הצגת המקור של הדף "לוג'יט"

[[קובץ:Logit.svg|ממוזער|left|350px|גרף של logit(''p'') בטווח 0 עד 1, כאשר בסיס הלוגריתם הוא ''[[E (קבוע מתמטי)|e]]''.]]
ב[[סטטיסטיקה]], '''לוג'יט''' או '''Logit''' היא פונקציית [[שברון (סטטיסטיקה)|שברון]] הקשורה ל[[התפלגות לוגיסטית]] סטנדרטית. יש לה שימושים רבים ב[[ניתוח מידע]] ו[[למידת מכונה]], ובפרט בטרנספורמציות נתונים.

מבחינה מתמטית, הלוג'יט הוא [[פונקציה הפיכה|היפוך]] של [[פונקציה לוגיסטית|הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית]] <math>\sigma(x) = 1/(1+e^{-x})</math>, כך שהלוגיט מוגדר כ

: <math>\operatorname{logit}(p)= \sigma^{-1}(p) = \ln\left( \frac{p}{1-p} \right) \quad \text{for} \quad p \in (0,1)</math> .

בגלל זה, הלוג'יט נקרא גם הלוג של הסיכויים ('''log-odds''') מכיוון שהוא שווה ל[[לוגריתם]] של יחס הסיכויים <math>\frac{p}{1-p}</math> כאשר {{Mvar|p}} הוא הסתברות.<ref>{{Cite web|url=http://itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/logoddra.htm|title=LOG ODDS RATIO|website=nist.gov}}</ref> לפיכך, הלוג'יט הוא סוג של פונקציה שממפה ערכי הסתברות מהמרחב <math>(0, 1)</math> למספרים ממשיים במרחב <math>(-\infty, +\infty)</math>,<ref>{{Cite web|url=http://www.columbia.edu/~so33/SusDev/Lecture_9.pdf|title=Logit/Probit}}</ref> בדומה לפונקציית פרוביט.

== הגדרה ==
אם {{Mvar|p}} הוא [[הסתברות]], אז {{נוסחה|{{nowrap|''p''/(1 &minus; ''p'')}}}} הוא הסיכוי המתאים; לוג'יט של ההסתברות הוא הלוגריתם של הסיכויים, כלומר:

: <math>\operatorname{logit}(p)=\ln\left( \frac{p}{1-p} \right) =\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln\left( \frac{1}{p}-1\right)\,.</math>

לבסיס של [[לוגריתם|פונקציית הלוגריתם]] בשימוש חשיבות מועטה במאמר הנוכחי, כל עוד הוא גדול מ-1, אך [[לוגריתם טבעי|הלוגריתם הטבעי]] עם בסיס [[E (קבוע מתמטי)|e]] הוא הלוגריתם הנפוץ ביותר. בחירת הבסיס מתאימה לבחירת [[סקאלה לוגריתמית|היחידה הלוגריתמית]] עבור הערך: בסיס 2 מתאים ל"shannon", בסיס {{Mvar|e}} ל"nat", ובסיס 10 לhartley; יחידות אלו משמשות במיוחד בפירושים תאורטיים של מידע. עבור כל בחירה של בסיס, פונקציית לוג'יט לוקחת ערכים בין אינסוף שלילי לחיובי.

[[פונקציה לוגיסטית|הפונקציה ה"לוגיסטית"]] של כל מספר <math>\alpha</math> ניתן על ידי היפוך-לוג'יט:

: <math>\operatorname{logit}^{-1}(\alpha) = \operatorname{logistic}(\alpha) = \frac{1}{1 + \operatorname{exp}(-\alpha)} = \frac{\operatorname{exp}(\alpha)}{ \operatorname{exp}(\alpha) + 1}</math>

ההבדל בין לוג'יט של שתי הסתברויות הוא הלוגריתם של [[יחס הסיכויים]] ({{Mvar|R}}), ובכך מספק קיצור לכתיבת הקומבינציה הנכונה של יחסי סיכויים רק על ידי חיבור והפחתה:

: <math>\operatorname{ln}(R)=\ln\left( \frac{{p_1}/(1-p_1)}{{p_2}/(1-p_2)} \right) =\ln\left( \frac{p_1}{1-p_1} \right) - \ln\left(\frac{p_2}{1-p_2}\right)=\operatorname{logit}(p_1)-\operatorname{logit}(p_2)\,.</math>

