הצגת המקור של הדף "מבחן Z"

ב[[הסקה סטטיסטית]], '''מבחן Z''' הוא כל מבחן ל[[בדיקת השערות]] שבו [[סטטיסטי מבחן|סטטיסטי המבחן]] [[התפלגות נורמלית|מתפלגת נורמלית]] תחת השערת האפס, בקירוב או במדויק. בזכות [[משפט הגבול המרכזי]] הרבה מבחנים סטטיסטיים הם בקירוב בעלי [[התפלגות]] נורמלית, עבור גודלי מדגם גדולים. לכן, כאשר שונות האוכלוסייה ידועה או שגודל המדגם [[גדול מספיק]], ניתן לחשב מבחנים סטטיסטיים רבים כמבחני-Z בקירוב. אם, לעומת זאת, שונות האוכלוסייה איננה ידועה (וצריך לאמוד אותה מהמדגם עצמו), גודל המדגם איננו גדול (<math>n\le30</math>), והנתונים מהם מחושב הממוצע מגיעים מהתפלגות נורמלית, אזי [[מבחן t]] יתאים יותר.

== ביצוע מבחן Z ==
אם T הוא סטטיסטי אשר מתפלג בקירוב נורמלי תחת השערת האפס, השלב הבא בביצוע מבחן Z הוא לחשב את ה[[תוחלת]] μ ואת [[סטיית תקן|סטיית התקן]] σ של T תחת השערת האפס. לאחר מכן מחושב [[ציון תקן|ציון התקן]] <math>Z=(T-\mu)/\sigma</math>, ממנו ניתן לחשב את [[ערך-p]], אשר מחושב אחרת עבור מבחן חד-צדדי או דו-צדדי: 
* <math>\Phi(-Z)</math> עבור השערה חד-צדדית עליונה ("ימנית")
* <math>\Phi(Z)</math> עבור השערה חד-צדדית תחתונה ("שמאלית")
* <math>2\Phi(-|Z|)</math> עבור השערה דו-צדדית
כאשר <math>\Phi</math> היא [[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] המצטברת של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

== שימוש עבור בדיקת השערות פשוטות ==
שימוש נפוץ במבחן Z מצוי בבדיקת השערות פשוטות, כלומר, כאשר ההשערות קובעות במפורש את התוחלת של התפלגות מסוימת לקבוע כלשהו. אם אוסף התצפיות X<sub>1</sub>,...,X<sub>n</sub> הן (i) בלתי תלויות, (ii) בעלות תוחלת זהה <math>\mu</math> ו-(iii) בעלות שונות זהה <math>\sigma^2</math>, אזי ממוצע המדגם <span style="text-decoration: overline">''X''</span> מתפלג נורמלית (בקירוב או במדויק, כתלות בהתפלגות הנתונים) עם תוחלת <math>\mu</math> ושונות <math>\sigma^2/n</math>. 
על מנת לחשב את הסטטיסטי המתוקנן <math>Z =\left(\bar{X} - \mu_0\right) / \sigma^2</math>, צריך לדעת את השונות. אם השונות איננה ידועה, וגודל המדגם מספיק גדול, ניתן להחליף את השונות בשונות המדגם. המבחן לא יהיה בדיוק מבחן Z, מאחר שאנו לא מתחשבים באי-הוודאות כתוצאה משונות המדגם, אך הוא יהיה קירוב טוב, אלא אם כן גודל המדגם הוא קטן.
== דוגמה ==
נניח שבמדינה מסוימת התוחלת של ציוני מבחנים בלשון היא 90 נקודות, וסטיית התקן שלהם היא 12 נקודות. המדגם שלנו מורכב מ-55 תלמידים בבית ספר מסוים שקיבלו ציון ממוצע של 86. האם ממוצע זה נמוך משמעותית מממוצע הציונים במדינה? [[השערת האפס]] שלנו היא כי 55 התלמידים ניתנים להשוואה לאוכלוסיית כל תלמידי המדינה (כלומר, ממוצע זה אינו נמוך משמעותית מממוצע הציונים במדינה).
נתחיל על ידי חישוב [[שגיאת תקן|שגיאת התקן]] של הממוצע:
:<math>\mathrm{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt n} = \frac{12}{\sqrt{55}} = \frac{12}{7.42} = 1.62 \,\!</math>
כאשר <math>\sigma</math> היא סטיית התקן של האוכלוסייה.
לאחר מכן נחשב את ציון התקן Z:
:<math>z = \frac{M - \mu}{\mathrm{SE}} = \frac{86 - 90}{1.62} = -2.47 \,\!</math>
בדוגמה זו, אנו מתייחסים לתוחלת ושונות האוכלוסייה כאל ידועים, דבר שהיה יכול להתרחש אם כל התלמידים במדינה היו נבדקים. כאשר פרמטרי האוכלוסייה אינם ידועים, ניתן לבצע מבחן t במקום.
כאשר בודקים את התוצאה של ציון התקן Z בטבלה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, אנו מוצאים כי ההסתברות למצוא ערך מתחת ל-2.47- היא בערך 0.0068=0.5-0.4932. זוהי תוצאה עבור ערך-p חד-צדדי. ערך-p דו-צדדי הוא בערך 0.014 (פי שניים מהערך החד-צדדי).

== ראו גם ==
* [[מבחן t]]

[[קטגוריה:מבחנים סטטיסטיים]]