הצגת המקור של הדף "מבוא לניתוח האינסוף"

{{ספר}}
[[קובץ:hyperbola E.svg|ממוזער|שמאל|[[E (קבוע מתמטי)|מספר אוילר]] '''e''' הוא כזה שהשטח המוצלל שווה ל-1, כפי שאוילר הגדיר בפרק 7 של חיבורו.]]
'''מבוא לניתוח האינסוף''' (ב[[לטינית]]: Introductio in analysin infinitorum) הוא חיבור בעל שני כרכים של ה[[מתמטיקאי]] [[לאונרד אוילר]], שהניח רבים מהיסודות ל[[אנליזה מתמטית]]. הוא נכתב בלטינית ופורסם ב-1748, והכיל 18 פרקים בכרך הראשון ו-22 פרקים בכרך השני. [[היסטוריה של המדע|היסטוריון המדע]] Carl Boyer  השווה בין ההשפעה של חיבורו זה של אוילר לזו של [[יסודות (ספר)|היסודות]] של [[אוקלידס]], וקרא ליסודות "הטקסט המתמטי החשוב ביותר של העת העתיקה" ולחיבורו של אוילר "הטקסט החשוב ביותר של הזמנים המודרניים". Boyer כתב גם:
{{ציטוט|"האנליזה של אוילר קרובה לגישה המודרנית החוקרת פונקציות באמצעות תהליכים אינסופיים, במיוחד באמצעות טורים אינסופיים. אני מטיל ספק בכך שקיים חיבור מדעי אחר למטרות חינוך אשר מכיל כמות כה נכבדה של עבודה מקורית ששרדה בקורסים מתמטיים בימינו... החיבור ניתן לקריאה בקלות יחסית על ידי התלמיד המודרני... זהו האב-טיפוס של הטקסט המתמטי המודרני".}}

התרגום הראשון שלו לאנגלית נעשה ב-1988 על ידי ג'ון ד. בלאנטון. התרגום השני שלו, על ידי איאן ברוס, זמין ברשת. 

הפרק הראשון הוא על מושגי היסוד של [[משתנה|משתנים]] ו[[פונקציה|פונקציות]]. פרק 4 מציג [[טור אינסופי|טורים אינסופיים]] באמצעות [[פונקציה רציונלית|פונקציות רציונליות]]. לפי  Henk Bos:
{{ציטוט|"מבוא לניתוח האינסוף מיועד להיות סקירה של מושגים ושיטות מאנליזה וגאומטריה אנליטית הקודמים ללימוד החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. אוילר הפך את הסקירה הזאת לתרגיל מאלף בהצגת מספר רב ככל האפשר של מושגים ושיטות מאנליזה מבלי להשתמש בגזירה או אינטגרציה. הוא הציג את הפונקציות הטרנסצנדנטיות האלמנטריות, הלוגריתם, הפונקציה האקספוננציאלית, והפונקציות הטריגונומטריות וההפוכות להן מבלי להישען על חשבון אינטגרלי – דבר שהוא בבחינת הישג, שכן הלוגריתם קושר באופן מסורתי לתרבוע ההיפרבולה והפונקציות הטריגונומטריות לאורך הקשת של המעגל."}}

אוילר השיג זאת באמצעות התייחסות ל[[פונקציה מעריכית|פונקציה המעריכית]] ''a''<sup>''x''</sup> לפי בסיס שרירותי ''a'' מהמספרים הממשיים החיוביים. הוא ציין שהפונקציה המוגדרת בדרך זאת אינה פונקציה אלגברית של x, אלא פונקציה טרנסצנדנטית. בעבור a'' > 1'' הפונקציות הללו הן מונוטוניות עולות ומהוות [[פונקציה חד-חד ערכית ועל|התאמה חד-חד ערכית ועל]] מהישר הממשי למספרים הממשיים החיוביים. לאחר מכן הוא מכנה בפרק 6 לכל בסיס a את הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית "ה[[לוגריתם]] לפי בסיס a".  בפרק 7, אוילר מגדיר את e כמספר אשר הלוגריתם ההיפרבולי שלו הוא 1. הרפרנס כאן הוא ל[[גרגואיר דה סנט וינסנט]] אשר ערך [[תרבוע (מתמטיקה)|תרבוע]] של ה[[היפרבולה]] ''y'' = 1/''x'' באמצעות תיאור של הלוגריתם ההיפרבולי. בחלק 122 הוא מתייג את הלוגריתם לפי בסיס e "כלוגריתם הטבעי או הלוגריתם ההיפרבולי... ומכיוון שתרבוע ההיפרבולה ניתן לביטוי באמצעות הלוגריתמים הללו". כאן הוא מביא גם את הטור האינסופי:

