הצגת המקור של הדף "כדור (טופולוגיה)"

ב[[מתמטיקה]], ב[[מרחב מטרי]], '''כדור''' הוא קבוצה המכילה את כל הנקודות שמרחקן מנקודה נתונה קטן ממספר קבוע (שנקרא ה'''רדיוס''' של הכדור). 

לדוגמה:
*ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]] כדור הוא [[קטע (מתמטיקה)|קטע]]. 
*ב[[המרחב האוקלידי|מישור האוקלידי]] הכדור הוא [[עיגול]].
*ב[[גאומטריית נהגי המוניות]], כדור הוא יהלום.
*ב[[טופולוגיה דיסקרטית|מרחב דיסקרטי]] כדור הוא המרחב כולו, או שהוא נקודה יחידה.

מבחינה טופולוגית, כל כדור הוא [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] של הנקודות שבתוכו.

'''כדור פתוח''' מרדיוס ''r > 0'' אשר מרכזו בנקודה ''p'' נכתב לרוב כ-<math>\ B_r(p)</math>.

דבר זה מוגדר כ:
: <math>\ B_r(p) := \{ x \ | \ d(x,p) < r \}</math>
<!-- :B<sub>''r''</sub>(''p'') = { ''x'' | ''d''(''x'',''p'') < ''r'' } -->
כאשר ''d'' הוא [[מטריקה|פונקציית המרחק]] (מטריקה). ב-'''R'''<sup>n</sup>, פונקציית המרחק האוקלידית הרגילה נתונה על ידי:
:<math>d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>.

יש לשים לב שכדור פתוח תמיד מכיל את <var>p</var> וזאת כיוון ש <var>r</var> > 0.

כדורים לפי מטריקה <var>d</var> יוצרים [[בסיס (טופולוגיה)|בסיס]] לטופולוגיה המושרית על ידי <var>d</var>. כלומר, כל הקבוצות הפתוחות במרחב המטרי יכולות להיכתב כ[[איחוד (תורת הקבוצות)|איחוד]] של כדורים פתוחים.

אם סימן ה"קטן מ" (<) יוחלף על ידי "קטן שווה מ" (&le;), יתקבל '''כדור סגור'''. הוא מסומן לרוב על ידי <math>\bar{B}</math> כלומר הוספת [[קו עליון]] ל-B (ראה [[סגור (טופולוגיה)|סגור]]).

אם ''r'' = 1, אז הכדור נקרא '''כדור יחידה'''.

כדור היחידה הסגור ב[[המרחב האוקלידי|מרחב האוקלידי]] ה-''n'' ממדי מסומן ב[[טופולוגיה]] כ-D<sup>''n''</sup> (מהמילה דיסק שמגיעה מהמקרה הדו-ממדי).

קבוצה היא [[קבוצה חסומה|חסומה]] אם יש כדור שמכיל אותה. קבוצה היא [[מרחב חסום לחלוטין|חסומה כליל]] אם לכל רדיוס נתון, היא מכוסה על ידי מספר סופי של כדורים בעלי רדיוס זה.

בשם "[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]]" (Sphere) נהוג לכנות את כל הנקודות הנמצאות בדיוק במרחק r מהמרכז.

==ראו גם==
* [[כדור (גאומטריה)]]

{{טופולוגיה}}

[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]