הצגת המקור של הדף "כלל היסק"

'''כְּלָלֵי [[היסק|הֶסֵּק]]''' (ב[[אנגלית]]: Inference rules, או Rules of inference) הם הכללים הבסיסיים ביותר ב[[לוגיקה]] וב[[מתמטיקה]], הקובעים מתי מותר לעבור מ[[טענה]] אחת לטענה אחרת, כלומר להסיק או [[הוכחה|להוכיח]] אותה.

==כללי ההיסק הנפוצים ביותר==
ב{{ה|לוגיקה של אריסטו}}, כל אחת מצורות ה[[סילוגיזם]] היא כלל היסק, למשל זו המתירה לנו לבצע את ההיסק (הטיעון) הבא:

#כל הברווזים הם עופות.
#כל העופות הם בעלי כנף.
:לכן: כל הברווזים הם בעלי כנף.

כלל ההיסק הנפוץ ביותר ב[[לוגיקה#לוגיקה בת ימינו|לוגיקה המודרנית]] הוא '''[[מודוס פוננס]]''', המאפשר לבצע את ההיסק הבא:
#אם הברווזים עפים אז האגם קפוא.
#הברווזים עפים,
:לכן: האגם קפוא.

ובהצרנה באמצעות [[תחשיב הפסוקים]]:
:<math>\begin{array}{rl}(1)&P\to Q\\(2)&P\\\hline\therefore&Q\end{array}</math>

לעיתים מצוין היסק כזה באמצעות הסימן <math>\vdash</math>, כך:
:<math>\{P\to Q,P\}\vdash Q</math>

כלל היסק נפוץ נוסף הוא [[מודוס טולנס]]:
:<math>\{P\to Q,\neg Q\}\vdash\neg P</math>
וכן מקובל לקבל את ה[[קונטרה פוזיטיב]] ככלל היסק:
:<math>\{P\to Q\}\vdash(\neg Q\to\neg P)</math>

==תחביר וסמנטיקה==
כללי היסק מהווים חלק הכרחי ויסודי מכל [[תורה (לוגיקה מתמטית)|מערכת מתמטית]] המאפשרת הוכחות (מערכת דדוקטיבית), לדוגמה [[תחשיב הפסוקים]] או [[תחשיב הפרדיקטים]]. הפעולה של כלל ההיסק היא תחבירית (סינטקטית) במובהק, ומאפשרת [[תורה אפקטיבית|הכרעה]] אוטומטית (ממוחשבת) לגבי כל טענה, האם כלל ההיסק מאפשר אותה או לא. אמנם, לכללי ההיסק ישנם גם הבטים סמנטיים. דהיינו, במערכות לוגיות מסורתיות, כלל ההיסק משמר אמת: אם ההנחות אמיתיות, גם המסקנה שהוא מאפשר לגזור היא אמיתית.

==כללי היסק מול אקסיומות==
יש להבחין הבחנה חדה בין כללי ההיסק ובין ה[[אקסיומה|אקסיומות]]. אקסיומות הן טענות אמיתיות, המשמשות כבסיס לכל היסק במערכת. ואולם כללי ההיסק אינם חלק מן המערכת: הם כללים אודות המערכת, המאפשרים לנו לייצר היסק תקף או להבחין בין היסק תקף ושאינו תקף. משום כך, אין לראות בסימן <math>\vdash</math> [[קשר לוגי]], ואת הייצוג של הטיעון, <math>\{P\to Q,P\}\vdash Q</math> אין לראות כמשפט מתוך השפה שאנו מתארים, אלא כתיאור של קשר בין שלושה משפטים מתוך השפה. אילו היינו מנסים לתפוס את כלל ההיסק כאקסיומה, היינו נגררים לרגרסיה האינסופית אותה מתאר [[לואיס קרול]] במאמרו הידוע, [[מה שהצב אמר לאכילס]].

==כללי ההיסק במערכת דדוקציה טבעית==
ניתן לבנות ל[[תחשיב הפסוקים]] ול[[תחשיב הפרדיקטים]] מערכות הוכחה, שבהן ניתן להוכיח מכל קבוצת טענות נתונה טענות נוספות שנובעות ממנה. מערכות היסק אלה בנויות מכללים סינטקטיים (תחביריים) טכניים בלבד. המערכת הפשוטה ביותר עבור תחשיב הפסוקים היא "מערכת [[דדוקציה]] טבעית", המכילה עשרה כללי היסק. עבור כל אחד מחמשת ה[[קשר לוגי|קשרים]] היא מכילה כלל הכנסה (Introduction) וכלל הוצאה (Elimination).

דוגמה ל'''כלל הכנסה''' (אינטרודוקציה) להקשר של פסוק התנאי:
:<math>\begin{array}{rl}(1)&P\\(2)&Q\\\hline\therefore&P\to Q\end{array}</math>

דוגמה ל'''כלל הוצאה''' (אלימינציה) להקשר של פסוק ההלחם (הקוניונקציה):
:<math>\begin{array}{rl}(1)&P\and Q\\\hline\therefore&P\end{array}</math>

מערכת זו היא נאותה (כלומר, כל נוסחה שניתנת להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת). גם ל[[תחשיב הפרדיקטים]] ניתן לנסח מערכת דדוקציה טבעית, ובה נוסיף כללי הכנסה והוצאה עבור שני ה[[כמת]]ים.

==ראו גם==
*[[מה שהצב אמר לאכילס]]
*[[מודוס פוננס]]
*[[מודוס טולנס]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=כלל הסק}}
*{{MathWorld}}

{{איגנורטיו אלנכי}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:לוגיקה]]
[[קטגוריה:הוכחה]]