. זה הצריך הכנסת מושגים חדשים כמו [[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציות רציפות]], [[נגזרת|נגזרות]], [[גבול (מתמטיקה)|גבולות]]. לצורך התמודדות עם מושגים אלו בצורה לוגית, הם הוגדרו במונחים של [[אינפיניטסימל]]ים, שהם מספרים היפותטיים שקרובים לאין שיעור ל-[[0 (מספר)|0]]. ההשלכות החזקות של החשבון האינפיניטסימלי על יסודות המתמטיקה מומחשת בחיבורו של הפילוסוף [[ג'ורג' ברקלי]] (1685–1753), שכתב "[אינפיניטסימלים] אינם כמויות סופיות, ולא כמויות קטנות עד אינסוף. כלום לא נכנה אותם רוחות רפאים?".{{הערה|[[ג'ורג' ברקלי|George Berkeley]], ''' The Analyst, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician''', 1734}}

כמו כן, חוסר [[ריגורוזיות]] הופעל לעיתים קרובות, כי אינפיניטסימלים והמושגים הנלווים לא הוגדרו פורמלית (גם קווים ומישורים לא הוגדרו פורמלית, אבל אנשים היו רגילים אליהם יותר). מספרים ממשיים, פונקציות רציפות, נגזרות לא הוגדרו פורמלית לפני המאה ה-19, וכך גם ה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]]. רק במאה ה-20 ניתנה הגדרה פורמלית של אינפיניטסימל.

למרות היעדר יסודות לוגיים מוצקים, חשבון אינפיניטסימלי אומץ במהירות על ידי המתמטיקאים, ואושר על ידי יישומיו הרבים, במיוחד העובדה שניתן להסיק באמצעותו את מסלולי כוכבי הלכת מ[[חוק הכבידה העולמי של ניוטון]].

==במאה ה-19==
במאה ה-19 התפתחה המתמטיקה במהירות לכיוונים רבים. כמה מהבעיות שנדונו הובילו לשאלות על יסודות המתמטיקה. לעיתים קרובות, הפתרונות המוצעים הובילו לשאלות נוספות שלעיתים קרובות היו בו-זמנית בעלות אופי פילוסופי ומתמטי. כל השאלות הללו הובילו, בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, לוויכוחים שכונו משבר היסודות של המתמטיקה. הסעיפים הבאים מתארים את בעיות היסוד העיקריות שכאלה שהתגלו במהלך המאה ה-19.

===אנליזה ממשית===
[[אוגוסטן לואי קושי]] (1789–1857) התחיל את הפרויקט של מתן ביסוס קפדני לחשבון האינפיניטסימלי. בפרט, הוא דחה את העיקרון שהוא כינה [[כלליות האלגברה]], שכלל יישום תכונות של פעולות אלגבריות על [[סדרה אינסופית|סדרות אינסופיות]] ללא הוכחות מתאימות. ב-Cours d'Analyse שלו (1821), הוא התייחס לכמויות קטנות מאוד, שניתן לכנותן כיום "כמויות קטנות מספיק"; כלומר, משפט כזה ש"אם <math>x</math> קטן מאוד אז ..." חייב להיות מובן כ"יש מספר טבעי (גדול מספיק) <math>n</math> כך ש-<math>|x| < 1/n</math>". בהוכחות הוא השתמש בזה באופן שקדם להגדרה המודרנית (ε, δ) של גבול.{{הערה|{{Citation
| last = Grabiner | first = Judith V.
| title = Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus
| journal = [[American Mathematical Monthly]]
| volume = 90
| issue = 3
| pages = 185–194
| doi = 10.2307/2975545
| year = 1983
| jstor = 2975545
}}}}

ההגדרה המודרנית (ε, δ) של גבולות ו[[פונקציה רציפה (אנליזה)|פונקציות רציפות]] פותחה לראשונה על ידי [[ברנרד בולצאנו]] ב-1817, אך נותרה עלומה יחסית, וכנראה קושי הכיר את עבודתו של בולצאנו.

[[קארל ויירשטראס]] (1815–1897) הפך את הגדרת הגבולות (ε, δ) לפורמלית, וגילה כמה פונקציות פתולוגיות שנראו פרדוקסליות בתקופה זו, כמו [[פונקציית ויירשטראס]] - פונקציה רציפה בכל נקודה על [[הישר הממשי]] אך לא [[נגזרת|גזירה]] באף נקודה. פונקציות כאלה סותרות תפיסות קודמות של פונקציה ככלל לחישוב או כגרף חלק.

בשלב זה הושלמה למעשה תוכנית האריתמטיזציה של האנליזה (צמצום ה[[אנליזה מתמטית|אנליזה המתמטית]] לפעולות אריתמטיות ואלגבריות) שאותה קידם ויירשטראס, למעט שתי נקודות.

