הצגת המקור של הדף "לאונרד אוילר"

{{מדען
|שם=לאונרד אוילר
|שם בשפת המקור=Leonhard Euler
|תאריך לידה=[[15 באפריל]] [[1707]]
|תאריך פטירה=[[18 בספטמבר]] [[1783]]
|תמונה=[[קובץ:Leonhard Euler 2.jpg|180px]]
|כיתוב=
|ענף מדעי=[[מתמטיקה]]
|הערות=נחשב לאחד המתמטיקאים הבולטים ביותר בכל הזמנים
|מדינה=[[שווייץ]], [[גרמניה]], [[רוסיה]]
}}
'''לאונרד אוֹילֶר''' (ב[[גרמנית]]: {{שמע|קובץ=De-Leonard_Euler.ogg|תיאור='''Leonhard Euler'''}}{{כ}}; [[15 באפריל]] [[1707]] – [[18 בספטמבר]] [[1783]]) היה [[מתמטיקאי]] ו[[פיזיקאי]] [[שווייצרי]]{{הערה|שם=usna|{{קישור כללי|כתובת=https://www.usna.edu/Users/math/meh/euler.html|כותרת=Leonhard Euler|אתר=[[האקדמיה הימית של ארצות הברית]]|שפה=אנגלית|תאריך_וידוא=23 ביולי 2017}}.}}, שבילה את רוב חייו ב[[רוסיה]] וב[[גרמניה]]. אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים ב[[מתמטיקה]]. הוא גם הגה רבים מהמינוחים ומ[[סימון מתמטי|סימני המתמטיקה]] המודרניים. כמו כן, הוא ידוע בזכות עבודותיו ב[[מכניקה]], ב[[אופטיקה]] וב[[אסטרונומיה]].

אוילר נחשב למתמטיקאי המוביל של [[המאה ה-18]] ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו, ונחשב למתמטיקאי הפורה ביותר בהיסטוריה. ישנם מאות מושגים במתמטיקה הנקראים על שמו. אמרה המיוחסת ל[[פייר-סימון לפלס]] באה לתאר את גדולתו והשפעתו של אוילר במתמטיקה: "למדו מאוילר, למדו מאוילר, הוא המאסטר של כולנו".

עבודתו של אוילר נגעה בתחומים רבים כל כך, שבמקרים רבים עבודתו היא החומר הכתוב הראשון שנמצא בנושא מסוים והוא אחראי להוכחות הראשונות בנושא זה, ולכן מתוך רצון להימנע מכך שכמעט כל דבר ייקרא על שמו של אוילר, חלק מתגליותיו וממצאיו משויכים לאדם הראשון בהיסטוריה שעסק או הוכיח בהם משהו לאחר מותו של אוילר.

== ביוגרפיה ==
[[קובץ:Euler-10 Swiss Franc banknote (front).jpg|ממוזער|שמאל|250px|שטר שווייצרי של 10 פרנקים לכבוד אוילר, המתמטיקאי השווייצרי החשוב ביותר בהיסטוריה]]
לאונרד אוילר נולד ב[[בזל]] לפאול אוילר, [[כומר]] של [[הכנסייה המתוקנת]], ולמרגרט ברוקר, שהייתה אף היא בת למשפחת [[כומר|כמרים]]. לאוילר היו שתי אחיות צעירות ממנו בשם אנה מריה ומריה מגדלנה. זמן קצר לאחר הולדתו היגרה משפחת אוילר מבזל לעיר [[רייהן]], בה בילה אוילר את רוב ילדותו. פאול אוילר היה חבר של [[משפחת ברנולי]] ושל [[יוהאן ברנולי]], שנחשב אז לאחד המתמטיקאים החשובים באירופה, ואשר השפיע רבות על אוילר הצעיר. את חינוכו המוקדם רכש אוילר בבזל, שם נשלח לגור עם סבתו. בגיל 13 נרשם ללימודי [[פילוסופיה]] ב[[אוניברסיטת בזל]], וב-[[1723]], והוא בן 16 בלבד, הוענק לו תואר שני בפילוסופיה, על תזה שהשוותה בין הפילוסופיה של [[דקארט]] לזו של [[אייזק ניוטון]]. באותה התקופה הוא קיבל שיעורי אחר-הצוהריים ב[[מתמטיקה]] מיוהאן ברנולי, שעמד במהרה על כישרונו המתמטי יוצא הדופן של תלמידו החדש.

בהשפעת אביו, למד אוילר בתקופה זו [[תאולוגיה]], [[יוונית]] ו[[עברית]], במטרה ללכת בדרכיו ולהיות כומר. לאחר שיוהאן ברנולי שכנע את פאול אוילר כי לאונרד נועד להיות מתמטיקאי דגול, התיר האב לבנו ללמוד מתמטיקה. ב-[[1726]] השלים אוילר את עבודת ה[[דוקטורט]] שלו על [[מהירות הקול]], שכותרתה הייתה "De Sono". ב-[[1727]] הוא נרשם לתחרות של [[האקדמיה הצרפתית למדעים]], שעסקה באותה השנה במציאת המיקום האופטימלי של ה[[תורן (ימאות)|תרנים]] ב[[אוניה]]. הוא זכה במקום השני, והפסיד רק ל[[פייר בוגה]], המוכר כיום כ"אבי ה[[אדריכלות]] הימית". במהלך הקריירה שלו עתיד היה אוילר לזכות בפרס [[האקדמיה הצרפתית]] 12 פעמים.

