הצגת המקור של הדף "למת הנגישות"

[[קובץ:ConvexSetWithALine.jpg|ממוזער|קבוצה קמורה Ω (בצהוב), נקודת שפה Υ, נקודה פנימית Χ, וקו המחבר ביניהן. על פי הלמה, כל הקו (מלבד Υ) מכיל נקודות פנימיות בלבד.|214x214 פיקסלים]]ב[[אופטימיזציה קמורה]], '''למת הנגישות''' קובעת שכל ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] ב[[קטע (מתמטיקה)|קטע]] המחבר [[פנים (טופולוגיה)|נקודה פנימית]] ו[[שפה (טופולוגיה)|נקודת שפה]] של [[קבוצה קמורה]], למעט נקודת השפה, הן נקודות פנימיות.

ה[[למה (מתמטיקה)|למה]] חשובה מכיוון שהיא משמשת להוכחת [[משפט התמיכה]] – [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] שעוזר להגיע לתוצאות מרכזיות בתחום, כמו [[משפט קרוש-קון-טאקר]].

== ניסוח פורמלי ==
תהי <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> [[קבוצה קמורה]] עם [[פנים (טופולוגיה)|פנים]] ו[[שפה (טופולוגיה)|שפה]] לא ריקים.

יהיו <math>\boldsymbol{x}\in \Omega^{\circ}</math> ו- <math>\boldsymbol{y}\in \partial \Omega</math>, כאשר <math> \Omega^{\circ}</math> ו-<math>\partial \Omega</math> הם הפנים והשפה של <math>\Omega</math>, בהתאמה.

אז ה"קו החצי פתוח" מ-<math>\boldsymbol{x}</math> ל- <math>\boldsymbol{y}</math> <math>[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =\{ \lambda \boldsymbol{x} + (1-\lambda)\boldsymbol{y} \ | \ 0<\lambda\leq1\}</math> מכיל אך ורק נקודות פנימיות.

== הוכחה ==
נקבע נקודה <math>\boldsymbol{z_0} = \lambda_0\boldsymbol{x}+(1-\lambda_0)\boldsymbol{y}</math> מהקטע <math>[\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})</math>. נניח <math>\lambda_0 \neq 1</math> כי אחרת <math>\boldsymbol{z_0} = \boldsymbol{x}</math> וברור שהנקודה בפנים של <math>\Omega</math>.

נתון <math>\boldsymbol{x} \in \Omega^{\circ}</math> ולכן קיים <math>r_0 > 0</math> המקיים <math>B(\boldsymbol{x},r_0)\subset \Omega^{\circ}</math>.

נגדיר <math>\varphi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n</math> כך:

<math>\varphi(\boldsymbol{w}) = \frac{1}{1-\lambda_0}[\boldsymbol{z_0} - \lambda_0 \boldsymbol{w}]</math>

נשים לב לשתי תכונות של <math>\varphi</math>:

# <math>\lVert \varphi(\boldsymbol{w}) - \varphi(\boldsymbol{x}) \rVert = \frac{\lambda_0}{1-\lambda_0}\lVert \boldsymbol{w}-\boldsymbol{x} \rVert</math>
# <math>\varphi(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{y}</math>

מהתכונות הנ"ל נסיק ש<math>\varphi</math> יוצרת קשר [[פונקציה חד-חד-ערכית|חח"ע]] [[פונקציה על|ועל]] בין <math>B(\boldsymbol{x},r_0)</math> לבין <math>B(\boldsymbol{y},\frac{\lambda_0}{1-\lambda_0} r_0)  </math>.

נתון <math>\boldsymbol{y}\in\bar{\Omega}</math> ולכן הכדור <math>B(\boldsymbol{y},\frac{\lambda_0}{1-\lambda_0} r_0)  </math> נחתך עם <math>\Omega</math>.

יהי <math>\boldsymbol{w}\in B(\boldsymbol{x},r_0)</math> כך ש<math>\varphi(\boldsymbol{w})\in\Omega\cap B(\boldsymbol{y},\frac{\lambda_0}{1-\lambda_0}r_0) </math>.

נשים לב ש<math>\boldsymbol{z_0} = \lambda_0\boldsymbol{w}+(1-\lambda_0)\varphi(\boldsymbol{w})</math>.

נגדיר <math>\psi : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n</math>

<math>\psi(\boldsymbol{u}) = \lambda_0\boldsymbol{u} + (1-\lambda_0)\varphi(\boldsymbol{w})</math>

נשים לב ש:

# <math>\lVert \psi(\boldsymbol{u}) - \psi(\boldsymbol{w}) \rVert = \lambda_0\lVert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} \rVert</math>
# <math>\psi(\boldsymbol{w}) = \boldsymbol{z_0}</math>

מאחר ש<math>\boldsymbol{w}\in B(\boldsymbol{x},r_0)</math> אז קיים <math>r_1>0</math> כך ש<math>B(\boldsymbol{w},r_1)\subset B(\boldsymbol{x},r_0) \subset \Omega</math>.

כמו קודם, <math>\psi</math> יוצרת קשר [[פונקציה חד-חד-ערכית|חח"ע]] [[פונקציה על|ועל]] בין <math>B(\boldsymbol{w},r_1)</math> לבין <math>B(\boldsymbol{z_0}, \lambda_0r_1)</math>.

אבל אם <math>\boldsymbol{u}\in B(\boldsymbol{w},r_1)</math> אז <math>\psi(\boldsymbol{u}) \in \Omega</math> (כי <math>\boldsymbol{u} \in \Omega</math> וגם <math>\varphi(\boldsymbol{w}) \in \Omega</math> ו- <math>0<\lambda_0<1</math>).

כלומר <math>B(\boldsymbol{z_0},\lambda_0r_1) \subset \Omega</math> שזה גורר <math>\boldsymbol{z_0} \in \Omega^{\circ}</math>.

== לקריאה נוספת ==
{{ltr|1=
* A. L. Peressini,  F. E. Sullivan J. J. Uhl, Jr. '''[https://archive.org/details/mathematicsofnon00per_k0z/page/164/mode/2up The Mathematics of Nonlinear Programming]''' p.164-165
}}

[[קטגוריה:אופטימיזציה רציפה]]
[[קטגוריה:למות]]