הצגת המקור של הדף "מבחן t"

{{להשלים|כל הערך=כן|נושא=מדעי החברה|נושא2=מדע וטכנולוגיה}}

'''מבחן t''' ב[[סטטיסטיקה]] הוא שם כולל למספר [[מבחן השערות|מבחנים סטטיסטיים]] העוסקים בהשערות על ה[[תוחלת]] של נתונים המגיעים מ[[התפלגות נורמלית]], כאשר ה[[שונות]] אינה ידועה.

במבחנים אלו, [[סטטיסטי]] המבחן מתפלג ב[[התפלגות t]] בהינתן ש[[השערת האפס]] <math>H_0</math> נכונה. אם ה[[מדגם]] גדול, מקובל להחליף את המבחן בקירוב שבו מניחים שהשונות של ה[[אוכלוסייה]] שווה לשונות המדגם.

מבחני t מכונים גם '''מבחני סטודנט''' על פי [[שם עט|שם העט]] של החוקר [[ויליאם גוסט]]{{אנ|William Sealy Gosset}} שפיתח אותם. ניתן לנצל אותם רק במידה והנתונים מקיימים [[התפלגות נורמלית]]. במקרים אחרים ניתן לנצל מבחנים שפותחו על ידי [[פרנק וילקוקסון]].

== סוגי מבחן t ==
ישנם שלושה סוגים של מבחן t:

* '''מבחן t למדגם יחיד'''. מבחן זה מסייע לבדוק האם הממוצע באוכלוסייה שמתוכה המדגם שונה באופן מובהק מערך קבוע כלשהו. שימוש לדוגמה במבחן t למדגם יחיד: בדיקה האם ילדים נמצאים בטווח ההתפתחות התקינה במדד כלשהו, כאשר הערך שממנו ומעלה ההתפתחות נחשבת לתקינה ידוע ותוקף במחקרים קודמים. 
* '''מבחן t למדגמים בלתי תלויים'''. מבחן זה משמש לבדיקה האם הממוצעים בשתי קבוצות נפרדות שונים זה מזה באופן מובהק. דוגמה לשימוש במבחן t למדגמים בלתי תלויים: בדיקה האם יש הבדל מובהק ברמת ההתפתחות בין שתי קבוצות ילדים שונות. 
* '''מבחן t למדגמים מזווגים'''. מבחן זה משמש לבדיקה האם יש הבדל בין שני משתנים כאשר המקרים קשורים זה בזה, ולא בקבוצות נפרדות כמו במבחן t למדגמים בלתי תלויים. דוגמה לשימוש במבחן t למדגמים מזווגים: בדיקה האם יש הבדל מובהק בתנובה הממוצעת של חלקות לפני ואחרי מתן דשן. 

== שימושים עיקריים למבחני t ==
* בדיקת השערות על ההפרש בין התוחלות של שתי אוכלוסיות (בהינתן מדגם מזו ומדגם מזו). (הגרסה שבה אין מניחים כי השונויות של האוכלוסיות השונות שוות נקראת לעיתים [[מבחן ולץ']]).
* בדיקת השערות על ההפרש בין תוחלות של זוג משתנים, בהינתן מדגם של זוגות.
* בדיקת השערות בנוגע ל[[מתאם|קורלציה]] בין שני [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]].

== דוגמה: בדיקת השערות על תוחלת של אוכלוסייה ==
מעוניינים לבדוק את השערת האפס, לפיה אוכלוסייה המגיעה מההתפלגות הנורמלית, מתפלגת עם תוחלת :<math>H_0: \mu = \mu_0</math>, כאשר השונות <math>\sigma^2</math> אינה ידועה. בהינתן מדגם מתוך האוכלוסייה, <math>x_1,\dots,x_n</math> (של תצפיות שהן בלתי תלויות ושוות התפלגות), רוצים לדחות או לקבל את ההשערה ש-<math>\mu = \mu_0</math> עבור <math>\mu_0</math>  נתון כלשהו.

לשם ההמשך, נסמן:
* ההשערה החלופית, <math>H_1:\mu \neq \mu_0</math>
* ממוצע המדגם: <math>\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i</math>.
* [[סטיית תקן|סטיית התקן]] שנאמדה מתוך המדגם: <math>S_x</math>

בסימונים אלו, אם מתקיימת <math>H_0</math>, אז הסטטיסטי  <math>\frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}</math> יתפלג לפי [[התפלגות נורמלית סטנדרטית]] (ראו [[משפט הגבול המרכזי]]). אולם, היות שהשונות <math>\sigma^2</math> אינה ידועה, לא ניתן להשתמש בסטטיסטי זה.

עם זאת, ניתן להשתמש בסטטיסטי העושה שימוש באמד חסר הטיה לשונות המחושב מתוך המדגם: <math>\frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}}</math>. מכיוון שהמכנה אינו קבוע, סטטיסטי זה אינו מתפלג [[התפלגות נורמלית|נורמלית]]; ההתפלגות שלו היא [[התפלגות t]], עם <math>n-1</math> דרגות חופש.

נותר רק לקבוע את ערך הסף, T, של הסטטיסטי לדחיית <math>H_0</math> עבור שגיאת <math>\alpha</math> ([[מבחן השערות|לשגיאה מהסוג הראשון]]), כלשהי:

<math>\mathbb{P}\left( -T < \frac{\bar{X} - \mu_0}{S_x} < T  \right) = 1 - \alpha \Rightarrow T= t_{(n-1), 1-\frac{\alpha}{2}} </math>

כלומר,

<math>
\begin{align}
\mathbb{P}\left( -t_{(n-1), 1-\frac{\alpha}{2}} < \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}} < t_{(n-1),1-\frac{\alpha}{2}} \right) 

\end{align}
</math>

לפי המבחן שחושב, בהתקבל מדגם, תידחה <math>H_0</math> אם <math> \left|\frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{S_x}{\sqrt{n}}}\right| > t_{(n-1), 1-\frac{\alpha}{2}}</math>.

====הערה====
[[התפלגות t]] מתכנסת [[התפלגות נורמלית|להתפלגות נורמלית]] ככל שמספר דרגות החופש גדל. לכן עבור מדגם גדול (מקובל להסתפק ב-<math>30 < n</math>) הסטטיסטי המתואר מתפלג בקירוב על פי [[התפלגות נורמלית סטנדרטית]].

==קישורים חיצוניים==
* {{בריטניקה}}
* [https://analysis4u.co.il/student-research-services/student-services/glossary/t-test/ מבחן t], באתר [https://analysis4u.co.il/ Analysis4U.co.il] '''(בעברית)'''

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מבחנים סטטיסטיים]]