=== סנקט פטרבורג ===
באותה תקופה שני בניו של יוהאן ברנולי, [[דניאל ברנולי]] ו[[ניקולס ברנולי]], עבדו באקדמיה למדעים של האימפריה הרוסית, ב[[סנקט פטרבורג]]. ב-1726, נפטר ניקולס מ[[דלקת התוספתן]] אחרי שעברה עליו שנה ב[[רוסיה]] וכאשר דניאל קיבל על עצמו את משרת אחיו בחלוקה של מתמטיקה/פיזיקה, הוא המליץ שאת המשרה שפינה ב[[פיזיולוגיה]] יתפוס חברו אוילר. בנובמבר 1726, אוילר קיבל בלהיטות את ההצעה, אבל דחה את ההגעה לסנקט פטרבורג. עוד בזמן שהותו בבזל הוא ניסה, ללא הצלחה, להתמחות כפרופסור לפיזיקה באוניברסיטת בזל.
[[קובץ:Euler-USSR-1957-stamp.jpg|ממוזער|300px|בול [[ברית המועצות|סובייטי]] משנת 1957 לרגל יום הולדתו ה-250 של לאונרד אוילר, המתמטיקאי הדגול]]
אוילר הגיע לבירת רוסיה ב-[[17 במאי]] [[1727]], שם הוא קודם ממשרתו הקודמת במחלקת הרפואה של האקדמיה למחלקת המתמטיקה. הוא התגורר באותה דירה יחד עם דניאל ברנולי ושיתף איתו פעולה בעבודתו. אוילר למד היטב את השפה הרוסית והחליט להתיישב בסנקט פטרבורג. הוא גם לקח על עצמו עבודה נוספת כקצין רפואה בצי הרוסי.

[[האקדמיה בסנקט פטרבורג]], שיוסדה על ידי [[פיוטר הגדול]], יועדה לשפר את החינוך ברוסיה ולאחות את הנתק המדעי בין רוסיה ל[[אירופה המערבית]]. כתוצאה מכך, הפכה האקדמיה מושכת במיוחד עבור מלומדים זרים כגון אוילר: האקדמיה שלטה במשאבים פיננסיים שופעים וכללה ספרייה מקיפה שנלקחה מן הספריות הפרטיות של פטר עצמו ושל האצולה. תלמידים מעטים נרשמו לאקדמיה, כך שעומס ההוראה הופחת והאקדמיה העניקה לחברי הסגל הן את הזמן והן את החופש לשקוד על מחקר מדעי.

התורמת של האקדמיה, [[יקתרינה הראשונה]], שהתאמצה להמשיך את מדיניות בעלה המנוח פטר, נפטרה ביום הגעתו של אוילר. האצולה הרוסית שאבה כוח רב מעלייתו של [[פיוטר השני]] בן ה-12. האצולה הייתה חשדנית מאוד כלפי המדענים הזרים שהגיעו לרוסיה ולכן החליטה להפסיק את המימון ובכך גרמה נזק רב לאוילר ועמיתיו.

התנאים השתפרו במקצת לאחר מותו של פיוטר השני ב-[[1730]] ואוילר התקדם במהירות רבה במעלה הדרגות האקדמיות והפך לפרופסור לפיזיקה ב-[[1731]]. שנתיים מאוחר יותר, דניאל ברנולי, שנפגע קשות מן הביקורת ומן העוינות שהפנו כלפיו עמיתיו בסנקט פטרבורג, שב לבזל ואוילר החליף אותו בהצלחה כראש המחלקה למתמטיקה.

ב-[[7 בינואר]] [[1734]], נישא אוילר לקתרינה גיסל, בת של אומן מן האקדמיה גימנזיום. הזוג הצעיר קנה בית ליד נהר [[נייבה]]. מבין 13 הצאצאים שהביאו לעולם שרדו רק 5.

=== ברלין ===
מודאג מהמהפכה המתמשכת ברוסיה, התלבט אוילר לגבי המשך שהייתו בסנקט פטרבורג. לבסוף הציע לו [[פרידריך הגדול]] מ[[פרוסיה]] משרה באקדמיה של [[ברלין]], אותה החליט לקבל. הוא עזב את סנקט פטרבורג ב-[[19 ביוני]] [[1741]] וחי את 25 השנים הבאות בברלין, בה כתב למעלה מ-380 מאמרים. בברלין הוא פרסם את שתי היצירות אשר הביאו לו את הפרסום הרב מכול: "'''Introductio in analysin infinitorum'''" ([[מבוא לניתוח האינסוף]]), חיבור קלאסי וחשוב על [[פונקציה|פונקציות]] ועל [[טריגונומטריה]] גבוהה שפורסם ב-[[1748]] והניח את יסודות ה[[אנליזה מתמטית|אנליזה המתמטית]] ו-"'''institutiones calculi differentialis'''", חיבור ב[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי]], בו פיתח את מושג הפונקציה במתמטיקה אנליטית על ידי כך שהמשתנים היו מקושרים אחד לשני, וקידם את השימוש של [[אינפיניטסימל|כמויות זעירות]] ואינסופיות.

בנוסף, התבקש אוילר להדריך את הנסיכה של אנהלט-דסאו, אחייניתו של פרידריך. הוא כתב למעלה מ-200 מכתבים אליה, אשר מאוחר יותר קובצו לכרך [[רב-מכר]] שכותרתו "'''מכתבים של אוילר לגבי נושאים שונים בפילוסופית הטבע שנשלחו לנסיכת גרמניה'''", או בקיצור, "'''מכתבים לנסיכת גרמניה'''". הכרך ביטא את השקפותיו של אוילר על תחומים שונים בפיזיקה ובמתמטיקה, והעניק הזדמנות נדירה לצפות באישיותו ובאמונותיו הדתיות. כרך זה זכה לפופולריות רבה יותר מאשר כל אחת מעבודותיו במתמטיקה, ופורסם בכל [[אירופה]] וכן ב[[ארצות הברית]]. הצלחת המכתבים העידה על יכולתו של אוילר להציג נושאים מדעיים בצורה נהירה לציבור הרחב, יכולת נדירה יחסית לחוקר מדעי מסור.