ראשית, עדיין חסרה הגדרה פורמלית של מספרים ממשיים. ואכן, החל מ[[ריכרד דדקינד]] ב-1858 עבדו כמה מתמטיקאים על הגדרת המספרים הממשיים, בהם [[הרמן הנקל]], [[שארל מראי]] ו[[אדוארד היינה]], אך רק ב-1872 פורסמו שתי הגדרות שלמות עצמאיות למספרים ממשיים: האחת מאת דדקיינד, באמצעות [[חתכי דדקינד]]; השנייה מאת [[גאורג קנטור]] כ[[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] של [[סדרת קושי|סודרת קושי]].{{הערה|J J O'Connor and E F Robertson, [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_2/ The real numbers: Stevin to Hilbert], [[MacTutor ]], October 2005}}

מספר בעיות נותרו פתוחות על ידי הגדרות אלו, שתרמו למשבר היסודות של המתמטיקה. ראשית, שתי ההגדרות מניחות ש[[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] ולכן המספרים הטבעיים מוגדרים בקפדנות; זה נעשה כמה שנים מאוחר יותר עם [[אקסיומות פאנו]]. שנית, שתי ההגדרות כוללות [[קבוצה אינסופית|קבוצות אינסופיות]], ו[[תורת הקבוצות]] של קנטור פורסמה מספר שנים מאוחר יותר.

הבעיה השלישית עדינה יותר: וקשורה ליסודות הלוגיקה: הלוגיקה הקלאסית היא [[שפה מסדר ראשון]]; כלומר, [[כמת]]ים חלים על משתנים המייצגים אלמנטים בודדים, לא על משתנים המייצגים קבוצות (אינסופיות) של אלמנטים. התכונה הבסיסית של {{קישור שפה|אנגלית|Completeness of the real numbers|שלמות המספרים הממשיים}} הנדרשת להגדרה ושימוש במספרים ממשיים כרוכה בכימות על קבוצות אינסופיות. אכן, תכונה זו עשויה לבוא לידי ביטוי גם לגבי כל סדרה אינסופית של מספרים ממשיים, אם זו סדרת קושי, יש לה גבול שהוא מספר ממשי, או כיוון שלכל תת-קבוצה של המספרים הממשיים שהיא [[קבוצה חסומה|חסומה]] יש [[אינפימום וסופרמום|סופרמום]] שהוא מספר ממשי. צורך זה של כימות על פני קבוצות אינסופיות הוא אחד המניעים לפיתוח {{קישור שפה|אנגלית|Higher-order logic|לוגיקה מסדר גבוה}} במחצית הראשונה של המאה ה-20.

===גאומטריות לא-אוקלידיות===
לפני המאה ה-19 היו ניסיונות כושלים רבים לגזור את [[אקסיומת המקבילים]] מאקסיומות אחרות של הגאומטריה. בניסיון להוכיח ששלילת האקסיומה מובילה לסתירה, [[יוהאן היינריך למברט]] (1728–1777) החל לבנות [[גאומטריה היפרבולית]] והציג את ה[[פונקציות היפרבוליות|פונקציות ההיפרבוליות]] וחישב את שטחו של {{קישור שפה|אנגלית|Hyperbolic triangle|משולש היפרבולי}} (שבו סכום הזוויות קטן מ-180°).

בהמשך לבניית הגאומטריה החדשה הזו, מספר מתמטיקאים הוכיחו באופן עצמאי שאם היא לא [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]], אז גם ה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]] אינה עקבית, ולכן לא ניתן להוכיח את אקסיומת המקבילים. זה הוכח על ידי [[ניקולאי לובצ'בסקי]] ב-[[1826]], [[יאנוש בויאי]] ב-[[1832]] ו[[קרל פרידריך גאוס]] (לא פורסם).

מאוחר יותר במאה ה-19 פיתח המתמטיקאי הגרמני [[ברנהרד רימן]] את ה[[גאומטריה אליפטית|גאומטריה האליפטית]], [[גאומטריה לא-אוקלידית]] נוספת, שבה אין מקבילים וסכום הזוויות במשולש הוא יותר מ-180°. זה הוכח עקבי על ידי הגדרת נקודות כזוגות של נקודות אנטיפודליות על כדור (או היפרספירה), וקווים כ[[מעגל גדול|מעגלים גדולים]] על הכדור.

הוכחות אלו, לחוסר ההיתכנות של הוכחה לאקסיומת המקבילים, מובילות למספר בעיות פילוסופיות, שהעיקרית שבהן היא שלפני גילוי זה, אקסיומת המקבילים וכל השלכותיה נחשבו כאמת, והגאומטריות הלא-אוקלידיות קראו תיגר על מושג האמת המתמטית.

===גאומטריה סינתטית לעומת גאומטריה אנליטית===
מאז הצגת ה[[גאומטריה אנליטית|גאומטריה האנליטית]] על ידי [[רנה דקארט]] במאה ה-17, היו שתי גישות לגאומטריה, הישנה שנקראת [[גאומטריה סינתטית]], והחדשה, שבה הכל מצוין במונחים של מספרים ממשיים הנקראים [[קואורדינטות]].

מתמטיקאים לא דאגו הרבה מהסתירה בין שתי הגישות הללו לפני אמצע המאה ה-19, שבה הייתה "מחלוקת חריפה בין תומכי השיטות הסינתטיות והאנליטיות ב[[גאומטריה פרויקטיבית]], שני הצדדים מאשימים זה את זה בערבוב מושגים פרויקטיביים ומטריים".{{הערה|Laptev, B.L. & B.A. Rozenfel'd (1996) '''Mathematics of the 19th Century: Geometry''', page 40, Birkhäuser {{ISBN|3-7643-5048-2}}}} אכן, אין מושג של מרחק ב[[מרחב פרויקטיבי]], ו[[יחס כפול]], שהוא מספר, הוא מושג בסיסי של גאומטריה פרויקטיבית סינתטית.