<math>\exp(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} {z^k \over k!} = 1 + z + {z^2 \over 2} + {z^3 \over 6} + {z^4 \over 24} + \cdots</math>

אז בפרק 8 אוילר מציג את הפונקציות הטריגונומטריות הקלאסיות "כפונקציות טרנסצנדנטיות הנובעות מהמעגל". הוא מציג את [[מעגל היחידה]], וגוזר את [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת]]. פרק 9 עוסק בגורמים [[טרינום|טרינומיים]] של [[פולינום|משוואות פולינומיות]]. פרק 16 עוסק ב[[פונקציית החלוקה (תורת המספרים)|חלוקות של מספרים]], נושא מרכזי בתורת המספרים. [[שבר משולב|שברים משולבים]] נידונים בפרק 18.

== תוכן העניינים של החיבור ==
{{להשלים|נושא=ספרות|נושא2=מדעי הטבע}}
=== ספר ראשון ===
'''פרק 1:''' '''על סוגי הפונקציות.'''

'''פרק 2:''' '''טרנספורמציות של פונקציות.''' 

'''פרק 3:''' '''טרנספורמציות של פונקציות על ידי הצבות.'''

'''פרק 4:''' '''פיתוח של פונקציות על ידי טורים אינסופיים.'''

'''פרק 5:''' '''פונקציות של שני משתנים או יותר.'''

'''פרק 6:''' '''בנוגע לפונקציות אקספוננציאליות או לוגריתמיות.'''

'''פרק 7:''' '''פיתוח פונקציות לוגריתמיות ואקספוננציאליות לטורים.'''

'''פרק 8:''' '''על גדלים טרנסצנדנטיים הנגזרים מהמעגל.'''

'''פרק 9:''' '''בנוגע לחקירת גורמים טרינומיים.'''

'''פרק 10:''' '''בנוגע לשימוש בגורמים שנמצאו מקודם לצורך הגדרת סכומים של טורים אינסופיים.'''

'''פרק 11:''' '''בנוגע למכפלות אינסופיות של סינוסים.'''

'''פרק 12:''' '''בנוגע לפיתוח של פונקציות שבריות.'''

'''פרק 13:''' '''על טורים המוגדרים על ידי יחס נסיגה.'''

'''פרק 14:''' '''על הכפלה וחלוקה של זוויות.'''

'''פרק 15:''' '''טורים הנגזרים מפיתוח של גורמים.'''

'''פרק 16:''' '''בנוגע לחלוקות של מספרים.'''

'''פרק 17:''' '''השימוש בטורי נסיגה לצורך חקירת שורשים של משוואות.'''

'''פרק 18:''' '''שברים משולבים.'''

הנושאים שנידונים בספר הראשון כוללים: הגדרת הפונקציה וההבחנה בין [[פונקציה רב-ערכית|פונקציות רב-ערכיות]] ופונקציות חד-ערכיות ובין פונקציות אי-זוגיות ל[[פונקציה זוגית|פונקציות זוגיות]] (בפרק 1). נידונות בו בעיות של פירוק פולינומים לגורמים הקשורות ל[[המשפט היסודי של האלגברה|משפט היסודי של האלגברה]], טכניקות וזהויות אנליטיות שונות הכוללות: הצבות, טורים אינסופיים, פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמים, פיתוח ל[[שבר חלקי|שברים חלקיים]], [[זהויות טריגונומטריות]] הקשורות למכפלות וסכומים ארוכים של סינוסים של זוויות שונות, כמו גם תוצאות חשובות ומתקדמות יותר כגון חישוב הערכים הטבעיים הזוגיים של [[פונקציית זטא]] <math>\zeta(2k)</math> ([[בעיית בזל]] המוכללת), זהויות על מכפלות וטורים אינסופיים, ותוצאות רבות על [[פונקציית החלוקה (תורת המספרים)|חלוקות של מספרים]]. חלק גדול מהפרקים האחרונים של הספר הראשון מוקדש לפיתוח הטכניקות האנליטיות של [[פונקציה יוצרת|פונקציות יוצרות]] ו[[שבר משולב|שברים משולב]]ים. 

=== ספר שני ===
הספר השני עוסק בעיקר במיון [[עקום אלגברי|עקומים אלגבריים]]: אוילר עוסק בו בתאוריה שמאחורי [[חתך חרוט|חתכי חרוט]] וממשיך את מיון ה[[עקום מעוקב|עקומים המעוקבים]] של ניוטון - בין היתר הוא ממיין עקומים ממעלה רביעית ומפשט את המיון של ניוטון (של עקומים מעוקבים) באמצעות שלל הגדרות ומושגים חדשים.

=== נספחים על משטחים ===

== ראו גם ==
* [[לאונרד אוילר]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:ספרי מתמטיקה]]