על אף תרומתו העצומה של אוילר ליוקרתה של האקדמיה, הוא נאלץ לעזוב את ברלין, בעיקר בגלל עימות אישי עם פרידריך. פרידריך החשיב את אוילר לחסר תחכום בהשוואה לפילוסופים שהמלוכה הגרמנית הביאה לאקדמיה. [[וולטר]] הועסק אף הוא על ידי המלך, ונהנה ממקום מועדף במעגל החברתי של המלך. אוילר, איש דתי פשוט ועובד מסור, היה שגרתי מאוד באמונותיו, בדעותיו ובטעמיו. במובנים רבים הוא היה ההפך מוולטר. לאוילר היה ניסיון מוגבל בלבד ב[[רטוריקה]], והוא נטה לדון בדברים עליהם ידע מעט, וכך הפך את עצמו תדיר למטרה ישירה ל[[שנינות]]ו של וולטר. פרידריך התאכזב גם מיכולתו ה[[הנדסה|הנדסית]] של אוילר, וכאשר ביקש ממנו לבצע חישוב הנדרש לבניית מזרקה בגני המלך, שגה אוילר בחישוביו והבנייה נכשלה בצורה מחפירה.

=== בעיות ראייה ===
[[קובץ:Leonhard Euler.jpg|ימין|ממוזער|150px|דיוקן של אוילר משנת 1753. בדיוקן ניתן לראות את עינו הימנית הפגומה של אוילר.]]
[[ראייה|ראייתו]] של אוילר הידרדרה במהלך חייו. שלוש שנים לאחר שסבל מ[[חום (תסמין)|קדחת]] כמעט קטלנית ב-[[1735]], הוא כמעט והתעוור בעינו הימנית. הוא תלה את הסיבה לכך בתנאים הקשים בהם עבד בסנקט פטרבורג במחקר ב[[קרטוגרפיה]]. ראייתו של אוילר בעין ימין הידרדרה כל כך במהלך שהותו ב[[גרמניה]], עד שפרידריך התייחס אליו כאל "[[קיקלופ]]". ב-[[1766]] החל אוילר לסבול מ[[קטרקט]] בעינו השמאלית, שהותיר אותו [[עיוורון|עיוור]] לגמרי תוך שבועות ספורים. ברם, ראייתו המשובשת לא פגמה ביכולת היצירה שלו, וב-17 שנותיו האחרונות הוא יצר כמעט מחצית מעבודתו, הישג נדיר גם בקרב פיקחים. הוא פיצה על עוורונו ביכולת חישובית יוצאת דופן ובזיכרון מצוין. לדוגמה, הוא היה מסוגל לדקלם בעל פה את ה[[אינאיס]] של [[ורגיליוס]] מבלי לטעות, ומאוחר יותר גם היה יכול לצטט מזכרונו את המשפט הראשון והאחרון בכל עמוד מעמודי יצירה זו. עד ראייה שהתבונן בו עובד פעם העיד: "'''אוילר עורך חישובים מסובכים ללא כל מאמץ ניכר, ממש כשם שאנשים אחרים נושמים או כשם שנשרים נושאים עצמם באוויר'''".

=== בחזרה לרוסיה ===
[[קובץ:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|ממוזער|שמאל|קברו של אוילר]]
המצב ברוסיה השתפר משמעותית לאחר ש[[קתרינה הגדולה]] עלתה לשלטון. ב-[[1766]] נענה אוילר להצעתה, וחזר לאקדמיה של סנקט פטרבורג, בה התגורר למשך שארית חייו. על שהותו השנייה בסנקט פטרבורג העיבה טרגדיה; שרפה שפרצה ב-[[1771]] בעיר החריבה את ביתו וכמעט שגרמה למותו. ב-[[1773]] הוא איבד את אשתו, לה היה נשוי 40 שנה. אוילר הושפע קשות משתי הטרגדיות, אולם נישא מחדש שלוש שנים מאוחר יותר.

בשנותיו האחרונות הוא נעזר בחברו [[אנדרס יוהאן לקסל]] בכתיבה. ב-[[18 בספטמבר]] [[1783]] במהלך שיחה עם לקסל הוא הספיק להגיד "אני עומד למות" ונפטר מ[[שבץ מוחי]]. הוא נקבר ב[[בית העלמין טיחבין]]. ה[[פילוסוף]] והמתמטיקאי ה[[צרפתי]], [[המרקיז דה קונדורסה]], אמר עליו:

"'''il cessa de calculer et de vivre... - ... הוא הפסיק לחשב ולחיות'''"

{{-}}

== פועלו של אוילר ==
עבודתו של אוילר הקיפה כמעט כל תחום אפשרי במתמטיקה: [[גאומטריה]], [[אנליזה מתמטית]], [[תורת הגרפים]], [[אלגברה]], [[תורת המספרים]] ועוד. תרומותיו ב[[פיזיקה]] עוסקות בתנועת [[הירח]] ובתחומים נוספים. לפוריותו של אוילר אין שני בתולדות המתמטיקה; רק [[פאול ארדש]], המתמטיקאי בן [[המאה ה-20]], הגיע לתפוקה קרובה.

=== סימונים ===
אוילר המציא סימנים מתמטיים שהפכו לנחלת הכלל. עמם נמנים:
[[מספר מרוכב|<math> \ i</math> - היחידה המדומה]], [[E (קבוע מתמטי)|<math> \ e</math> - בסיס הלוגריתם הטבעי]], אשר אוילר הוכיח שהוא [[מספר אי-רציונלי]] (למעשה אוילר הוכיח שגם <math>\ e^2 </math> אי-רציונלי), <math> \ f(x)</math> כצורת סימון ל[[פונקציה]] של ה[[משתנה]] x (במקום לרשום את הפונקציה בצורה ישירה), הסימן [[פאי|<math>\ \pi</math>]] כיחס בין היקף ה[[מעגל]] ל[[קוטר]]ו{{הערה|לראשונה השתמש בסימון זה המתמטיקאי הוולשי [[ויליאם ג'ונס (מתמטיקאי)|ויליאם ג'ונס]] בחיבורו "תצפית הישגי המתמטיקה" ("Synopsis Palmariorum Matheseos" או "a New Introduction to the Mathematics", אך השימוש לא השתרש עד אוילר) שכתב בשנת 1706.}}, [[סיגמא|<math>\Sigma</math>]] כ[[סכום]],קבוע אומגה, '''Ω-[[קבוע אומגה|הפתרון למשוואה Ω•e^Ω=1]],''' הסימונים המודרניים ל[[פונקציה טריגונומטרית|פונקציות הטריגונומטריות]], ועוד. הוא גם הגדיר את הקבוע המסומן באות [[גמא]] <math>\,\gamma</math> הקרוי [[קבוע אוילר]].

