הצגת המקור של הדף "מודול אי-פריד"

ב[[מתמטיקה]], '''מודול אי-פריד''' הוא [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] שאינו מתפרק ל[[סכום ישר]] של שני תת-מודולים. מודולים אלה הם אבני היסוד של [[הצגה (אלגברה)|תורת ההצגות]] של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברות]]. כל [[מודול ארטיני]] או [[מודול נתרי|נתרי]] הוא סכום ישר של מספר סופי של מודולים אי-פרידים. מודול בעל אורך סופי אפשר לפרק לסכום ישר של מודולים אי-פרידים באופן יחיד עד כדי סדר ([[משפט קרול-רמק-שמידט]]).

מודולים אי-פרידים שהם [[מודול אינג'קטיבי|אינג'קטיביים]] אפשר לתאר באמצעות ה[[אידיאל ראשוני|אידיאלים הראשוניים]] של החוג.

== טיפוס ההצגות של אלגברה ==
ל[[חוג ארטיני]] יש מספר סופי של [[מודול פשוט|מודולים פשוטים]] (עד כדי איזומורפיזם). זהו גם מספרם של המודולים האינג'קטיביים האי-פרידים, ושל ה[[מודול פרויקטיבי|מודולים הפרויקטיביים]] האי-פרידים. עם זאת, מספרם של המודולים האי-פרידים עשוי להיות אינסופי.

אומרים שלאלגברה יש '''טיפוס הצגות סופי''' אם יש לה מספר סופי של מודולים אי-פרידים מממד סופי. לדוגמה, כל [[חוג פשוט למחצה|אלגברה פשוטה למחצה]] היא בעלת טיפוס הצגות סופי. לפי '''משפט Auslander''', כל מודול אי-פריד של אלגברה סוף-ממדית מטיפוס סופי הוא מממד סופי. לפי '''משפט Roiter''', אם האורך של מודולים אי-פרידים של אלגברה סוף-ממדית הוא חסום, אז היא מטיפוס סופי.

לאלגברה יש '''טיפוס הצגות מבוית''' (tame) אם לכל <math>n</math>, כל ההצגות האי-פרידות מממד <math>n</math> שייכות למספר סופי של משפחות חד-פרמטריות. (הגדרה זו כוללת גם את האלגברות בעלות טיפוס סופי). הדוגמה היסודית היא חוג הפולינומים במשתנה אחד, בהתאמה למיון של [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]] לפי [[צורת ז'ורדן|צורות ז'ורדן]]. גם ל-<math>k[x,y]/\langle x^2,y^2 \rangle</math> יש טיפוס הצגות מבוית (קרונקר, 1896; תורת ההצגות שקולה למיון של זוגות מטריצות עד כדי שקילות{{הערה|A,B שקולות אם יש P,Q הפיכות כך ש-B=PAQ}} סימולטנית).

לאלגברה <math>A</math> יש '''טיפוס הצגות פראי''' (wild) אם תורת ההצגות שלה אינה [[פונקציה חישובית|כריעה חישובית]]. במקרה זה קטגוריית ההצגות של כל אלגברה מממד סופי משוכנת בזו של <math>A</math>, כך שאין תקווה למיין את ההצגות של <math>A</math>. לדוגמה, לאלגברה <math>D=k[x,y]/\langle x^2,xy^2,y^3 \rangle</math> יש טיפוס הצגות פראי, וממילא כך גם לאלגברה החופשית ולאלגברת הפולינומים (בשני יוצרים או יותר), שהרי <math>D</math> היא מנה שלהם. לכל אלגברה מממד סופי יש טיפוס הצגות סופי, מבוית או פראי (Drozd, 1977).

=== טיפוס ההצגות של אלגברת חבורה ===
ל[[אלגברת חבורה]] <math>F[G]</math> יש טיפוס הצגות סופי אם ורק אם המאפיין הוא אפס, או שהמאפיין הוא <math>p</math> ותת-חבורות p-סילו של <math>G</math> הן ציקליות. אם <math>F</math> אינסופי, ל-<math>F[G]</math> יש טיפוס הצגות מבוית אם ורק אם המאפיין הוא 2, ותת-חבורות 2-סילו הן ציקליות, [[חבורה דיהדרלית|דיהדרליות]], דיהדרליות-למחצה{{הערה|חבורה דיהדרלית למחצה מסדר <math> N = 2^n</math> [[ייצוג על ידי יוצרים ויחסים|מיוצגת]] כך: <math>\langle \sigma,\tau \,|\, \sigma^{N/2} = \tau^2 = 1,\, \tau \sigma \tau^{-1} = \sigma^{N/4}\sigma^{-1}\rangle</math>}} או קווטרניונים מוכללים (Higman).

=== טיפוס ההצגות של אלגברת קוויבר ===

מסיבות היסטוריות, [[גרף מכוון]] (עם לולאות וקשתות מרובות) נקרא בתורת ההצגות '''קוויבר''' (quiver). '''אלגברת הקוויבר''' היא המרחב הנפרש על ידי כל המסלולים בגרף (לרבות מסלולים באורך 0, היינו קודקודים), עם פעולת הכפל על ידי הדבקת מסלולים (אם המסלולים אינם ממשיכים זה את זה, מכפלתם אפס). אלו [[אלגברה בסיסית (תורת ההצגות)|אלגברות בסיסיות]] (כל מודול פשוט הוא חד-ממדי). כל אלגברה מממד סופי [[שקילות מוריטה|שקולת-מוריטה]] למנה של אלגברת קוויבר.

'''משפט גבריאל''' (1972) ממיין את טיפוס ההצגות של אלגברות קוויבר: לאלגברה <math>FQ</math> יש טיפוס הצגות מבוית אם ורק אם (כאשר שוכחים את כיווני החצים) <math>Q</math> הוא איחוד זר של גרפים שהם [[דיאגרמת דינקין|דיאגרמות דינקין]] מהטיפוסים <math>A_n</math>, <math>B_n</math>, או <math>E_n</math> (עבור <math>n=6,7,8</math>).

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:תורת המודולים]]