הצגת המקור של הדף "ללא הגבלת הכלליות"

'''ללא הגבלת הכלליות''' (לעיתים גם '''"בלי הגבלת הכלליות"''' או '''בה"כ''') הוא ביטוי המשמש ב[[הוכחה|הוכחות]] [[מתמטיקה|מתמטיות]] כדי לציין שניתן להוכיח טענה ל[[מקרה פרטי]] וההוכחה עדיין תהיה תקפה גם ל[[הכללה (מתמטיקה)|מקרה הכללי]]. כלומר, זהו מצב בו מניחים [[הנחה (לוגיקה)|הנחה]] נוספת בשביל להקל על הוכחה, וזאת בתנאי שההנחה לא מצמצמת את קבוצת האובייקטים עליהם ההוכחה חלה.

שימוש נפוץ במונח הוא כשרוצים להוכיח טענה על שני [[משתנה|משתנים]], x ו-y שונים, השייכים ל[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] כלשהי, שאין להם מאפיינים נוספים. ההוכחה עשויה לפתוח במשפט "נניח ללא הגבלת הכלליות כי x<y". הנתון החדש הזה עשוי לעזור בהוכחת הטענה ומצד שני הוא לא פוגם בנכונותה למקרה הכללי כי ההוכחה למקרה y<x אנלוגית לחלוטין.

מקרה נפוץ נוסף הוא כשמוכיחים טענה רק למקרה הקיצוני ביותר שלה, ולכן היא נכונה גם למקרים מתונים יותר.

==דוגמאות==
*בהוכחת ה[[אי-רציונלי]]ות של [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]] מניחים ([[על דרך השלילה]]) כי קיימים <math>\ a, b</math> [[מספר שלם|שלמים]] כך ש-<math>\ a/b</math> שווה לשורש 2. לשם ההוכחה מניחים ללא הגבלת הכלליות כי <math>\ a, b</math> [[מספרים זרים|זרים]], כי לכל [[מספר רציונלי]] יש הצגה בדרך זו וכל הצגה אחרת שווה לה.
*בהוכחת הנוסחה ל[[משוואה ממעלה שלישית|מציאת שורשים של פולינום ממעלה שלישית]] ניתן להסתפק ללא הגבלת הכלליות בהוכחת נכונותה לכל [[פולינום מתוקן]], שכן כל [[פולינום]] ניתן לתקן על ידי חלוקה במקדם העליון.
*את [[משפט פרמה (לנקודות קיצון)|משפט פרמה לנקודות קיצון]] מספיק להוכיח ללא הגבלת הכלליות ל[[מקסימום מקומי]] כי ההוכחה ל[[מינימום מקומי]] אנלוגית לחלוטין.
*[[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]] בונה [[התאמה חד-חד ערכית]] בין שתי [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] המקיימות תנאי מסוים. בהוכחת המשפט מניחים ללא הגבלת הכלליות כי הקבוצות [[קבוצות זרות|זרות]], כי אם הן אינן זרות ניתן להתאים את ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] שלהן לעצמו באופן [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] ואין טעם לסרבל כך את ההוכחה.

==ראו גם==
*[[עד כדי]]

[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]
[[קטגוריה:הוכחה]]