== היסטוריה ==
היו מספר מאמצים להתאים שיטות רגרסיה ליניאריות לתחום שבו הפלט הוא ערך הסתברות <math>(0, 1)</math>, במקום כל מספר ממשי <math>(-\infty, +\infty)</math> . במקרים רבים, מאמצים כאלה התמקדו במודלים של בעיה זו על ידי מיפוי הטווח <math>(0, 1)</math> ל <math>(-\infty, +\infty)</math> ולאחר מכן הפעלת הרגרסיה הליניארית על הערכים שעברו טרנספורמציה אלו. בשנת 1934 השתמש צ'סטר איטנר בליס בפונקציית ההתפלגות הנורמלית המצטברת כדי לבצע מיפוי זה וכינה את המודל שלו probit (קיצור של "'''pro'''bability un'''it'''").<ref name="Cramer2003">{{Cite web|url=http://www.cambridge.org/resources/0521815886/1208_default.pdf|title=The origins and development of the logit model|last=J. S. Cramer|year=2003|publisher=Cambridge UP}}</ref> עם זאת, זה יקר יותר מבחינה חישובית. ב-1944, ג'וזף ברקסון השתמש ביומן הסיכויים וקרא לפונקציה הזו ''logit,'' קיצור של "'''log'''istic un'''it'''" בעקבות האנלוגיה של probit. [[צ'ארלס פרס|צ'ארלס סנדרס פרס]] (סוף המאה ה-19) השתמש בהרחבה בלוגריתם הסיכויים.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/historyofstatist00stig|title=The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900|last=Stigler|first=Stephen M.|publisher=Belknap Press of Harvard University Press|year=1986|isbn=978-0-674-40340-6|location=Cambridge, Massachusetts|author-link=Stephen M. Stigler|url-access=registration}}</ref> GA Barnard בשנת 1949 טבע את המונח הנפוץ "''log-odds"'';<ref>{{Citation|title=Logistic Regression Models|first=Joseph M.|last=Hilbe|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=9781420075779|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tmHMBQAAQBAJ&pg=PA3}}.</ref> לוגריתם הסיכויים של אירוע הוא הלוג'יט של ההסתברות לאירוע.<ref>{{Citation|title=Logit Models from Economics and Other Fields|first=J. S.|last=Cramer|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=9781139438193|page=13|url=https://books.google.com/books?id=1Od2d72pPXUC&pg=PA13}}.</ref>

== השוואה עם פרוביט ==
[[קובץ:Logit-probit.svg|שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים| השוואה של פונקציית הלוג'יט עם פרוביט בקנה מידה (כלומר ה-[[פונקציית התפלגות|CDF]] ההפוך של [[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]] ), השוואה <math>\operatorname{logit}(x)</math> לעומת. <math>\tfrac{\Phi^{-1}(x)}{\,\sqrt{\pi/8\,}\,}</math>, מה שהופך את השיפועים להיות זהים במקור ה-{{Mvar|y}}]]
קשורים קשר הדוק לפונקציית {{נוסחה|logit}} [[רגרסיה לוגיסטית|(ולמודל ה-logit]]) הם פונקציית probit ומודל probit. {{נוסחה|logit}} {{נוסחה|probit}} הן שתיהן [[סיגמואיד (מתמטיקה)|פונקציות סיגמואידיות]] עם תחום בין 0 ל-1, מה שהופך את שתיהן לפונקציות קוונטיליות - כלומר, הפכים [[פונקציית התפלגות|לפונקציית ההתפלגות המצטברת]] (CDF) של [[התפלגות|התפלגות הסתברות]]. למעשה, לוג'יט הוא הפונקציה הקוונטילית של [[התפלגות לוגיסטית|ההתפלגות הלוגיסטית]], בעוד {{נוסחה|probit}} היא הפונקציה הכמותית של [[התפלגות נורמלית|ההתפלגות הנורמלית]]. הפונקציה {{נוסחה|probit}} <math>\Phi^{-1}(x)</math>, איפה <math>\Phi(x)</math> היא ה-[[פונקציית התפלגות|CDF]] של ההתפלגות הנורמלית, כאמור:

: <math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{y^2}{2}} dy.</math>

כפי שמוצג בגרף בצד ימין, הלוג'יט והפרוביט דומות מאוד כאשר פרוביט בקנה מידה, כך שהשיפוע שלה ב- {{נוסחה|''y'' {{=}} 0}} תואם את שיפוע ה- {{נוסחה|logit}} . כתוצאה מכך, מודלים של פרוביט משמשים לפעמים במקום [[רגרסיה לוגיסטית|מודלים של לוגיט]], כי עבור יישומים מסוימים (למשל, ב[[סטטיסטיקה בייסיאנית]]) היישום קל יותר.

== לקריאה נוספת ==
* {{Cite book|title=The Logit Transformation: with special reference to its uses in Bioassay|last=Ashton|first=Winifred D.|publisher=Charles Griffin|year=1972|isbn=978-0-85264-212-2|series=Griffin's Statistical Monographs & Courses|volume=32}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:לוגריתמים]]
[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]