{{קישור שפה|אנגלית|Karl von Staudt|קארל פון שטאודט}} פיתח גישה גאומטרית גרידא לבעיה זו על ידי הצגת "הטלות" היוצרות את מה שנקרא כיום [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], שבו ניתן לבטא את היחס הכפול.

ככל הנראה, בעיית השוויון בין גישה אנליטית לסינתטית נפתרה לחלוטין רק עם ספרו של [[אמיל ארטין]] "אלגברה גאומטרית" (Geometric Algebra) שיצא לאור בשנת 1957. היה ידוע כי בהינתן שדה k, ניתן להגדיר [[מרחב אפיני|מרחבים אפיניים]] ומרחבים פרויקטיביים על פני k במונחים של מרחבי k-[[מרחב וקטורי|וקטור]]. במרחבים אלה מתקיים {{קישור שפה|אנגלית|Pappus hexagon theorem|משפט המשושה של פפוס}}. גם להפך, אם משפט המשושה של פפוס נכלל באקסיומות של גאומטריית מישור, אז אפשר להגדיר שדה k כך שהגאומטריה זהה לגאומטריה האפינית או הפרויקטיבית על k.

===מספרים טבעיים===
{{ערך מורחב|מערכת פאנו}}
העבודה על אנליזה מתמטית ריגורוזית והגדרה של מספרים ממשיים, כללה צמצום הכל למספרים רציונליים ובכך למספרים טבעיים, שכן מספרים רציונליים חיוביים הם [[שבר (מתמטיקה)|שברים]] של מספרים טבעיים. לכן היה צורך בהגדרה פורמלית של מספרים טבעיים, שמהם משתמעת תאוריה אקסיומטית של ה[[אריתמטיקה]]. זה התחיל עם [[צ'ארלס סנדרס פרס]] ב-1881 ו[[ריכרד דדקינד]] ב-1888, שהגדירו מספרים טבעיים כ[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] של [[קבוצה סופית]].{{הערה|{{cite book |last1=Dedekind |first1=Richard |title=What Are and What Should the Numbers Be? Continuity and Irrational Numbers |publisher=Springer |isbn=978-3-662-70059-4}}}} עם זאת, זה כרוך בתורת הקבוצות, אשר לא הייתה פורמלית בשלב זה.

[[ג'וזפה פאנו]] סיפק בשנת 1888 אקסיומטיזציה מלאה המבוססת על התכונה הסידורית של המספרים הטבעיים. האקסיומה האחרונה של פאנו היא היחידה שמעוררת קשיים לוגיים, שכן היא מתחילה ב"אם S הוא קבוצה אז" או "אם <math>\varphi</math> הוא [[פרדיקט (לוגיקה מתמטית)|פרדיקט]] אז". לפיכך, האקסיומות של פאנו גורמות לכימות על קבוצות אינסופיות, וזה אומר שהאריתמטיקה של פאנו היא מה שנקרא כיום [[לוגיקה מסדר שני]].

זה לא היה מובן היטב באותה תקופה, אבל העובדה שהאינסוף הופיע בהגדרת המספרים הטבעיים הייתה בעיה עבור מתמטיקאים רבים בתקופה זו. לדוגמה, [[אנרי פואנקרה]] קבע שניתן להדגים אקסיומות רק ביישום שלהן על קבוצות סופיות, והגיע למסקנה ש"כוח הנפש" הוא המאפשר להגות את החזרה הבלתי מוגבלת של אותו מעשה.{{הערה|{{cite book |last1=Poincaré |first1=Henri|translator1-first=William John|translator1-last= Greenstreet |title=La Science et l'hypothèse|trans-title=Science and Hypothesis|orig-date=1902|date=1905|chapter=On the nature of mathematical reasoning|chapter-url=https://en.wikisource.org/wiki/Science_and_Hypothesis/Chapter_1|at=VI}}}} זה חל במיוחד על השימוש באקסיומה האחרונה של פאנו כדי להראות ש{{קישור שפה|אנגלית|Successor function|פונקציית העוקב}} יוצרת את כל המספרים הטבעיים. כמו כן, [[לאופולד קרונקר]] אמר "אלוהים יצר את המספרים השלמים, כל השאר הוא עבודת האדם". ניתן לפרש זאת כ"לא ניתן להגדיר את המספרים השלמים באופן מתמטי".

===קבוצות אינסופיות===
לפני המחצית השנייה של המאה ה-19, [[אינסוף]] היה מושג פילוסופי שלא היה שייך למתמטיקה, אולם עם עליית החשבון האינפיניטסימלי מתמטיקאים התרגלו לאינסוף, בעיקר באמצעות אינסוף פוטנציאלי, כלומר כתוצאה מתהליך אינסופי, כמו הגדרת [[סדרה אינסופית]], [[טור אינסופי]] או [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. האפשרות של אינסוף ממשי הייתה נושא למחלוקות פילוסופיות רבות.