===אנליזה===
פיתוח ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] וה[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] היה משאת נפשם של מתמטיקאים בני [[המאה ה-18]]. בתחום זה אולי השפיע אוילר יותר מכול, ורעיונותיו הובילו להתקדמויות אדירות. אוילר הביא לעולם את רעיון ההצגה של [[טור חזקות]] אינסופי ופיתוחו, כמו התגלית:
<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right) </math>.

ב-[[1735]] פתר אוילר את [[בעיית בזל]] והוכיח ש-
: <math>\zeta(2) \ = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>.

[[קובץ:Euler's formula.svg|ממוזער|180px|הצגה גאומטרית של [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)]]]]
פתרון בעיית בזל זיכה את אוילר בתהילה אדירה, מאחר שבעיה זו ניצבה ללא פתרון במשך זמן רב, חרף ניסיונותיהם של המתמטיקאים הדגולים שקדמו לאוילר, בהם בני [[משפחת ברנולי]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]]. במסגרת מחקרו על [[פונקציית זטא של רימן|פונקציית זטא]] הכליל אוילר את הבעיה והצליח, בהישג נדיר של האנליזה המתמטית של המאה ה-18, למצוא ביטוי המתאר את הערכים של פונקציית זטא לכל [[מספר טבעי]] זוגי <math>\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \!</math>. בהמשך חייו אוילר חקר רבות את פונקציית זטא, וכשניסה ללא הצלחה למצוא צורות מתמטיות סגורות לערכים המדויקים של <math>\zeta(2n + 1)</math>, הוא הגדיר פונקציות הנקראות כיום פונקציות זטא מכופלות (multiple zeta functions), וגילה מספר זהויות יפות הקושרות אותן לפונקציית זטא, למשל: <math>\zeta(2,1) = \zeta(3)</math>.

אוילר גם שיער, במה שמהווה הישג אנליטי מזהיר נוסף שלו, את ה[[משוואה פונקציונלית|משוואה הפונקציונלית]] שמקיימת פונקציית זטא:
<math>\zeta (1 - s) = 2 (2\pi)^{-s} cos (\frac {{\pi s}}{{2}})\Gamma (s) \zeta (s)</math>. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר <math>\ Re(s)=1/2</math>, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו. קשר זה הוכח לראשונה על ידי [[ברנהרד רימן]] ב[[על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון|מאמרו המכונן על תורת המספרים האנליטית]].

אוילר נחשב לאחד מאבות תורת הסומביליות בזכות גישתו החדשנית שניתן לתת ערך מספרי (סופי) בר-משמעות ל[[התכנסות (מתמטיקה)|טור מתבדר]]. למשל, באמצעות מניפולציות אנליטיות מבריקות, הוא הראה במאמר מ-1760 ש-:<math> 0!-1!+2!-3!+4!-\cdots+(-1)^k k! +\cdots \approx 0.596347 </math>. אוילר כינה את טור העצרת המתחלף הזה "טור מתבדר פר אקסלנס", והטכניקות שאפשרו לו לסכום את הטור הזה קרובות מבחינה רעיונית ל[[סיכום בורל]] שפיתח [[אמיל בורל]] ב-1899.

אוילר הציג ופיתח את השימוש של [[פונקציה מעריכית]] ושל [[לוגריתם|לוגריתמים]] בהוכחות אנליטיות. הוא גילה דרכים לתאר מגוון פונקציות לוגריתמיות כטורים אינסופיים, ובאחת מעבודותיו החשובות הצליח לשלב בין לוגריתמים לבין תורת ה[[מספרים מרוכבים|מספרים המרוכבים]]. הוא הגדיר את הפונקציה המעריכית עבור מספרים מרוכבים, וגילה את הקשר בינה לבין [[פונקציות טריגונומטריות]], המובא בנוסחה הבאה: לכל מספר ממשי <math>\ \theta</math>, [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] קובעת כי: <math>\!\, e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}</math>.

[[מקרה פרטי]] של נוסחה זו נקרא [[זהות אוילר]], הקושרת חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים מעולמות שונים: <math>\!\, e^{i \pi} + 1 = 0</math>. לזהות זו קרא לימים הפיזיקאי [[ריצ'רד פיינמן]] "'''הזהות הפלאית ביותר במתמטיקה'''".

אוילר קידם את התורה של [[פונקציה טרנסצנדנטית|פונקציות טרנסצנדנטיות]] גבוהות על ידי ההצגה של [[פונקציית בטא]] ושל [[פונקציית גמא]], המהווה הרחבה של פונקציית ה[[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]] אל [[שדה המספרים המרוכבים]]. הוא גם מצא שיטה חדשה לפתרון [[משוואה ממעלה רביעית|משוואות ממעלה רביעית]]. הוא מצא שיטה לחשב [[אינטגרל]] עם גבולות מרוכבים, ובכך הביא את בשורת ה[[אנליזה מרוכבת|אנליזה המרוכבת]]. הוא פיתח את [[חשבון וריאציות|חשבון הווריאציות]] יחד עם [[ז'וזף לואי לגראנז']]. התוצאה המפורסמת הנובעת משיתוף פעולה זו ידועה כ[[משוואות אוילר-לגראנז']].

