הצגת המקור של הדף "כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל"

'''כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל''' (על שם ה[[מתמטיקאי]] [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]]) הוא כלל שימושי ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] לגזירת ביטויים מהצורה <math>\int\limits_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx</math>. 

==ניסוח הכלל==
תהי <math>f(x,y)</math> פונקציה רציפה במלבן <math>[a,b]\times[\alpha,\beta]</math>, וגזירה ברציפות לפי <math>y</math> (<math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות <math>a(y),b(y)</math> גזירות בקטע <math>[\alpha,\beta]</math>. אזי
:<math display=block>\frac{d}{dy}\int\limits_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx=\int\limits_{a(y)}^{b(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)</math>
'''מקרה פרטי''' ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות <math>a(y),b(y)</math> קבועות, כלומר <math>a(y)\equiv a, b(y)\equiv b</math>. אז נקבל כי
:<math>\frac{d}{dy}\int\limits_a^bf(x,y)dx=\int\limits_a^b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx</math>

==הוכחת הכלל==
===שלב א – הוכחת המקרה הפרטי===
תהי <math>g(x,y)</math> רציפה. נגדיר
:<math>G(y)=\int\limits_a^bg(x,y)dx</math>
ונטען שהיא רציפה. יהי <math>\varepsilon>0</math>.

לפי [[משפט קנטור לרציפות במידה שווה|משפט קנטור]], כיוון ש-<math>g</math> רציפה בתחום [[קבוצה קומפקטית|קומפקטי]] (מלבן) היא [[פונקציה רציפה במידה שווה|רציפה במידה שווה]] שם. מכאן שקיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>d\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)<\delta</math> אז <math>\bigl|g(x_1,y_1)-g(x_2,y_2)\bigr|<\varepsilon</math>.

יהיו <math>y_1,y_2\in[\alpha,\beta]</math> המקיימים <math>|y_1-y_2|<\delta</math>. אבל <math>d\bigl((x,y_1),(x,y_2)\bigr)=|y_1-y_2|<\delta</math> ולכן
:<math display=block>|G(y_1)-G(y_2)|=\left|\int\limits_a^b g(x,y_1)dx-\int\limits_a^bg(x,y_2)dx\right|=\left|\int\limits_a^b\bigl(g(x,y_1)-g(x,y_2)\bigr)dx\right|\le\int\limits_a^b\bigl|g(x,y_1)-g(x,y_2)\bigr|dx<\int\limits_a^b\varepsilon\,dx=\varepsilon(b-a)</math>
מכאן ש-<math>G</math> אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).

בפרט אם נבחר <math>G(y)=\int\limits_a^b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx</math> היא רציפה מההנחה כי <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> רציפה. נסמן <math>F(y)=\int\limits_a^bf(x,y)dx</math>. נבחר <math>\gamma\in[\alpha,\beta]</math> כלשהו. על פי [[משפט פוביני]] ו[[נוסחת ניוטון-לייבניץ]] מתקיים

<math>\int\limits_\alpha^\gamma G(y)dy=\int\limits_\alpha^\gamma\int\limits_a^b\frac{\partial f}{\partial y}f(x,y)dxdy
=\int\limits_a^b\int\limits_\alpha^\gamma\frac{\partial f}{\partial y}f(x,y)dydx
=\int\limits_a^b[f(x,\gamma)-f(x,\alpha)]dx=F(\gamma)-F(\alpha)</math>

מכיוון שהנוסחה נכונה לכל <math>\gamma\in[\alpha,\beta]</math>, נובע מ[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] שהפונקציה <math>F</math> גזירה ומתקיים <math>\frac{d}{dy}F(y)=G(y)</math> לכל <math>y\in[\alpha,\beta]</math>, כנדרש.

===שלב ב – הוכחת המקרה הכללי===
אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה <math>F(y)=\int\limits_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx</math>.

לשם כך נגדיר פונקציה חדשה <math>\phi(s,t,y)=\int\limits_s^tf(x,y)dx</math> ונבחין כי <math>F(y)=\phi(a(y),b(y),y)</math>.

מ[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי]] [[נגזרת חלקית|הנגזרות החלקיות]] של <math>\phi</math> לפי <math>s,t</math> בהתאמה הן
:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t}(s,t,y)=f(t,y),\quad\frac{\partial\phi}{\partial s}(s,t,y)=-f(s,y)</math>
ואלה רציפות מההנחה כי <math>f(x,y)</math> רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של <math>\phi</math> לפי <math>y</math> היא
:<math>\frac{\partial\phi}{\partial y}(s,t,y)=\int\limits_s^t\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx</math>
וזו פונקציה רציפה מההנחה כי <math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של <math>\phi</math> קיימות ורציפות, נסיק שהיא [[פונקציה דיפרנציאבילית|דיפרנציאבילית]]. לכן גם <math>F</math> דיפרנציאבילית, ומ[[כלל השרשרת]] מתקיים
:<math display=block>\begin{align}F'(y)&=\frac{\partial\phi}{\partial s}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+\frac{\partial\phi}{\partial t}(a(y),b(y),y) \cdot b'(y)+\frac{\partial\phi}{\partial y}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int\limits_{a(y)}^{b(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx\end{align}</math>
כנדרש.

==דוגמאות==
===דוגמה 1 – גבולות התלויים במשתנה הגזירה===
נחשב את הנגזרת הבאה (<math>x>0</math>):
:<math display=block>\frac{d}{dx}\int\limits_x^{x^2}\frac{\cos(t)}{t}dt=\frac{\cos(x^2)}{x^2}\cdot\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{\cos(x)}{x}\cdot\frac{d}{dx}(x)=\frac{\cos(x^2)}{x^2}\cdot2x-\frac{\cos(x)}{x}\cdot1=\frac{2\cos(x^2)-\cos(x)}{x}</math>

===דוגמה 2 – שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים ===
נחשב את האינטגרל <math>\int\limits_0^1\frac{x^2-1}{\ln(x)}dx</math>.

לשם כך נסמן <math>f(\alpha)=\int\limits_0^1\frac{x^\alpha-1}{\ln(x)}dx</math> עבור <math>\alpha\ge0</math> והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא <math>f(2)</math>. נגזור ונקבל
:<math display=block>f'(\alpha)=\frac{d}{d\alpha}\int\limits_0^1\frac{x^\alpha-1}{\ln(x)}dx=\int\limits_0^1\frac{1}{\ln(x)}\frac{\partial}{\partial\alpha}(e^{\alpha\ln(x)}-1)dx=\int\limits_0^1\frac{1}{\ln(x)}\ln(x)\cdot e^{\alpha\ln(x)}dx=\int\limits_0^1x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\Bigg|_0^1=\frac{1}{\alpha+1}</math>
מכאן <math>f(\alpha)=\int\frac{1}{\alpha+1}d\alpha=\ln(\alpha+1)+C</math>.

נבחין כי <math>f(0)=\int\limits_0^10\,dx=0</math>. אזי <math>f(0)=\ln(0+1)+C=C=0</math>, כלומר <math>f(\alpha)=\ln(\alpha+1)</math> ולכן <math>\int\limits_0^1\frac{x^2-1}{\ln(x)}dx=\ln(3)</math>.

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld|LeibnizIntegralRule|כלל האינטגרל של לייבניץ}}
*[https://brilliant.org/wiki/differentiate-through-the-integral/ על הכלל] באתר Brilliant
*{{יוטיוב|zbWihK9ibhc|שם=Leibniz integral rule}}

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]
[[קטגוריה:אינטגרלים]]