[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], ובמיוחד קבוצות אינסופיות, לא נחשבו כמושג מתמטי. שינוי דרמטי התרחש עם עבודתו של [[גאורג קנטור]] שהיה המתמטיקאי הראשון שחקר באופן שיטתי קבוצות אינסופיות. בפרט, הוא הציג [[מספר קרדינלי|מספרים קרדינליים]] המודדים את גודלן של קבוצות אינסופיות, ו[[מספר סודר|מספרים סודורים]] שמאפשרים, בניסוח גס, להמשיך ולספור לאחר שהגיעו לאינסוף. אחת התוצאות העיקריות שלו היא הגילוי שיש בהחלט יותר מספרים ממשיים ממספרים טבעיים (ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] של [[שדה המספרים הממשיים]] גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים). תוצאות אלו נדחו על ידי מתמטיקאים ופילוסופים רבים, והובילו לוויכוחים שהם חלק ממשבר היסודות של המתמטיקה.

המשבר התגבר עם [[הפרדוקס של ראסל]] שקובע כי הביטוי "קבוצת כל הקבוצות" סותר את עצמו. סתירה זו עוררה ספק לגבי ה[[עקביות (לוגיקה)|עקביות]] של כל המתמטיקה.

עם הצגת [[ZFC|תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל]] (1925 לערך) ואימוצה על ידי הקהילה המתמטית, הספק לגבי העקביות הוסר למעשה, אם כי לא ניתן להוכיח עקביות של תורת הקבוצות בגלל [[משפט אי השלמות של גדל]].

===לוגיקה מתמטית===
ב-1847 פרסם [[אוגוסטוס דה מורגן]] את [[כללי דה מורגן|כלליו]] ו[[ג'ורג' בול]] הגה אלגברה, הקרויה כיום [[אלגברה בוליאנית]], המאפשרת לבטא את הלוגיקה של [[אריסטו]] במונחים של נוסחאות ופעולות אלגבריות. אלגברה בוליאנית היא נקודת המוצא למתמטיזציה של הלוגיקה והבסיס ל[[תחשיב הפסוקים]].

באופן עצמאי, ב[[שנות ה-70 של המאה ה-19]], [[צ'ארלס סנדרס פרס]] ו[[גוטלוב פרגה]] הרחיבו את תחשיב הפסוקים על ידי הצגת [[כמת]]ים, לבניית [[לוגיקה מסדר ראשון]].

פרגה הצביע על שלושה מאפיינים רצויים של תיאוריה לוגית: [[עקביות (לוגיקה)|עקביות]] (אי-אפשרות להוכיח הצהרות סותרות), [[שלמות (לוגית)|שלמות]] (כל אמירה ניתנת להוכחה או ל[[הפרכה]], כלומר שלילתה ניתנת להוכחה), ו[[כריעות]] (יש הליך החלטה לבדיקת כל הצהרה).

לקראת תחילת המאה ה-20 [[ברטרנד ראסל]] הפך את עבודתו של פרגה לפופולרית וגילה את [[הפרדוקס של ראסל]] שמרמז כי הביטוי "קבוצת של כל הקבוצות" סותר את עצמו. נראה שהפרדוקס הזה הפך את כל המתמטיקה לבלתי עקבית והוא אחד הגורמים העיקריים למשבר היסודות של המתמטיקה.

==משבר היסודות של המתמטיקה==
משבר היסודות של המתמטיקה התעורר בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 עם גילוי של כמה [[פרדוקס]]ים או תוצאות נוגדת אינטואיציה.

הראשון היה ההוכחה שלא ניתן להוכיח את [[אקסיומת המקבילים]]. הדבר נובע מבנייה של [[גאומטריה לא-אוקלידית]] בתוך ה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]], שחוסר העקביות שלה יצביע על חוסר העקביות של הגאומטריה האוקלידית. פרדוקס נודע הוא [[הפרדוקס של ראסל]], המראה שהביטוי "קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן" סותר את עצמו. בעיות פילוסופיות נוספות היו ההוכחה לקיומם של [[עצם מתמטי|עצמים מתמטיים]] שאינם ניתנים לחישוב או לתאר במפורש, וההוכחה לקיומם של משפטי [[אריתמטיקה]] שלא ניתן להוכיח באמצעות [[מערכת פאנו]].

כמה אסכולות ל[[פילוסופיה של המתמטיקה]] נתקלו בבעיות אלה במאה ה-20, ומתוארות להלן.

בעיות אלו נחקרו גם על ידי מתמטיקאים, והדבר הוביל לביסוס ה[[לוגיקה מתמטית|לוגיקה המתמטית]] כתחום חדש במתמטיקה, המורכב ממתן הגדרות מתמטיות ללוגיקה (מערכות של [[כלל היסק|כללי היסק]]), תאוריות מתמטיות ולוגיות, משפטים והוכחות, ומשימוש בשיטות מתמטיות להוכחת משפטים לגבי מושגים אלו.

זה הוביל לתוצאות בלתי צפויות, כמו [[משפטי האי-שלמות של גדל]], שבאופן גס טוענים שאם תאוריה מכילה את האריתמטיקה הסטנדרטית, לא ניתן להשתמש בה כדי להוכיח שהיא עצמה אינה סותרת את עצמה; ואם זה לא סותר את עצמו, יש משפטים שלא ניתן להוכיח בתוך התאוריה, אבל בכל זאת נכונים במובן טכני כלשהו.