אוילר הוביל את השימוש בשיטות אנליטיות כדי לפתור בעיות ב[[תורת המספרים]]. בעשותו זאת הניח את היסודות של [[תורת המספרים האנליטית]]. בתחום זה, אוילר יצר את התורה של [[טור היפרגאומטרי|טורים היפרגאומטריים]], [[סדרת q]], [[פונקציות היפרבוליות]] ו[[שבר משולב|שברים משולבים]]. לדוגמה, הוא תרם תרומה מכרעת לפתרון [[משוואת פל]] באמצעות שברים משולבים, הוכיח באופן מקורי באמצעות [[הסדרה ההרמונית|הטור ההרמוני]] כי [[קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים|קיימים אינסוף מספרים ראשוניים]], ואף השתמש בשיטות אנליטיות כדי להגיע להבנה מסוימת של [[התפלגות]] המספרים הראשוניים. עבודתו של אוילר בתחום זה הובילה ל[[משפט המספרים הראשוניים]].

=== תורת המספרים ===
אוילר החל להתעניין ב[[תורת המספרים]] בהשפעת חברו, [[כריסטיאן גולדבך]]. חלק נכבד מעבודתו המוקדמת של אוילר מבוסס על עבודתו של [[פייר דה פרמה]]. מאז פרמה ועד הופעתו של אוילר לא קם מתמטיקאי מוכשר דיו כדי להוכיח את השערותיו הבלתי מוכחות של הראשון, ושיכול היה לפרוץ דרך בהבנת הרעיונות שמאחורי המשפטים בתורת המספרים. אוילר הוכיח רבות מהשערותיו של פרמה, פיתח את רעיונותיו (הסמויים), גילה תוצאות רבות חדשות והוסיף השערות משלו. מכלול העבודות שלו העשירו רבות את התחום, והוא היה הדמות המרכזית בהתפתחות תורת המספרים במאה ה-18.

אוילר הוכיח את [[זהויות ניוטון]], את [[המשפט הקטן של פרמה]] ואת [[משפט פרמה על סכום של שני ריבועים]], ותרם תרומה מכרעת להוכחת [[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז']]. הוא המציא את [[פונקציית אוילר]] (φ(n, שהיא מספר המספרים הטבעיים הקטנים או שווים ל-n ש[[מספרים זרים|זרים]] לו. באמצעות תכונות הפונקציה הזו הוא הכליל את המשפט הקטן של פרמה למה שכעת ידוע בתור [[משפט אוילר]]. הוא תרם משמעותית לתאוריה של [[מספרים מושלמים]], אשר ריתקו מתמטיקאים עוד מאז ימי [[אוקלידס]]. הוא סיפק הוכחה ראשונה למקרה n = 3 של ה[[המשפט האחרון של פרמה|משפט הגדול של פרמה]]. ב-[[1783]], שנת מותו, הוא שיער את [[משפט ההדדיות הריבועית]], משפט מפתח בנוגע לשאריות ריבועיות, המאפשר לקבוע את פתירותה או אי פתירותה של כל [[משוואה ריבועית]] ב[[חשבון מודולרי]].

אוילר נעזר בשיקולים אנליטיים עמוקים כדי להשיג הבנה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בקרב המספרים הטבעיים, ובכך הוא חזה את [[תורת המספרים האנליטית]]. הוא הוכיח את [[טור ההופכיים של המספרים הראשוניים|התבדרות סכום הערכים ההופכיים של המספרים הראשוניים]]. בעשותו כך, הוא חשף את הקשר העמוק בין [[פונקציית זטא של רימן]] והמספרים הראשוניים. קשר זה ידוע בתור [[מכפלת אוילר]] לפונקציית זטא של רימן.

באמצעות מניפולציות על [[פונקציה יוצרת|פונקציות יוצרות]], שיטה חדשנית לזמנו, הגיע לתוצאות רבות על [[פונקציית החלוקה (תורת המספרים)|חלוקות של מספרים]]. בין השאר הוכיח את [[משפט החלוקה של אוילר]] ואת [[משפט המספרים המחומשים]].

בשנת [[1772]] הוכיח אוילר כי המספר [[2,147,483,647]] הוא [[מספר מרסן]] ראשוני. מספר זה נשאר המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר עד שנת [[1876]].

=== תורת הגרפים ===
[[קובץ:Konigsberg bridges.png|מסגרת|שמאל|מפה של [[קניגסברג]] בזמנו של אוילר מציגה את מיקומם האמיתי של שבעת הגשרים ונהר פרגל]]
ב-[[1735]] פתר אוילר בעיה הידועה כבעיית '''[[הגשרים של קניגסברג]]'''. פתרונו זה של אוילר הניח את היסודות ל[[תורת הגרפים]], והיה המשפט הראשון שנוסח בתחום זה. העיר [[קניגסברג]] שב[[פרוסיה]] משתרעת על שני עברי נהר ה[[פרגוליה]], ובה שני איים גדולים המחוברים אחד לשני וליבשה המרכזית באמצעות חמישה גשרים, שני גשרים נוספים עברו מעל שתי שלוחות של הנהר. הבעיה הייתה לקבוע האם אדם יכול להתחיל ללכת מנקודה כלשהי בעיר ולעבור על כל גשר בדיוק פעם אחת. לצורך פתרון הבעיה אוילר חקר את תכונותיו של גרף שקיים בו מסלול כזה (אשר לימים נודע כ[[מסלול אוילר]]) והוכיח שמסלול כזה קיים [[אם ורק אם]] הגרף לא מכיל אף צומת מ[[דרגה (תורת הגרפים)|דרגה]] אי זוגית, או שהוא מכיל שני צמתים כאלה בדיוק. אם נתייחס לכל אחד מארבעת גושי היבשה בעיר כצומת ולכל גשר כקשת בין שני צמתים ניתן לראות בנקל שכל הצמתים הם מדרגה אי-זוגית ועל כן מסלול כזה לא קיים. תוצאה זו פתחה פתח לתחום מחקר בשם תורת הגרפים אשר נותר פורה עד היום.

