הצגת המקור של הדף "כמות צירית"

ב[[סטטיסטיקה]], '''כמות צירית''' (באנגלית, '''pivot''') היא [[פונקציה]] של התצפיות ושל הפרמטרים, אשר [[התפלגות]]ה אינה תלויה בפרמטרים הבלתי ידועים.

לעיתים נוטים להתבלבל בין כמות צירית לבין [[סטטיסטי]]. כמות צירית מובחנת מסטטיסטי בכך שסטטיסטי הוא פונקציה של התצפיות בלבד, ואילו כמות צירית היא פונקציה העשויה להיות תלויה בנוסף גם בפרמטרים של המודל, אולם התפלגותה אינה תלויה באותם פרמטרים.

== הגדרה ==
יהי <math>X = (X_1, X_2, \dots, X_n) </math> מדגם אקראי מהתפלגות שתלויה בפרמטר (או וקטור של פרמטרים) <math>\theta</math>. אם <math>g(X, \theta)</math> הוא [[משתנה מקרי]] אשר התפלגותו זהה לכל <math>\theta</math>, ואיננה תלויה בו, אזי <math>g</math> נקרא כמות צירית.

כמויות ציריות הן הכרחיות בבנייה של [[סטטיסטי מבחן]], מאחר שהן מאפשרות לסטטיסטי להיות בלתי תלוי בפרמטר. בנוסף, כמויות ציריות הן כלי לבנייה של [[רווח בר-סמך|רווחי סמך]].

== דוגמאות ==
=== התפלגות נורמלית עם סטיית תקן ידועה ===
יהיו <math>y_1, y_2, \dots, y_n \sim N(\mu,\sigma^2)</math> [[אי תלות (סטטיסטיקה)|משתנים מקריים בלתי תלויים]] המתפלגים [[התפלגות נורמלית|נורמלית]], כאשר הפרמטר <math>\sigma</math> ידוע. מתוקף היותם מתפלגים נורמלית אנו יודעים שמתקיים:
<math>\bar Y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_i} \sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)</math>{{ש}}
לכן, ניתן להחסיר <math>\mu</math> ולקבל: <math>\bar Y - \mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)</math>. נמשיך ונחלק ב- <math>\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}</math> ונקבל <math>\frac{\bar Y - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)</math> {{ש}}
קיבלנו ביטוי שהוא פונקציה של התצפיות (<math>\bar Y, n</math>) ושל הפרמטרים (<math>\mu,\sigma</math>), אולם ההתפלגות שלו היא ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 0 וסטיית [[תקן]] 1. בפרט, מדובר בכמות צירית, שכן ההתפלגות של אותו הביטוי איננה תלויה בפרמטרים <math>\mu,\sigma</math>.

=== התפלגות נורמלית עם סטיית תקן לא ידועה ===
יהיו <math>y_1, y_2, ..., y_n \sim N(\mu,\sigma^2)</math> משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים [[התפלגות נורמלית|נורמלית]], כאשר הפרמטר <math>\sigma</math> אינו ידוע. {{ש}}
נשתמש ב[[אמידה|אומד חסר הטיה]] לשונות. אנחנו יודעים ש: <math>S^2 = \frac{\sum (y_i - \bar Y)^2}{n-1} \sim \chi _{n-1}^2 \frac{\sigma^2}{n-1}</math>.{{ש}}{{ש}}
נחלק ב- <math>\sigma^2</math> ונקבל <math>\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \frac{\chi _{n-1}^2}{n-1}</math>. כעת, נשתמש בעובדה ש: <math>\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi _{n-1}^2 / (n-1)}} \sim t_{n-1}</math> ונקבל:{{ש}}{{ש}}
<math>\frac{(\bar Y-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})}{\sqrt{S^2/\sigma^2}} = \frac{\sqrt{n}(\bar Y-\mu)}{S} \sim t_{n-1}</math> . זוהי פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים אשר מתפלגת ב[[התפלגות t]], ואיננה תלויה בפרמטרים (<math>\mu,\sigma</math>), ולכן היא כמות צירית.

=== התפלגות מעריכית ===
יהיו <math>y_1, y_2, ..., y_n \sim exp(\theta)</math> משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים [[התפלגות מעריכית|מעריכית]].
נשים לב לקשר: <math>x_i \sim exp(\theta) = \frac{1}{2\theta}\chi _2^2 = \Gamma(1,\theta)</math>.{{ש}}
לפיכך מתקבל גם כי: <math>\sum_{i=1}^n{y_i} = \frac{1}{2\theta}\chi _{2n}^2 = \Gamma(n,\theta)</math>. נכפול ב-<math>2\theta</math> ונקבל: <math>2\theta\sum_{i=1}^n{y_i} = \chi _{2n}^2</math>.{{ש}}
קיבלנו ש: <math>2\theta\sum_{i=1}^n{y_i}</math> היא כמות צירית, מאחר שההתפלגות שלה איננה תלויה בפרמטר <math>\theta</math>.

[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]
[[קטגוריה:התפלגויות]]