[[ZFC|תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל]] עם [[אקסיומת הבחירה]] (ZFC) היא תאוריה לוגית שנבנתה על ידי [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]]. היא הפכה לבסיס הסטנדרטי של המתמטיקה המודרנית, ואם ההפך צוין במפורש, היא משמשת בכל הטקסטים המתמטיים המודרניים, בדרך כלל באופן משתמע.

במקביל, {{קישור שפה|אנגלית| Axiomatic method|השיטה האקסיומטית}} הפכה לסטנדרט דה פקטו: הוכחת משפט חייבת לנבוע מאקסיומות מפורשות וממשפטים שהוכחו בעבר על ידי יישום כללי היסק מוגדרים בבירור. האקסיומות אינן חייבות להתאים למציאות כלשהי. עם זאת, זו בעיה פילוסופית פתוחה להסביר מדוע מערכות האקסיומות המובילות לתאוריות עשירות ושימושיות הן אלו הנובעות מהפשטה מהמציאות הפיזית או מתאוריה מתמטית אחרת.

לסיכום, משבר היסודות נפתר למעשה, וזה פותח בעיות פילוסופיות חדשות. בפרט, לא ניתן להוכיח שהיסודות החדשים (ZFC) אינם סותרים את עצמם. יש הסכמה כללית שאם זה יקרה, הבעיה יכולה להיפתר על ידי שינוי מתון של ZFC.

===השקפות פילוסופיות===
{{ערך מורחב|פילוסופיה של המתמטיקה}}
כאשר התעורר משבר היסודות של המתמטיקה, היה ויכוח רב בין מתמטיקאים ולוגיקאים לגבי מה צריך לעשות כדי להחזיר את האמון במתמטיקה. זה כלל שאלות פילוסופיות על [[אמת]] מתמטית, הקשר של מתמטיקה עם המציאות, מציאותם של [[עצם מתמטי|עצמים מתמטיים]] וטבעה של המתמטיקה.

לבעיית היסודות היו שתי אפשרויות עיקריות לניסיון להימנע מפרדוקסים. הראשון הוביל ל[[אינטואיציוניזם]] ו[[קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)|קונסטרוקטיביזם]], ובא להגביל את הכללים הלוגיים כך שיישארו קרובים יותר לאינטואיציה, בעוד שהשני, שנקרא [[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמליזם]], סבור שמשפט נכון אם ניתן להסיק אותו מאקסיומות על ידי יישום כללי היסק ({{קישור שפה|אנגלית|Formal proof|הוכחה פורמלית}}), ושאין צורך ב"אמיתות" של האקסיומות לתקפות של המשפט.

====פורמליזם====
{{ערך מורחב|פורמליזם (מתמטיקה)}}
נטען{{הבהרה|על ידי מי?}} שפורמליסטים, כמו [[דוויד הילברט]] (1862–1943), גורסים שמתמטיקה היא רק שפה וסדרה של משחקים. הילברט עמד על כך שהפורמליזם, שנקרא על ידו "משחק נוסחאות", הוא חלק מהותי במתמטיקה, אך אסור לצמצם את המתמטיקה לפורמליזם. הילברט עמד על כך שהמתמטיקה אינה משחק שרירותי עם כללים שרירותיים, אלא היא חייבת להסכים עם תהליכי החשיבה שלנו, ולאחר מכן הדיבור והכתיבה שלנו.{{הערה|Hilbert 1927 "The Foundations of Mathematics", in: Jean van Heijenoort, '''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931''', Iuniverse, 1999}}
:"אנחנו לא מדברים כאן על שרירותיות בשום מובן. מתמטיקה אינה דומה למשחק שמשימותיו נקבעות על פי כללים שנקבעו באופן שרירותי. במקום זאת, זוהי מערכת מושגית בעלת הכרח פנימי שיכולה להיות רק כך ובשום אופן לא אחרת."{{הערה|p. 14 in Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhauser (1992)}}

הפילוסופיה הבסיסית של הפורמליזם, כפי שהדגים הילברט, היא תגובה לפרדוקסים של תורת הקבוצות, ומבוססת על לוגיקה פורמלית. את כל המשפטים המתמטיים כיום ניתן לנסח כמשפטים של תורת הקבוצות. האמת של אמירה מתמטית, בתפיסה זו, מיוצגת על ידי העובדה שניתן לגזור את ההצהרה מהאקסיומות של תורת הקבוצות באמצעות כללי הלוגיקה הפורמלית.

השימוש בפורמליזם לבדו אינו מסביר כמה סוגיות: מדוע עלינו להשתמש באקסיומות מסוימות ולא באחרות, מדוע עלינו להשתמש בכללים לוגיים מסוימים ולא באחרים, מדוע הצהרות מתמטיות "אמיתיות" (למשל, חוקי האריתמטיקה) נראים נכונים וכו'.

במקרים מסוימים, שאלות אלו עשויות לקבל מענה מספק באמצעות חקר תאוריות פורמליות, בדיסציפלינות כמו {{קישור שפה|אנגלית|Reverse mathematics|מתמטיקה הפוכה}} ו[[תורת הסיבוכיות]]. כפי שציין [[הרמן וייל]], גם מערכות לוגיות פורמליות מסתכנות בחוסר עקביות; ב[[מערכת פאנו]] אפשר לטעון שזה כבר הוסדר עם כמה הוכחות לעקביות, אבל יש מחלוקת אם הם [[פיניטיזם|פיניטיסטיים]] מספיק כדי להיות משמעותיים או לא. [[משפט האי-שלמות השני של גדל]] קובע כי מערכות לוגיות של אריתמטיקה לעולם לא יכולות להכיל הוכחה תקפה לעקביות שלהן. מה שהילברט רצה לעשות זה להוכיח שמערכת לוגית S עקבית, המבוססת על עקרונות P שהיוו רק חלק קטן מ-S. אבל גדל הוכיח שהעקרונות P אפילו לא יכולים להוכיח ש-P עקבית, שלא לדבר על S.

