הצגת המקור של הדף "לוגריתם"

{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Log.png|ממוזער|250px|לוגריתמים בבסיסים שונים: {{צבע גופן|אדום|[[אדום]]}} הוא בבסיס [[e (קבוע מתמטי)|e]], {{צבע גופן|צהוב|[[צהוב]]}} בבסיס 2, {{צבע גופן|כחול|[[כחול]]}} בבסיס 1/2. לוגריתמים בכל הבסיסים עוברים דרך הנקודה (1,0), שכן כל מספר ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] [[0 (מספר)|0]] הוא [[1 (מספר)|1]].]]
'''לוגריתם''' (Logarithm) הוא [[פונקציה הפוכה]] ל[[פונקציה מעריכית|פונקציה המעריכית]]. הפונקציה [[סימון מתמטי|מסומנת]] באותיות <math>\log</math>. פעולה זו מוצאת את ה[[מעריך]] בהינתן בסיס ותוצאה, כלומר היא עונה על השאלה: "באיזו [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] יש להעלות את הבסיס b כדי לקבל את התוצאה a?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב <math>\log_ba</math>.

== הגדרה ==
כאמור, הלוגריתם של <math>x</math> ב'''בסיס''' נתון <math>\ b</math> (הגדול מאפס ושונה מ-1 ובהתאם x חיובי), הוא ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] שבה יש להעלות את <math>\ b</math> כדי לקבל את <math>\ x</math>.{{ש}}אם <math>\ b>0</math> וגם <math>\ b^{y}=x</math>, נאמר ש־<math>\ y</math> הוא לוגריתם של <math>\ x</math> לפי בסיס <math>\ b</math>, ונכתוב זאת: <math>\ y=\log _b x</math>.

כך, הזהות הלוגריתמית היסודית היא: <math>\ b^{log _b x}=x</math>.

:דוגמה: <math>\ \log _{10} 100=2</math>, משום ש- <math>\ 100=10^2</math>.
:ובמילים: הלוגריתם של <math>\ 100</math> לפי בסיס <math>\ 10</math> הוא <math>\ 2</math>, משום ש־<math>\ 10</math> בחזקת <math>\ 2</math> שווה ל־<math>\ 100</math>.

'''בסיס ברירת המחדל:'''

שימוש בסימון <math>\ \log</math> ללא ציון הבסיס עלול לבלבל מעט, משום שמשמעותו משתנה לפי ההקשר:
*בטקסטים מתמטיים משמעותו <math>\ \log_{e}</math> (ה[[לוגריתם טבעי|לוגריתם הטבעי]], שבסיסו [[E (קבוע מתמטי)|מספר אוילר]]). נהוג לכתוב פונקציה זו בקיצור <math>\ \ln</math>.
*בטקסטים [[הנדסה|הנדסיים]] משמעותו <math>\ \log_{10}</math>, לעיתים נכתב בקיצור <math>\ \mbox{lg}</math>.
*בטקסטים שעוסקים ב[[מדעי המחשב]] משמעותו <math>\ \log_{2}</math>, לעיתים נכתב בקיצור <math>\ \mbox{lb}</math>.

==רקע היסטורי==
הלוגריתמים הוכנסו לשימוש בתחילת [[המאה ה-17]] על ידי [[ג'ון נפייר]] [[לוח הלוגריתמים של נאפייר|בספריו]]. עד להחלפתם על ידי ה[[מחשב]] וה[[מחשבון]], בחצי השני של [[המאה ה-20]], היו הלוגריתמים כלי עזר עיקרי ל[[חישוב]], באמצעות [[לוח לוגריתמים]] ובאמצעות [[סרגל חישוב]]. הרעיון הבסיסי מאחורי שני עזרי חישוב אלה הוא הכלל לפיו לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מאיברי המכפלה. כלל זה מאפשר להחליף פעולת [[כפל]], שהיא פעולה מורכבת יחסית, בפעולת החיבור הפשוטה יותר. בכלים אלה נעשה שימוש בלוגריתמים לפי בסיס <math>\ 10</math>.