בהקשר זה יש לציין את פתרונו של אוילר ל[[חידת מסע הפרש]]; החידה מהווה מקרה פרטי של בעיה חשובה בתורת הגרפים - מציאת [[מסלול המילטוני]] בגרף.

אוילר גם גילה את [[נוסחת אוילר (תורת הגרפים)|הנוסחה V − E + F = 2]], שמקשרת בין מספר הקודקודים, הצלעות, והפאות של [[פאון]] [[קמור]], ולחלופין של [[גרף מישורי]]. הקבוע בנוסחה זו ידוע כעת כמאפיין אוילר של הגרף (או של [[אובייקט מתמטי]] אחר), והוא קשור ל[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] של האובייקט. יתרה מכך, אוילר נעזר בנוסחה הזו כדי להוכיח מחדש את התוצאה העתיקה שישנם רק 5 [[גופים אפלטוניים|פאונים אפלטוניים]], ובכך הדגים הוכחה מנקודת מבט שונה לחלוטין מאילו שנראו עד אז. המחקר המתמטי שנערך במאה ה-19 על הנוסחה הזו, במיוחד על ידי [[אוגוסטן לואי קושי|קושי]] ואחרים, הוא מקורו של ענף המתמטיקה הקרוי [[טופולוגיה]].

=== גאומטריה ===
אוילר לא פעל הרבה בתחום ה[[גאומטריה]]. אף על פי כן הוא גילה מספר משפטים ועובדות חשובות בגאומטריה, בהם: [[משפט אוילר (גאומטריה)|משפט אוילר]] לגבי [[מעגל חוסם]] ו[[מעגל חסום]] ב[[משולש]], גילה את [[ישר אוילר]] ו[[מעגל תשע הנקודות|מעגל אוילר]] ואת תכונותיהם, ועוד. במסגרת עבודתו המכנית על תיאור התנועה של גופים קשיחים, אוילר עשה תרומה חשובה לגאומטריה, כשגילה והוכיח את [[משפט הסיבובים של אוילר|משפט הסיבובים שלו]], שהוא הבסיס למושג של [[חבורת הסיבוב (3)SO|חבורת הסיבובים התלת-ממדיים (3)SO]], המרכזית לענפי מתמטיקה ופיזיקה רבים. [[הוכחה קונסטרוקטיבית|ההוכחה הקונסטרוקטיבית]] שנתן לה ניחנה באלגנטיות רבה. מחקרו המתמטי של אוילר נגע גם ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]]. אוילר חקר רבות את התאוריה של משטחים וה[[עקמומיות]] של משטחים, והגיע לתוצאות ניכרות. בין השאר הכליל את הנוסחה לעקמומיות בנקודה ממישור למשטח כלשהו במרחב. אף כי מחקרו של אוילר עסק בעיקר בשימוש ב[[גאומטריה אנליטית|כלים אנליטיים]] כדי לבחון את הגאומטריה החיצונית (extrinsic geometry) של משטחים (בין גילוייו נמנים [[משפט אוילר (גאומטריה דיפרנציאלית)]]), הוא גילה{{דרוש מקור}} גם כמה תוצאות על הגאומטריה הפנימית של משטחים (intrinsic geometry), על כן לעיתים רואים בו את המתמטיקאי החשוב ביותר לתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית לפני [[גאוס]].

הוא תיאר צורה שקיבלה שם "[[תיבת אוילר]]".

=== מתמטיקה שימושית ===
כמה מהצלחותיו הגדולות ביותר של אוילר היו ביישום שיטות אנליטיות לפתרון בעיות שימושיות. אוילר הוכיח מספר תוצאות בנוגע ל[[מספרי ברנולי]], ל[[טור פורייה|טורי פורייה]] ול[[דיאגרמת ון|דיאגרמות ון]], הגדיר את [[מספרי אוילר]], והשתמש בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של [[אייזק ניוטון|ניוטון]] ושל [[לייבניץ]] לפתרון בעיות פיזיקליות. הוא תרם תרומות מכרעות לתחום ה[[אינטגרל|אינטגרציה]] וה[[משוואות דיפרנציאליות]], ביניהן [[שיטת אוילר]] לפתרון [[משוואה דיפרנציאלית ליניארית]]. כשהוא חקר את הבעיה של ממברנות רועדות, הוא פיתח את משוואת בסל ופתר אותה באמצעות ההצגה של [[פונקציות בסל]]. הוא הגדיר את [[קבוע אוילר]]: <math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)</math>.
בהקשר של קבוע זה, ניסח אוילר את [[נוסחת אוילר-מקלורן]], או [[נוסחת הסכום של אוילר]].

אחד מתחומי העניין מעט יוצאי הדופן של אוילר היה היישום של רעיונות מתמטיים ב[[מוזיקה]].
ב-[[1739]] הוא פרסם את "Tentamen novae theoriae musicae", וקיווה להפוך את המוזיקה לחלק מן המתמטיקה. עבודתו זו לא זכתה להכרה רבה, ותוארה כמתמטית מדי בשביל מוזיקאים ומוזיקלית מדי בשביל מתמטיקאים.

=== פיזיקה ואסטרונומיה ===
אוילר כתב עבודות חשובות רבות ב[[מכניקת הזורמים]], ב[[תורת התנודות]], ב[[אקוסטיקה]], ב[[בליסטיקה]], בתורת ה[[טורבינה|טורבינות]], בתורת בניית האוניות ובתחומי פיזיקה אחרים. מכלול העבודות שפרסם בתחומים אלה דיו להנחיל לו תהילת עולם. ב[[מכניקה קלאסית|מכניקה]], אוילר הציג בספרו "'''מכניקה'''" משנת 1735 לראשונה בהרחבה את [[חוקי התנועה של ניוטון|חוקי ניוטון]] בצורה של משוואות דיפרנציאליות, וספרו "'''תאוריית התנועה של גופים קשיחים'''" משנת [[1765]] הרחיב משמעותית את הישג ידה של המכניקה בכך שאיפשר גם לטפל בתיאור תנועות הסיבוב התלת-ממדיות המורכבות של [[גוף קשיח|גופים קשיחים]] - כדוגמת ה[[נקיפה|פרצסיה]] וה[[נוטציה (פיזיקה)|נוטציה]] של [[סביבון|סביבונים]] - ובכך הניח חלק מיסודות ה[[מכניקה אנליטית|מכניקה האנליטית]]. במסגרת עבודתו זו פיתח את [[משוואות אוילר (מכניקה של גוף קשיח)|משוואות אוילר במכניקה של גוף קשיח]].

