הצגת המקור של הדף "לולאת מופן"

במתמטיקה, '''לולאת מופן''' היא [[לולאה (מבנה אלגברי)|לולאה]] המקיימת זהויות מסוימות. כל [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] היא לולאת מופן. הלולאות נקראות על שמה של [[רות מופן]] {{אנ|Ruth Moufang}}, שהוכיחה ב-[[1935]] ששלושה איברים a,b,c בלולאת מופן המקיימים את היחס <math>(ab)c=a(bc)</math> יוצרים חבורה. נובע מכאן שהחזקות <math>x^n</math> [[מוגדר היטב|מוגדרות היטב]].

בלולאת מופן כל האיברים הפיכים, והיא מקיימת את [[תכונת ההיפוך]] <math>x^{-1}(xy)=y = (yx)x^{-1}</math>. תת-לולאה ולולאת מנה של לולאת מופן הן לולאות מופן. הדוגמה המרכזית ללולאת מופן היא אוסף האיברים ההפיכים ב[[אלגברה אלטרנטיבית]]. כל לולאת מופן סופית פשוטה היא או [[חבורה פשוטה]], או "לולאת Paige" (ראו להלן). לולאת מופן הלא-אסוציאטיבית הקטנה ביותר מתקבלת מהכפלת קיילי-דיקסון של החבורה <math>S_3</math>, והיא מסדר 12.

== זהויות ==
הזהויות הבאות שקולות זו לזו:
* <math>z(x(zy)) = ((zx)z)y</math>,
* <math>x(z(yz)) = ((xz)y)z</math>,
* <math>(z(xy))z = (zx)(yz)</math>,
* <math>z((xy)z) = (zx)(yz)</math>.
לולאה המקיימת אחת מהן, ולכן את כולן, היא לולאת מופן. כל לולאת מופן היא אלטרנטיבית מימין ומשמאל, ומקיימת את [[הזהות הגמישה]]. הגמישות מאפשרת לכתוב את הזהויות בצורה מקוצרת: z(x(zy)) = (zxz)y, x(zyz) = ((xz)y)z ו-
z(xy)z = (zx)(yz).

ה[[אסוציאטור]] מוגדר בכל לולאה לפי הזהות <math>(a,b,c)(a \cdot bc) = (ab \cdot c)</math> (מקורות שונים משתמשים בהגדרות דומות, אבל לא זהות). בלולאת מופן שבה מתקיימת הזהות <math>[(x,y,z),x]=1</math>, האסוציאטור מקיים <math>(x_{\sigma 1},x_{\sigma 2},x_{\sigma 3}) = (x_1,x_2,x_3)^{\operatorname{sgn} \sigma}</math>.

== תורת המבנה ==

לולאות מופן סופיות מקיימות את '''תכונת לגרנז'''', לפיה הסדר של תת-לולאה מחלק את הסדר של הלולאה (במתכונת [[משפט לגרנז' (תורת החבורות)|משפט לגרנז']]. לולאות סופיות פשוטות הן או חבורות פשוטות, או '''לולאת Paige''' של האיברים ההפיכים באלגברת אוקטוניונים מפוצלת מעל [[שדה סופי]], מודולו המרכז <math>\pm 1</math>.

כל לולאת מופן מושרית על ידי חבורה עם שילוש [http://www.quasigroups.eu/contents/download/2011/19_1.pdf].

ידוע (Shestakov, 2003) שלא כל לולאת מופן (ואפילו סופית) ניתנת לשיכון בלולאת האיברים ההפיכים של אלגברה אלטרנטיבית. שאלה זו עודנה פתוחה עבור לולאות מופן קומוטטיביות.

== לולאות מופן קומוטטיביות ==

בלולאת מופן קומוטטיבית מתקיימת הזהות <math>(a,b,c)^3=1</math>. נוסף לזה, כל חזקה שלישית שייכת לגלעין.

== ראו גם ==
* ''How and why Moufang loops behave like groups'', S.M. Gagola III, 2011 [http://www.quasigroups.eu/contents/download/2011/19_1.pdf],
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:קוואזי-חבורות ולולאות]]