==חוקי הלוגריתמים==
החוקים המפורטים להלן נכונים לכל <math>\ a, b, c, d</math> [[מספר ממשי|ממשיים]] חיוביים, ובתנאי שבסיס הלוגריתמים שונה מ־1.

{| border=1 width=95% align="right" cellpadding=8 cellspacing=1
|-
| valign="top" bgcolor="#F0F0F0" width=50% |'''ערכים מיוחדים'''
| dir=LTR |
<math>\ \log _a (1)=0</math>
{{ש}}
{{ש}}
<math>\ \log _a (a)=1</math>
|-
| valign="top" bgcolor="#F0F0F0" |'''כפל, חילוק והעלאה בחזקה'''
חוקים אלו יכולים להקל על חישובי כפל, חילוק, חזקה ושורש, באמצעות לוח לוגריתמים או סרגל חישוב.
| dir=LTR |
<math>\ \log _c (a\cdot b) = \log _c (a) + \log _c (b)</math>
{{ש}}
{{ש}}
<math>\ \log _c \left(\frac{a}{b}\right) = \log _c (a) - \log _c (b)</math>
{{ש}}
{{ש}}
<math>\ {\log_a b}\cdot{\log_c d}={\log_c b}\cdot{\log_a d}</math>
{{ש}}
<div dir=RTL>לכל <math>\ r</math> [[מספר ממשי|ממשי]]:</div>
<math>\ \log _c (a^r) = r\cdot \log _c (a)</math>
|-
| valign="top" bgcolor="#F0F0F0" |'''הלוגריתם והפונקציה המעריכית'''
חוקים אלו שימושיים לפתרון משוואות בהן הנעלם הוא "מעריך" של חזקה.
| dir=LTR |<math>\ x^{\log_a b}=b^{\log_a x}</math>
{{ש}}
{{ש}}
<math>\ a^{\log_a b}=b</math>
{{ש}}
{{ש}}
<div dir=RTL>לכל <math>\ r</math> [[מספר ממשי|ממשי]]:</div>
<math>\ \log_a a^r=r</math>
|-
| valign="top" bgcolor="#F0F0F0" |'''שינוי בסיס הלוגריתם'''
חוק זה שימושי להמרת לוגריתמים במחשבונים.
<!--כדאי להמיר את הקטע הבא ל-math! -->
<!--נעשה, אבל עכשיו הסימנים לא משתלבים היטב ברקע.-->לרוב המחשבונים יש לחצנים לחישוב לוגריתם טבעי (ln) ולוגריתם בבסיס 10 (<math>\ \log_{10}</math>), אבל לא לבסיס 2 (<math>\ \log_{2}</math>).

כדי לחשב את <math>\ \log_{2} 100</math>, מחשבים:

<math>\ \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2}</math> או <math>\ \frac{\ln{100}}{\ln{2}}</math> שנותן תוצאה זהה.
| dir=LTR |
<math>\ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}</math>
{{ש}}
<math>\ \log_a b=\frac{1}{\log_b a}</math>
|-
| valign="top" bgcolor="#F0F0F0" |'''[[גבול (מתמטיקה)|גבולות]]'''
| dir=LTR |
<div dir=RTL>כאשר a > 1:</div>
<math>\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = -\infty</math>
<div dir=RTL>כאשר a < 1:</div>
<math>\ \lim_{x\to0} \log_a (x) = \infty</math>
<div dir=RTL>כאשר a > 1:</div>
<math>\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = \infty</math>
<div dir=RTL>כאשר a < 1:</div>
<math>\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) = -\infty</math>
{{ש}}
{{ש}}
<math>\ \lim_{x\to0} \log_a (x) \cdot x^b = 0</math>
{{ש}}
{{ש}}
<math>\ \lim_{x\to\infty} \log_a (x) / x^b = 0</math>
|-
| valign="top" bgcolor="#F0F0F0" |'''[[נגזרת]]'''
| dir=LTR |
<math>\ {d \over dx} \log_a (x) = \frac{1}{\ln(a)} {1 \over x}</math>
|-
| valign="top" bgcolor="#F0F0F0" |'''[[אינטגרל]]'''
| dir=LTR |
<math>\ \int \log_a (x)\, dx = x \log_a (x) - \frac{x}{\ln(a)} + C</math>
|}
{{-}}
{{ש}}