ב[[הנדסת מבנים|הנדסת בניין]], אוילר פיתח מודל המתאר תהליך קריסת קורות (הנקרא [[תורת אוילר ברנולי]]), שהפך ברבות הימים לאבן בסיס בתחום. בספרו החשוב על חשבון הווריאציות, אשר אחד הנושאים המרכזיים הנידונים בו הוא [[כפיפה|כפיפתן]] של קורות, עסק אוילר רבות ב[[אלסטיות|תורת האלסטיות]], ופתר את הבעיה הכללית של צורתן של עקומות אלסטיות{{הערה| The elastica: a mathematical history [http://www.levien.com/phd/elastica_hist.pdf]|כיוון=שמאל}} (תוך שהוא בונה על עבודותיהם הקודמות של ג'יימס ו[[דניאל ברנולי]] בתחום). במכניקת הזורמים, אוילר פרסם ב-1757 מערכת של משוואות הנקראות [[משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)|משוואות אוילר]], שמהוות את הבסיס להבנת זרימה לא צמיגה. בתורת בניית האוניות, אוילר פרסם שני כרכים בנושא, בהם הרחיב את הטיפול של ניוטון בצורות בעלות התנגדות הידרודינמית מינימלית ונעזר בעקרונות וריאציוניים כללים יותר כדי לגזור את התכנון האופטימלי [[הידרודינמיקה|הידרודינמית]] של אוניה, וכן עסק בהיבטים נוספים של תכנון אוניות. בשנת [[1752]] הוא פרסם משוואות שבהמשך נקראו [[משוואת המשאבה והטורבינה של אוילר]]. אוילר גם חזה את התופעה של [[קוויטציה]] בשנת 1754, הרבה לפני התצפיות הראשונות שלה בשלהי המאה ה-19, ו[[מספר אוילר (פיזיקה)|מספר אוילר]] חסר-הממדים בו משתמשים בחישובי זרימה מגיע מעבודתו הקשורה ל[[נצילות]] של [[טורבינה|טורבינות]].   

כדמות דומיננטית ביותר במפעל המדעי הפוסט-ניוטוני של המאה ה-18, אוילר תרם רבות לפתרון בעיות שטופלו בפרינקיפיה של ניוטון באופן לא מלא, ועבודתו הנרחבת בתחומים אלו זיכתה אותו בפרסים רבים. למשל, במקביל ובאופן בלתי תלוי ב[[ז'אן לה רון ד'אלמבר]], אוילר היה הראשון שהצליח לתת הסבר כמותי מדויק לתופעות ה[[נקיפת ציר כדור הארץ|פרצסיה של ציר כדור הארץ]] וה[[נוטציה (פיזיקה)|נוטציה]] של ציר כדור הארץ כתוצאה מהאפקט הכבידתי של השמש והירח. לפניו, ניוטון נתן הסבר איכותי נכון לתופעה, אולם לא הצליח לספק [[תאוריה מתמטית]] בעלת ניבוי שתואם את התצפיות. על עבודתו המעמיקה על התיאור המתמטי של ה[[גאות ושפל|גאות והשפל]] זכה בפרס של האקדמיה הצרפתית למדעים לשנת 1740, ובה אוילר הרחיב את הטיפול המקורי של ניוטון מסטטיקה בלבד לדינמיקה, במה שמהווה למעשה את הצעדים הראשונים לקראת [[פייר-סימון לפלס ## הדינמיקה של גאות ושפל|התאוריה הדינמית של גאות ושפל]] (שלניסוחה העיקרי אחראי לפלס ב-1776). בפרט, עבודתו סיפקה{{הערה|Euler: Genius Blind Astronomer Mathematician [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1406/1406.7397.pdf]|כיוון=שמאל}} הסברים איכותיים לתופעות העיקריות הקשורות בגאות באוקיינוסים הפתוחים וליד איים.

ב[[אסטרונומיה]] אוילר היה הראשון שפיתח שיטה מעשית לחישוב מסלול [[הירח]], שיטה שהיוותה התקדמות משמעותית בהשגת פתרונות מקורבים ל[[בעיית שלושת הגופים]]. הוא היה חלוץ בשימוש בכלים אנליטיים לניתוח האי רגולציות במסלול הירח (בניגוד לטיפול הגאומטרי המסורבל של ניוטון), ובמחקריו בתחום היה אחראי על גילוי קבוצה של פתרונות אפשריים לבעיית שלושת הגופים, כמו גם על גילוי [[נקודות לגראנז']] (על שום הטיפול המתמטי המעמיק יותר של לגראנז' בנקודות הללו, הן נקראו על שמו). הישגיו הנוספים באסטרונומיה כללו קביעה בדיוק רב של מסלוליהם של שביטים וגופים שמימיים אחרים, הבנת הטבע של שביטים, וחישוב ה[[פרלקסה]] של [[השמש]]. חישוביו תרמו רבות גם לפיתוח של טבלאות [[קו אורך|קווי אורך]] (longitude tables) מדויקות.

בנוסף, אוילר תרם תרומות משמעותיות ל[[אופטיקה]]. הוא לא קיבל את התאוריה החלקיקית של ניוטון שהופיעה בספרו [[אופטיקה (ספר)]], שהייתה אז התאוריה המקובלת. בסדרת מאמרים שפרסם בין השנים 1740 ו-1750 הוא פיתח את '''המודל הגלי של האור''', שהוצע קודם על ידי [[כריסטיאן הויגנס]], ובכך עזר להפכו למודל המקובל יותר של האור.