====אינטואיציוניזם====
{{ערך מורחב|ערכים=[[אינטואיציוניזם]], [[קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)|קונסטרוקטיביזם]]}}
[[אינטואיציוניזם|אינטואיציוניסטים]], כגון [[ל. א. י. בראואר]] (1882–1966), גורסים שהמתמטיקה היא יצירה של המוח האנושי. מספרים, כמו דמויות מהאגדות, הם רק ישויות מנטליות, שלא היו קיימות אם בעולם לא היו מוחות אנושיים שיחשבו עליהם.

הפילוסופיה הבסיסית של [[אינטואיציוניזם]] או [[קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)|קונסטרוקטיביזם]], כפי שהודגמה בקיצוניות על ידי ברואר ו{{קישור שפה|אנגלית|Stephen Cole Kleene|סטיבן קליין}}, דורשת שהוכחות יהיו "קונסטרוקטיביות" במהותן - יש להוכיח את קיומו של אובייקט ולא להסיק את קיומו מהוכחה של אי-היתכנות של אי-קיומו. בהתאם לכך פסולה צורת ההוכחה המכונה [[הוכחה בדרך השלילה]].

כמה תאוריות מודרניות בפילוסופיה של המתמטיקה מכחישים את קיומם של יסודות במובן המקורי. תאוריות מסוימות נוטות להתמקד בפרקטיקה מתמטית, ומטרתן לתאר ולנתח את עבודתם בפועל של מתמטיקאים כ[[קבוצה חברתית]]. אחרים מנסים ליצור מדע קוגניטיבי של מתמטיקה, תוך התמקדות בקוגניציה האנושית כמקור המהימנות של המתמטיקה כשהיא מיושמת על העולם האמיתי. תאוריות אלו יציעו למצוא יסודות רק במחשבה האנושית, לא בשום מבנה חיצוני אובייקטיבי. הנושא נותר שנוי במחלוקת.

====לוגיציזם====
{{ערך מורחב|לוגיציזם}}
{{קישור שפה|אנגלית|Logicism|לוגיציזם}} הוא אסכולה ותוכנית מחקר בפילוסופיה של המתמטיקה, המבוססת על התזה שהמתמטיקה היא הרחבה של הלוגיקה או שחלק מהמתמטיקה או כולה עשויה להיגזר במערכת פורמלית מתאימה שהאקסיומות וכללי ההיסק שלה הם 'לוגיים' באופיים. [[ברטרנד ראסל]] ו[[אלפרד נורת' וייטהד]] דגלו בתיאוריה זו שיזם [[גוטלוב פרגה]] והושפעה על ידי [[ריכרד דדקינד]].

====פלטוניזם====
חוקרים רבים ב[[תורת הקבוצות האקסיומטית]], בהם [[קורט גדל]], דגלו במה שמכונה פלטוניזם של תורת הקבוצות.

מספר חוקרים של תורת הקבוצות נקטו בגישה זו וחיפשו באופן פעיל אחר אקסיומות שעשויות להיחשב כנכונות מסיבות היוריסטיות ואשר יכריעו את [[השערת הרצף]]. הרבה אקסיומות של [[מונה גדול]] נחקרו, אבל ההשערה תמיד נשארה עצמאית מהן וכיום זה נחשב לא סביר שניתן לפתור את השערת הרצף על ידי אקסיומה חדשה של מונה גדול. סוגים אחרים של אקסיומות נשקלו, אך אף אחת מהן לא הגיעה עדיין לקונצנזוס על השערת הרצף. עבודה אחרונה של {{קישור שפה|אנגלית|Joel David Hamkins|ג'ואל דייוויד המקינס|המקינס}} מציעה אלטרנטיבה גמישה יותר: {{קישור שפה|אנגלית|Multiverse|רב-יקום}} תאורטי של קבוצות המאפשר מעבר חופשי בין יקומי תורת הקבוצות המקיימים את השערת הרצף לבין יקומים אחרים שאינם מקיימים את השערת הרצף.

====השלכות פילוסופיות של משפט השלמות של גדל====
{{ערך מורחב|משפט השלמות של גדל}}
[[משפט השלמות של גדל]] קובע שקילות ב[[לוגיקה מסדר ראשון]] בין היכולת להוכחה פורמלית של נוסחה לאמיתותה בכל המודלים האפשריים. ליתר דיוק, לכל תאוריה עקבית מסדר ראשון המשפט נותן "בנייה מפורשת" של מודל המתואר על ידי התאוריה; מודל זה יהיה [[בן מנייה]] אם שפת התאוריה היא בת מנייה. אולם "הבנייה המפורשת" הזו אינה [[אלגוריתם|אלגוריתמית]]. היא מבוססת על תהליך איטרטיבי של השלמת התאוריה, כאשר כל שלב של האיטרציה מורכב מהוספת נוסחה לאקסיומות אם היא שומרת על עקביות התאוריה; אבל שאלת העקביות הזו ניתנת להכרעה רק למחצה (אלגוריתם זמין כדי למצוא כל סתירה אבל אם אין כזו, עובדת העקביות הזו יכולה להישאר בלתי ניתנת להוכחה).