== שיטות לחישוב לוגריתמים ==
=== האלגוריתם של פיינמן ===
[[ריצ'רד פיינמן]] המציא [[אלגוריתם]] המאפשר לחשב לוגריתמים בקלות יחסית באמצעות שימוש בתהליך שדומה מאוד לחילוק ארוך ובטבלת ערכים לוגריתמיים מוכנים, שהוא שימושי מאוד במכונות חישוב בינאריות. הרעיון של האלגוריתם מתבסס על העובדה שכל מספר ממשי בטווח בין 1 ל-2 ניתן לפירוק לגורמים מהצורה <math> (1 + 2^{{-k}})</math> באופן יחיד. האלגוריתם בונה מכפלות <math>P</math> באופן סדרתי:
אם <math>P \cdot (1 + 2^{-k}) < x</math>, אז משנים את P ל-<math>P^* = P \cdot (1 + 2^{-k}) </math>. לאחר מכן בוחנים אם הגורם הבא בפיתוח של המספר הממשי לפירוק לגורמים הוא מהצורה <math> (1 + 2^{{-(k+1)}})</math>. אם <math>P^*\cdot (1 + 2^{{-(k+1)}})<x </math> אז גילינו עוד גורם בפירוק של x לגורמים. האלגוריתם מפסיק כאשר k [[גדול מספיק]] כדי להשיג את הדיוק הדרוש. כיוון ש-<math>\log(x)</math> הוא סכום של איברים מהצורה <math>\log(1 + 2^{-k})</math> אשר הופיעו בפירוק לגורמים של x, אז <math>\log(x)</math> ניתן לחישוב בעזרת חיבור פשוט, בעזרת טבלת ערכים של <math>\log(1 + 2^{-k})</math> עבור כל ערכי k.

'''הערה''': האלגוריתם אינו תחליף לשיטות האנליטיות הרגילות (למשל טורים אינסופיים), שכן אינו מספק שיטה לחשב את הערכים הלוגריתמיים היסודיים, כך שלא ניתן "לדלג" על פיתוח טכניקות "עמוקות" יותר.

=== הממוצע האריתמטי-גאומטרי ===
[[הממוצע האריתמטי-גאומטרי]] מספק קירובים מהירים ועתירי דיוק ללוגריתם הטבעי. החוקרים Sasaki ו-Kanada הראו ב-1982 שקירובים המבוססים על הממוצע האריתמטי גאומטרי מהירים במיוחד עבור דיוק בין 400 ל-1000 ספרות עשרוניות, בעוד ששיטות המבוססות על [[טור טיילור]] הן מהירות יותר כאשר נדרש פחות דיוק. בעבודתם (ln(x מקורב לדיוק של <math>2^{{-p}}</math> בעזרת הנוסחה הבאה (הודות ל[[קרל פרידריך גאוס]]):

<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2)</math>

כאשר m נבחר כך ש-<math>x \,2^m > 2^{p/2}\, </math> כדי להבטיח את הדיוק הדרוש.

==ראו גם==
* [[סקאלה לוגריתמית]]
* [[לוגריתם חוזר]]
* [[פונקציה מעריכית]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=לוגריתם|ויקישיתוף=Category:Logarithm|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים|שם ויקיספר=לוגריתמים (אלגברה)}}
* צחי אבנור, {{PDF}} [[:קובץ:Logarithm-cc-by-Zachi-Evenor.pdf|לוגריתם]] - הגדרות, תכונות והוכחות (קובץ [[PDF]] על שרת ויקיפדיה)
* {{לא מדויק|2020/06/08/what_are_logarithms|מה זה לוגריתמים ובשביל מה זה טוב?}}	
* [https://www.youtube.com/watch?v=N-7tcTIrers How I Feel About Logarithms] – סרטון הסבר של [https://www.youtube.com/channel/UCOGeU-1Fig3rrDjhm9Zs_wg Vi Hart] על לוגריתמים {{באנגלית}} {{סרטונים}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007533701405171|לוגריתמים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות]]
[[קטגוריה:לוגריתמים]]