=== לוגיקה ===
אוילר נעזר בעקומות סגורות כדי להמחיש [[סיבתיות]] לוגית ([[1768]]). הדיאגרמות הללו נקראו מאז בשם [[דיאגרמות אוילר]]. למעשה אוילר היה הממציא האמיתי של שיטת ההצגה של סיבתיות באמצעות עקומות סגורות, ולא [[ג'ון ון]] שנודע כממציאה של [[דיאגרמת ון]].

=== פילוסופיה ואמונות דתיות ===
אוילר וחברו דניאל ברנולי התנגדו ל[[מונאדה (לייבניץ)|מונדיזם]] של לייבניץ ול[[פילוסופיה]] של [[כריסטיאן וולף (פילוסוף)|כריסטיאן וולף]]. אוילר התעקש שידע נמצא בחלקו בבסיס החוקים הכמותיים המדויקים, דעה אשר מונדיזם ומדע וולפאני לא היו מסוגלים לספק.

ניתן להסיק הרבה על האמונות הדתיות של אוילר מן "המכתבים עבור הנסיכה הגרמנית, בנושאים שונים בפיזיקה ובפילוסופיה" (Letters to a German Princess), כמו גם מעבודה מוקדמת יותר שלו: הגנה על ההתגלות האלוהית מפני ההתנגדות של [[מחשבה חופשית|המחשבות החופשיות]], עבודה שהיוותה בראש ובראשונה פולמוס עם דעות [[כפירה (דת)|כפרניות]] שהכחישו את המקור האלוהי של ה[[ביבליה]]. עבודותיו אלו מראות כי אוילר היה [[נוצרי]] אדוק שהאמין שכתבי הקודש מהווים מקור להשראה.

=== כתביו של אוילר ===
[[קובץ:Methodus inveniendi - Leonhard Euler - 1744.jpg|שמאל|100px|העמוד הראשי של ספרו של אוילר: "Methodus inveniendi lineas curvas"]]

אוילר חיבר מאות כתבים; הידועים ביותר שבהם הם:
*Elements of Algebra, חיבור באלגברה אלמנטרית הדן בטבע המספרים ובהקדמה מעמיקה לאלגברה, ואף מספק נוסחה לפתרון משוואות פולינומליות.
* Introductio in analysin infinitorum{{כ}} ([[1748]])
* שני ספרים רבי השפעה על חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: Institutiones calculi differentialis{{כ}} ([[1755]]) ו-Institutiones calculi integralis{{כ}} ([[1768]]-[[1770]]).
* חיבורו: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti{{כ}} ([[1744]]). הגרסה הלטינית תורגמה כ-" a method for finding curved lines enjoying properties of maximum or minimum, or solution of isoperimetric problems in the broadest accepted sense".

==הנצחה==
מלבד מאות המושגים המתמטיים והפיזיקליים הקרויים על שמו, אוילר הונצח גם במספר דרכים נוספות:
* [[2002 אוילר]] - [[אסטרואיד]] שנתגלה ב-[[1973]].
* [[מדליית אוילר]] - [[פרס (זכייה)|פרס]] הניתן כל שנה מאז [[1993]] על ידי "המכון לקומבינטוריקה ויישומיה" שבסיסו ב[[קנדה]].
* [[אוילר (שפת תכנות)]] - [[שפת תכנות]] שמהווה הרחבה ל-[[ALGOL|ALGOL 60]].
* [[AMS Euler]] - [[גופן]] שפותח בחסות [[האגודה האמריקאית למתמטיקה]] שייעודו כתיבת טקסט מתמטי.
* [[אוילר (תוכנה)]] - [[חבילת תוכנה]] מתמטית [[תוכנה חופשית|חופשית]].
* [[פרויקט אוילר]] - [[אתר אינטרנט]] המוקדש לחידות מתמטיות.
* [[הדיסקית של אוילר]] - צעצוע חינוכי

* {{פירושון|[[משפט אוילר (פירושונים)|משפטים על שם אוילר]]}}

ראו [[:en:List of things named after Leonhard Euler|רשימת מושגים על שמו של אוילר]] ב[[ויקיפדיה האנגלית|וויקיפדיה האנגלית]].

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Nikolaĭ Nikolaevich Bogolyubov, G. K. Mikhaĭlov, Adolph Pavlovich Yushkevich, '''Euler and Modern Science''', Translated by Robert Burns, [[Mathematical Association of America]], 2007.
* Ronald Calinger, '''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment''', [[Princeton University Press]], 2016.
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
{{פרופילי מדענים}}
* [http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html How Euler Did It] - מאמרים על עבודתו של אוילר (אין גישה חופשית לקישור)
* {{דודל|leonhard-eulers-306th-birthday|יום הולדתו ה-306 של אוילר}}, 15 באפריל 2013
* {{Find a Grave}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007260793905171|ליאונרד אוילר (1707-1783)}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

{{מיון רגיל:אוילר, לאונרד}}
[[קטגוריה:לאונרד אוילר|*]]
[[קטגוריה:אסטרונומים שעל שמם כוכב לכת מינורי]]
[[קטגוריה:מתמטיקאים שעל שמם כוכב לכת מינורי]]
[[קטגוריה:חברי האקדמיה המלכותית השוודית למדעים]]
[[קטגוריה:מתמטיקאים שווייצרים]]
[[קטגוריה:פיזיקאים שווייצרים]]
[[קטגוריה:חוקרי תורת המספרים]]
[[קטגוריה:סגל אוניברסיטאות ברוסיה]]
[[קטגוריה:אסטרונומים שווייצרים]]
[[קטגוריה:אישים שהונצחו בשטרות כסף שווייצרים]]
[[קטגוריה:אישים שהונצחו על בולי ברית המועצות]]
[[קטגוריה:ילידי 1707]]
[[קטגוריה:נפטרים ב-1783]]