הצגת המקור של הדף "כוכב (גאומטריה)"

[[קובץ:Pentagram_1.jpg|שמאל|ממוזער|120px|פנטגרם - כוכב מחומש]]
'''כוכב''', כמושג כללי, אינו מוגדר ב[[גאומטריה]], אך ישנם קווים שבורים סגורים שניתן לראותם כדמויי [[כוכב (סמל)|כוכב]]. רק כוכבים שכל [[צלע (גאומטריה)|צלע]]ותיהם ו[[זווית|זוויותיהם]] שוות (דמויי [[מצולע משוכלל|מצולעים משוכללים]]) מסוג זה נחקרו ביסודיות. הם נקראים '''כוכבים משוכללים.'''

ניתן לשרטט כוכב משוכלל באמצעות חיבור אחד ה[[קודקוד]]ים של מצולע משוכלל אל קודקוד שאינו סמוך לו (חיבור כזה קרוי [[אלכסון]]), והמשכת התהליך עד שחוזרים לקודקוד שבו התחלנו. ב[[מחומש משוכלל]], למשל, ניתן ליצור [[פנטגרם]] (כוכב מחומש) באמצעות חיבור הקודקוד הראשון לקודקוד השלישי, ממנו אל הקודקוד החמישי, ממנו אל הקודקוד השני, ממנו אל הקודקוד הרביעי וממנו אל הקודקוד הראשון. תהליך זה כולל [[איטרציה]] של חיבור [[מודולו]] n, כאשר n הוא מספר ה[[צלע (גאומטריה)|צלעות]] של המצולע, והמספר שאותו מוסיפים, שוב ושוב, k, גדול מ-1 וקטן מ-n-1. סימונו של כוכב כזה הוא {n/k} והוא שקול ל־{n/n-k}. פנטגרם הוא {5/2}.

שיטה דומה היא להאריך צלעות של מצולע (או [[פאון|פוליהדרון]] במרחב), עד שהמשכי הצלעות הלא-סמוכות יפגשו. שיטה זו נקראת [[:en:Stellation|Stellation]].
[[קובץ:Academ Stellated dodecagon.svg|טקסט=דוגמה לסטלציה|ללא|ממוזער|המשך צלעות של מצולע לכדי כוכב]]



'''כוכבים "מנוונים"'''

כאשר ל-n ו-k יש גורם משותף טבעי גדול מ-1, נקבל כוכב (או מצולע) בעל n/g צלעות, כאשר g הוא [[מחלק משותף מקסימלי|המחלק המשותף הגדול ביותר]] של n ו-k. במקרים כאלה אפשר לחזור על התהליך כאשר מתחילים בקודקוד שאינו חלק מהכוכב שקיבלנו.

דוגמאות: 

* הכוכב {4/2} הוא [[צלב]], הנוצר מ-2 [[פוליגון|פוליגונים]] (מנוונים בני 2 צלעות) זרים: בהינתן [[ריבוע]] בעל קודקודים 0, 1, 2, 3, אם נתחיל בקודקוד 0, סדרת המעבר על הקודקודים תהא: (0, 2, 0) (קו). אם נחזור על התהליך מקודקוד 1 נקבל את הסדרה (1, 3, 1). משתי הסדרות נקבל צלב.
* בדומה, הכוכב {6/2}: יהי [[משושה]] משוכלל בעל קודקודים 0..5. סדרות הקודקודים שנקבל הן (0, 2, 4, 0) ו-(1, 3, 5, 1). אילו שני משולשים היוצרים [[הקסגרם|הקסאגרם]] (מגן דוד). הכוכב {6/4} הוא אותו כוכב, כאשר סדר הסדרות הוא הפוך: (0, 4, 2, 0) ו-(1, 5, 3, 1), משום ש-2 הוא המשלים ל-6 של המספר 4.

{{-}}

== דוגמאות ==
{| class="wikitable"
|align=center|[[קובץ:Pentagram green.svg|100px]]<BR>{5/2}
|align=center|[[קובץ:Obtuse heptagram.svg|100px]]<BR>{7/2}
|align=center|[[קובץ:Acute heptagram.svg|100px]]<BR>{7/3}
|align=center|[[קובץ:Octagram.svg|80px]]<BR>{8/3}
|align=center|[[קובץ:Star polygon 9 2.png|100px]]<BR>{9/2}
|align=center|[[קובץ:Star polygon 9 4.png|100px]]<BR>{9/4}
|-
|align=center colspan=6|[[קובץ:Regular_Star_Polygons-en.svg|640px]]
|}

==הֵפְּטָגְרָם==
[[הפטגרם]] או ספטגרם הוא כוכב משובע שמצויר עם קווים ישרים. ישנם שני סוגים של הפטגרם:

הפטגרם חד, כוכב ה־{7/3}.[[קובץ:Acute heptagram.svg|ממוזער|100px|הפטגרם חד {7/3}|ללא]]הפטגרם קהה, כוכב ה־{7/2}.[[קובץ:Obtuse heptagram.svg|ממוזער|100px|הפטגרם קהה {7/2}|ללא]]
== כוכבים איזוטוקסלים ==
ניתן לראות כוכבים משוכללים בעלי n קודקודים כמצולע בעל 2n קודקודים, החוסם [[מעגל]] שרדיוסו r וחסום על ידי מעגל שרדיוסו R. כל קודקוד זוגי נמצא על המעגל החוסם, וכל קודקוד אי-זוגי נמצא על המעגל החסום:
[[קובץ:6 pointed Star.svg|ממוזער|כוכב החוסם מעגל וחסום בתוך מעגל|ללא]]
תהינה 2 סדרות של נקודות E ו-I:

<math display="block">E_i=R(\cos(2\pi \frac{i}{n}), \sin(2\pi \frac{i}{n}))</math><math display="block">I_i =r(\cos(2\pi \frac{i+1/2}{n}), \sin(2\pi \frac{i+1/2}{n}))</math>

עבור i=0...n

נגדיר את הכוכב כקבוצת הקטעים:

<math display="block">i=1...n: \{(I_{i-1}, E_{i} )\} \cup \{(E_{i}, I_{i})\}
</math>

אילו הם הקטעים מהנקודות הפנימיות לחיצוניות, ומהחיצוניות לפנימיות.

=== הבחנות ===

* כוכב משוכלל כמתואר לעיל הוא מקרה פרטי של כוכב איזוטוקסלי, אשר עבורו קטעים בין קודקודים שאינם סמוכים מתלכדים עם צלעות הכוכב.
* ניתן ליצור כוכב איזוטוקסלי ממשולשים שווי שוקיים: (קטע בין נקודות Ii סמוכות, והקטעים המחברים אותן לקודקוד Ei).
* ניתן ליצור כוכב איזוטוקסלי לכל n טבעי גדול או שווה ל-2 קודקודים (כוכב בעל n=2 הוא [[מעוין]] אשר האלכסון הראשי שלו הוא [[קוטר]] המעגל החוסם, והמשני הוא קוטר המעגל החסום).

=== שימושים ===

* צורת [[גלגל שיניים]] היא כוכב איזוטוקסלי.




==ראו גם==
* [[פנטגרם]]
* [[מגן דוד]]
* [[אניאגרם]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{מצולעים ופאונים}}

[[קטגוריה:צורות גאומטריות]]