====פרדוקסים נוספים====
להלן כמה תוצאות בולטות ב[[מטא-מתמטיקה]]. תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל היא האקסיומטיזציה הנחקרת ביותר של תורת הקבוצות. היא מקוצרת ZFC כאשר היא כוללת את [[אקסיומת הבחירה]] ו-ZF כאשר אקסיומת הבחירה אינה נכללת.
* 1920: [[תוראלף סקולם]] תיקן את ההוכחה של [[לאופולד לוונהיים]] למה שנקרא כיום משפט הכיווץ ב[[משפט לוונהיים-סקולם]], מה שהוביל ל[[פרדוקס סקולם]] שנדון ב-1922, כלומר קיומם של מודלים בני מנייה של ZF, מוביל לכך שכל הקבוצות במודל הן בנות מנייה, בסתירה לכאורה ל[[משפט קנטור]] שממנו עולה שקיימות [[קבוצה שאינה בת מנייה|קבוצות שאינן בנות מנייה]].
* 1922: הוכחה מאת [[אברהם הלוי פרנקל]] שלא ניתן להוכיח את אקסיומת הבחירה מהאקסיומות של תורת הקבוצות של צרמלו עם {{קישור שפה|אנגלית|Urelement|אוראלמנטים}}.
* 1931: פרסום [[משפטי האי-שלמות של גדל]], המראים שלא ניתן היה להשיג היבטים חיוניים ב[[תוכנית הילברט]]. הוא הראה כיצד לבנות, עבור כל מערכת חזקה ועקבית מספיק ניתנת לאקסיומטיזציה רקורסיבית – כגון הנחוצה כדי לבצע אקסיומטיזציה של התורה האלמנטרית של ה[[אריתמטיקה]] על קבוצת המספרים הטבעיים (האינסופית) – אמירה המבטאת פורמלית את אי-ההוכחה של עצמה, שאז הוכיח שהיא שווה ערך לטענת העקביות של התאוריה; כך ש (בהנחה שהעקביות כנכונה), המערכת אינה חזקה מספיק כדי להוכיח את העקביות שלה, שלא לדבר על כך שמערכת פשוטה יותר יכולה לעשות את העבודה. כך התברר שלא ניתן לקבוע לחלוטין את הרעיון של אמת מתמטית ולצמצם אותה למערכת פורמלית גרידא כפי שנחזה בתוכנית הילברט. זה הטיל מכה אחרונה בלבה של תוכנית הילברט, התקווה שניתן יהיה לבסס עקביות באמצעים פיניטיסטיים (מעולם לא הובהר בדיוק אילו אקסיומות הן ה"פיניטיסטיות", אבל לא משנה לאיזו מערכת אקסיומטית התייחסו, זו הייתה מערכת 'חלשה' יותר מהמערכת שאת עקביותה היא אמורה להוכיח).
* 1936: [[אלפרד טרסקי]] הוכיח את [[משפט האי-גדירות של טרסקי]].
* 1936: [[אלן טיורינג]] הוכיח שאלגוריתם כללי לפתרון [[בעיית העצירה]] עבור כל צמדי הקלט האפשריים של תוכנית אינו יכול להתקיים.
*1936–1937: [[אלונזו צ'רץ']] ו[[אלן טיורינג]] פרסמו מאמרים עצמאיים המראים שפתרון כללי לבעיית ה-Entscheidungs {{אנ|Entscheidungsproblem}} הוא בלתי אפשרי: התקפות האוניברסלית של הצהרות בלוגיקה מסדר ראשון אינה ניתנת להכרעה (היא רק כריעה-למחצה, כפי שניתן על ידי משפט השלמות).
* 1955: {{קישור שפה|אנגלית|Pyotr Novikov|פיוטר נוביקוב}} הראה שקיימת [[חבורה מוצגת סופית]] שלא ניתן להכריע את [[בעיית המילה]] עבורה.
* 1963: [[פול כהן]] הראה שלא ניתן להוכיח את [[השערת הרצף]] מ-ZFC. ההוכחה של כהן פיתחה את שיטת ה[[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]], שהיא כיום כלי חשוב לביסוס תוצאות [[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאות]] בתורת הקבוצות.
* 1964: בהשראת האקראיות הבסיסית בפיזיקה, [[גרגורי צ'ייטין]] התחיל לפרסם תוצאות על {{קישור שפה|אנגלית|Algorithmic information theory|תורת האינפורמציה האלגוריתמית}} (מדידה של אי-שלמות ואקראיות במתמטיקה).{{הערה|{{Citation |first=Gregory |last=Chaitin |url=https://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/sciamer3.pdf |title=The Limits Of Reason |journal=Scientific American |volume=294 |issue=3 |pages=74–81 |year=2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304192140/https://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/sciamer3.pdf |archive-date=2016-03-04 |url-status=dead |pmid=16502614 |doi=10.1038/scientificamerican0306-74 |bibcode=2006SciAm.294c..74C }}}}
* 1966: פול כהן הראה שאקסיומת הבחירה אינה ניתנת להוכחה ב-ZF גם ללא {{קישור שפה|אנגלית|Urelement|אוראלמנטים}}.
* 1970: [[הבעיה העשירית של הילברט]] הוכחה כבלתי פתירה: אין פתרון רקורסיבי להכרעה אם ל[[משוואה דיופנטית]] יש פתרון במספרים שלמים.
* 1971: [[בעיית סוסלין]] הוכחה כבלתי תלויה ב-ZFC.

