הצגת המקור של הדף "ישר"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מושג גאומטרי}}
[[קובץ:Linear functions2.PNG|שמאל|ממוזער|שלושה ישרים. לאדום ולכחול יש [[שיפוע]] זהה, בעוד שלאדום ולירוק יש נקודת חיתוך ציר y זהה]]
ב[[גאומטריה]], '''יָשָׁר''' הוא [[הגדרה#מושג יסוד|מושג יסודי]], המאופיין באמצעות ה[[אקסיומה|אקסיומות]] העוסקות בו. לישר יש [[ממד (מתמטיקה)|ממד]] אחד ויחיד – [[אורך]]. ב[[גאומטריה אוקלידית]] ישר [[בנייה בסרגל ובמחוגה|נבנה באמצעות סרגל]]. ב[[גאומטריה אנליטית]] ישר ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] הוא אוסף נקודות המקיימות [[משוואה ליניארית]] נתונה. ב[[גאומטריה ספירית]] הישר מיוצג (כלומר מקיים את כל האקסיומות) על ידי [[מעגל גדול]] על-פני [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] וה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] מיוצגת על ידי זוג [[נקודות אנטיפודיות]].

==אקסיומות הישר==
אקסיומות ה[[גאומטריה]] העוסקות בישר:
* לכל שתי [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] שונות זו מזו יש ישר אחד ויחיד ששתי נקודות אלה נמצאות עליו.
* כל ישר מכיל לפחות נקודה אחת.
* מחוץ לכל ישר יש לפחות נקודה אחת.
* אם לישר ולמישור שתי נקודות משותפות שונות זו מזו, הישר נמצא במישור.
* [[האקסיומה של פאש]]: אם: הישר x אינו מכיל אף אחת משלוש הנקודות C ,B ,A שאינן על ישר אחד, ו-x מכיל נקודה שבין A ל-B; אז מתקיים אחד מן השניים (ואחד בלבד): או ש-x מכיל נקודה בין A ל-C או ש-x מכיל נקודה בין B ל-C.
* מאקסיומות הגאומטריה ניתן ל[[הוכחה|הוכיח]] כי יש לפחות ישר אחד וכי כל ישר מכיל [[אינסוף]] נקודות.

==מושגים גאומטריים המתבססים על הישר==
* '''[[קטע (גאומטריה)|קטע]]''' הוא חלק של ישר המצוי בין שתי נקודות מסוימות שעליו (בין אם כולל את שתי הנקודות – ואז הוא נקרא קטע סגור, אינו כולל את שתי הנקודות ואז נקרא קטע פתוח או כולל רק אחת מהן – קטע חצי סגור וחצי פתוח). שתי הנקודות נקראות קצות הקטע והקטע המוגדר על ידן מכונה בשם הקטע המחבר את שתי הנקודות.
* '''קרן''' היא חלק של ישר שמתחיל בנקודה מסוימת ונמשך עד אינסוף.{{ש}} או, בהגדרה מדויקת: קרן היא קבוצת נקודות על הישר שאינה קטע ואינה מכילה את כל נקודות הישר ואשר כל קטע המחבר שתי נקודות עליה מוכל בה. נקודה נקראת ראשית הקרן אם כל קטע פתוח על הישר המכיל אותה – מכיל נקודה בקרן ונקודה מחוץ לקרן. קרן המכילה את הראשית שלה נקראת קרן סגורה. קרן שאינה מכילה את הראשית נקראת קרן פתוחה.
* '''קו שבור''' הוא אוסף של קטעים ישרים עוקבים (כלומר, נקודת ההתחלה של קטע אחד היא נקודת הסוף של אחר).
* '''[[מצולע]]''' הוא '''קו שבור סגור''' (לקטע האחרון והראשון נקודת קצה משותפת) ו'''פשוט''' (לא חותך את עצמו).

==משוואת הישר==
===משוואת ישר במישור===

משוואת הישר במישור x-y בצורה הכללית ביותר היא
: <math>\ a x + b y = c</math>
אם <math>b \ne 0</math> נוח להציג את הישר כפונקציה <math>\ y = f(x)</math>, כלומר:
: <math>\ y = -\frac{a}{b} x + \frac{c}{b} = m x + n</math>
הגודל <math>m</math> הוא ה[[שיפוע]] של הישר, ומתקיים ש-<math>m = \tan\theta</math> כאשר <math>\ \theta</math> היא הזווית בין הישר לבין ציר ה-x. הקבוע <math>n</math> קובע איפה יחתוך הישר את ציר ה-y ב-x=0.

משוואת הישר העובר דרך נקודה <math>\ ( x_0, y_0 )</math> ששיפועו הוא <math>m</math> נתונה על ידי
: <math>\ y - y_0 = m \cdot ( x - x_0 )</math>

את המשואה <math>\ a x + b y = c</math> אפשר להציג גם כך: <math>\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{x} =c</math>, כאשר <math>\ \mathbf{a} </math> הוא הווקטור <math>\ (a,b)</math> (שלמעשה מהווה ה[[נורמל]] של הישר) ו-<math>\ \mathbf{x} </math> הוא הווקטור <math>\ (x,y)</math>.

המשוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות, <math>P_0 = ( x_0, y_0 )</math> ו- <math>P_1 = (x_1, y_1)</math> היא:
:<math>(y - y_0)(x_1 - x_0) = (y_1 - y_0)(x - x_0)</math>.
אם ''x<sub>0</sub>'' ≠ ''x<sub>1</sub>'', ניתן לכתוב משוואה זו בצורה:
:<math>y=(x-x_0)\,\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+y_0</math>
או
:<math>y=x\,\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}+\frac{x_1y_0-x_0y_1}{x_1-x_0}</math>.

===משוואת ישר במרחב===

ניתן להציג ישר במרחב בעל <math>\ n </math> ממדים ( <math>\ n \ge2 </math> ) בהצגה [[וקטור (אלגברה)|וקטורית]] בצורה הבאה:
:<math>\ \mathbf{x}=\mathbf{a}+t\mathbf{b} </math>
כאשר <math>\ \mathbf{a} </math> הוא נקודה על הישר, <math>\ \mathbf{b} </math> הוא וקטור הכיוון, ו- <math>\ t </math> הוא [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] (אשר "רץ" על כל הערכים הממשיים).

במקרה של ישר העובר דרך שתי נקודות במרחב <math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2</math>, אפשר להגיע להצגה זאת בדרך הבאה:
: <math>\left\{ t (\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1 ) + \mathbf{v}_1 | t \in \mathbb{R} \right\}</math>
קל לראות שעבור t=0 מקבלים את <math>\mathbf{v}_1</math> ועבור t=1 מקבלים את <math>\mathbf{v}_2</math>.

ניתן להציג ישר במרחב כזה גם כ[[מערכת משוואות ליניאריות|צירוף של <math>\ n-1 </math> משוואות ליניאריות]].

== ראו גם ==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/משוואת הקו הישר|שם ויקיספר=משוואת הישר|ויקימילון=ישר}}
* [[גאומטריה אוקלידית]]
* [[פונקציה ליניארית]]
* [[שיפוע]]
* [[משוואה ליניארית]]
== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:עקומות]]