הצגת המקור של הדף "כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה"

'''כלל לייבניץ''' (מכונה גם '''כלל המכפלה''') הוא כלל העוסק ב[[נגזרת|גזירת]] [[כפל|מכפלות]] של [[פונקציה|פונקציות]] הנקרא על שמו של [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]].

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות:
<math>(f\cdot g)'=f'g+fg' </math> לכל שתי פונקציות <math>f,g</math>, או בסימוני לייבניץ:
:<math>\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}</math> 
מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת ה[[אינטגרציה בחלקים]]:
:<math>\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx</math>

==הוכחה==
ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת: 
:<math>\begin{align}(f\cdot g)'(x)
&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)\bigl[f(x+h)-f(x)\bigr]+f(x)\bigl[g(x+h)-g(x)\bigr]}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\lim_{h\to0}g(x+h)+\lim_{h\to0}f(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=f'\!(x)g(x)+f(x)g'\!(x)\end{align}</math>

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש ב[[כלל השרשרת]] ובתכונות של [[לוגריתם טבעי|הלוגריתם הטבעי]]:{{ש}}
לכל שתי פונקציות חיוביות <math>f,g</math> מתקיים <math>\ln(f\cdot g)=\ln(f)+\ln(g)</math>.{{ש}}
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:
:<math>\frac{(f\cdot g)'}{fg}=\frac{f'}{f}+\frac{g'}{g}</math>

==הכללות==
===גזירה חוזרת===
לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-<math>n</math>-ית:
:<math>(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k\,=\,0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}</math> 
כאשר <math>\binom{n}{k}</math> הוא [[מקדם בינומי|המקדם הבינומי]]. הביטוי דומה מאוד ל{{ה|בינום של ניוטון}}:
:<math>(a+b)^n=\sum_{k\,=\,0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}</math>
הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]], ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

===מכפלה של כמה פונקציות===
ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:
:<math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math>
:<math>(uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'</math>
באופן כללי, אם הפונקציה היא <math>f(x)=\prod_{i\,=\,1}^nf_i(x)</math> הנגזרת היא:
:<math>f'=\sum_{i\,=\,1}^nf_i'\prod_{k\,=\,1\atop k\,\ne\,i}^nf_k</math>
אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-<math>0</math>, אפשר לכתוב זאת גם כך:
:<math>\frac{(f_1\cdots f_n)'}{f_1\cdots f_n}=\frac{f_1'}{f_1}+\cdots+\frac{f_n'}{f_n}</math>

==ראו גם==
*[[נגזרת]]
*[[אינטגרציה בחלקים]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
*{{MathWorld}}
*{{בריטניקה}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה|לייבניץ]]