==לקראת פתרון המשבר==
החל משנת 1935, [[ניקולא בורבאקי|קבוצת בורבאקי]] של מתמטיקאים צרפתים החלה לפרסם סדרה של ספרים כדי לבסס תחומים רבים במתמטיקה על הבסיס של תורת הקבוצות.

האסכולה האינטואיציונית לא משכה חסידים רבים, ורק בעבודתו של {{קישור שפה|אנגלית|Errett Bishop|ארט בישופ}} ב-1967 הועמדה ה[[קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)|מתמטיקה הקונסטרוקטיבית]] על בסיס טוב יותר.{{הערה|{{citation | title = Five stages of accepting constructive mathematics | author = Andrej Bauer | journal = Bull. Amer. Math. Soc. | volume = 54 | issue = 3 | year = 2017 | doi = 10.1090/bull/1556 | page = 485 | doi-access = free }}}}

אפשר לשקול ש[[תוכנית הילברט]] הושלמה בחלקה, כך שהמשבר בעצם נפתר, תוך הסתפקות בדרישות נמוכות מהשאיפות המקוריות של הילברט. שאיפותיו באו לידי ביטוי בתקופה שבה שום דבר לא היה ברור: לא היה ברור אם למתמטיקה יכול להיות בסיס קפדני בכלל.

ישנן גרסאות אפשריות רבות של תורת הקבוצות, הנבדלות בחוזק העקביות, כאשר גרסאות חזקות יותר (המניחות סוגים גבוהים יותר של אינסוף) מכילות הוכחות פורמליות לעקביות של גרסאות חלשות יותר, אך אף אחת לא מכילה הוכחה פורמלית לעקביות של עצמה. לכן הדבר היחיד שאין לנו הוא הוכחה פורמלית לעקביות של כל גרסה של תורת הקבוצות שאנו מעדיפים, כגון ZF.

בפועל, רוב המתמטיקאים לא עובדים ממערכות אקסיומטיות, או אם כן, לא מפקפקים בעקביות של ZFC, שהיא בדרך כלל המערכת האקסיומטית המועדפת עליהם. ברוב המתמטיקה כפי שהיא נהוגה, חוסר השלמות והפרדוקסים של התאוריות הפורמליות הבסיסיות מעולם לא שיחקו תפקיד בכל מקרה, ובענפים שבהם הם עושים זאת או שניסיונות הפורמליזציה שלהם עלולים להסתכן בצירת תיאוריות לא עקביות (כגון לוגיקה ו[[תורת הקטגוריות]]), ניתן להתייחס אליהן בזהירות.

התפתחותה של תורת הקטגוריות באמצע המאה ה-20 הראתה את התועלת של תורת קבוצות המבטיחה את קיומן של מחלקות גדולות יותר מאלה שמאפשרת ZFC, כגון {{קישור שפה|אנגלית|Von Neumann–Bernays–Gödel set theory|תורת הקבוצות של פון נוימן-ברנייס-גדל}} או {{קישור שפה|אנגלית|Tarski–Grothendieck set theory|תורת הקבוצות של טרסקי-גרותנדיק}}, אם כי במקרים רבים מאוד ניתן להימנע מהשימוש באקסיומות של קרדינלים גדולים וביקומי גרותנדיק.

אחת המטרות של תוכנית ה[[מתמטיקה הפוכה|מתמטיקה ההפוכה]] היא לזהות האם ישנם תחומים של "ליבת המתמטיקה" שבהם סוגיות יסוד עלולות לעורר שוב משבר.

==לקריאה נוספת==
* {{אוניברסיטה משודרת|ארנון אברון|משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה|1998}}
* [[אי"י פוזננסקי]], "על יסודות המתמטיקה", בתוך: [[יהושע בר-הלל]], '''הגיון לשון ושיטה - מסות בפילוסופיה של הלוגיקה, של הלשון ושל המדע''', [[ספרית פועלים]], 1970.
<div class="mw-content-ltr">
* [[איאן סטיוארט (מתמטיקאי)|Ian Stewart]] and David Tall, '''The Foundations of Mathematics''', [[Oxford University Press]], 2015
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה|Category:Foundations of mathematics}}
{{בריטניקה}}
<div class="mw-content-ltr">
*Harvey M. Friedman, [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/u.osu.edu/dist/1/1952/files/2014/01/fom12pt5.31.00-1jkl4df.pdf Foundations of Mathematics: past, present, and future], May 31, 2000
*Gregory Chaitin, [https://arxiv.org/html/nlin/0004007 A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics]
* Kenneth Kunen, [https://people.math.wisc.edu/~awmille1/old/m771-10/kunen770.pdf The Foundations of Mathematics], 2007
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מתמטיקה]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]
[[קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה]]
[[קטגוריה:פילוסופיה של המתמטיקה]]