הצגת המקור של הדף "מודל הודג'קין-האקסלי"

{{להשלים|כל הערך=כן|נושא=מדעי הטבע}}
{{לשכתב|חצי מהערך כתוב עדיין באנגלית ומוסתר. יש שימוש בתבניות שלא קיימות בכלל בוויקיפדיה העברית|נושא=מדעי הטבע|כל הערך=כן}}
<ref name=":0" />'''מודל הודג'קין-הקסלי''' מתאר את התגובה ה[[חשמל]]ית של [[תא עצב|תאי עצב]] ומסביר את אופן היווצרותם של [[דחף עצבי|דחפים עצביים]], עליהם מתבססת התקשורת העצבית. המודל פורסם בשנת [[1952]] על ידי [[אלן הודג'קין]] ו[[אנדרו הקסלי]], על יסוד מחקר שביצעו על תכונותיהם החשמליות של [[אקסון (סיב עצבי)|סיבים עצביים]] ב[[דיונונים]]. עבודה זו,{{הערה|1=Hodgkin, A., and Huxley, A. (1952): '''A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve'''. ''J. Physiol.'' '''117''':500–544. {{PMID|12991237}}}} הנחשבת לגולת הכותרת של תקופת ה[[ביופיזיקה]] הקלאסית, זיכתה את השניים ב[[פרס נובל לפיזיולוגיה או לרפואה]] לשנת [[1963]].

המודל מבוסס על מערכת [[משוואות דיפרנציאליות רגילות]] לא ליניאריות, המקרבות את התכונות החשמליות של [[קרום תא|קרום התא]]. הוא תקף לכל סוגי התאים בכל היצורים החיים, אך השלכותיו מעניינות במיוחד עבור [[מערכת העצבים]].

==פיתוח המודל==
===רקע===
[[דחף עצבי]] הוא פעימה של [[מתח חשמלי]] המתקדמת לאורך הסיב העצבי. בסוף [[המאה ה-18]] זיהה [[לואיג'י גלווני|גלווני]] לראשונה כי מדובר בתופעה חשמלית. בשנת [[1872]] זיהה [[לודימר הרמן]] ([[:en:Ludimar Hermann|Ludimar Hermann]]) כי פעימת המתח החשמלי לאורך הסיב העצבי מלווה במעבר [[זרם חשמלי]] דרך הרקמה שתיוודע לימים בשם [[קרום תא|קרום]] הסיב.{{הערה|1=Hermann, Ludimar. 1872. Grundriss der Physiologie des Menschen. 4., verbesserte und vermehrte Auflage. Berlin: Hirschwald}} בשנת [[1905]] הציע הרמן כי הדחף העצבי מתקדם בסיב באופן סביל, כמו אות [[טלגרף]] ב[[כבל תקשורת תת-ימי|כבל תת-ימי]]. 'תורת הכבל' של הרמן', המנתחת את אופן התפשטותו של אות חשמלי בסיב ה[[מבודד חשמלי]]ת על ידי ציפויו, עדיין נמצאת בשימוש בימינו. עם זאת, עד [[שנות ה-30 של המאה ה-20]] נתקלה הצעתו בספקנות מצד [[פיזיולוגיה|פיזיולוגים]] עמיתים, שהציעו מנגנונים אחרים להולכת הדחף העצבי ואף ראו בזרמים החשמליים [[תוצר לוואי]] של התפשטות [[כימיקל]]ים הנושאים את המידע העצבי. למעשה, היו שחלקו על עצם קיומו של [[קרום התא]], שהוצע על ידי יוליוס ברנשטיין (Julius Bernstein) בשנת [[1901]].{{הערה|1=[http://www.springerlink.com/content/k48n2r77005p8260/ Die Energie des Muskels als Oberflächenenergie - Springer]{{כותרת קישור נוצרה על ידי בוט}}}}{{הערה|1=Hille, B. (2001): Ionic Channels of Excitable Membranes (3rd ed.). Sinauer Associates, Inc., Sunderland, MA. {{ISBN|0-87893-321-2}}}}

בשנת [[1923]] החל הביופיזיקאי האמריקני קנת' ס. קול ([[:en:Kenneth_S._Cole|Kenneth_S._Cole]]) לנתח את התכונות החשמליות של קרום התא, על ידי מדידת [[עכבה חשמלית|העכבה החשמלית]] של תאים בודדים. התאים הושמו בין שני [[אלקטרודה|הדקיו]] של [[גשר ויטסטון]] והעכבות שנמדדו שימשו לבניית [[מעגל תמורה]] חשמלי המורכב מנגדים וקבלים, המייצגים את הקרום והתמיסות התוך-תאית והחוץ-תאית.

בשנת [[1935]] החל הודג'קין לחקור את התכונות החשמליות של עצב ה[[אגן#שת|שת]] של [[צפרדע]]ים.
תכונותיו החשמליות של [[אקסון (סיב עצבי)|סיב עצבי]] ענק של [[דיונונים|דיונון]] ממין ''Loligo pealeii''.

בשנת 1939פרסם [[ברנרד כץ]] (Bernars katz) את הספר Electronic Excitation Nerve <ref>{{קישור כללי|כתובת=https://wellcomecollection.org/works/q5t59w36|כותרת=Electric excitation of nerve : a review, / by Bernard Katz.|אתר=Wellcome Collection|שפה=en|תאריך_וידוא=2025-03-13}}</ref> ושם תיאר את כל שהיה ידוע עד אז על הולכת המתח בנוירון. מאוחר יותר עסק כץ בעיקר בהולה הסינפטית. 
<!--

ולא לשכוח את [[ברנרד כץ]] ו[[דוד גולדמן]].
 -->

==הבסיס הפיזיולוגי של המודל==
כל [[תעלת יונים]] היא [[תצמיד]] של מספר תת-יחידות [[חלבון|חלבוניות]] הטבולות בקרום התא וביניהן נִקבה חלולה, דרכה מסוגלים [[יון|יונים]] לעבור. הניקבה בנויה כך שהולכה של יונים מסוג מסוים (למשל [[אשלגן]], [[נתרן]], [[כלור]] או [[סידן]]) מתבצעת ביעילות גבוהה הרבה יותר מאשר יונים אחרים. כל אחת מתת-היחידות המרכיבות את התעלה מצוידת ב[[מחוש]] רגיש למתח, המצומד מכנית לקצה התוך-תאי של תת-היחידה. שינוי הממתח החשמלי על פני קרום התא מביא לתזוזה של המחוש, המביאה בתורה לשינוי [[קונפורמציה|הסידור המרחבי]] של הקצה התוך-תאי של תת-היחידה, המכונה בהתאם ''שער''. התעלה פתוחה להולכת יונים רק כשכל השערים עליה עוברים למצב פתוח, כלומר מפנים את הכניסה לנקבה.

זרם היונים דרך תעלת יונים בודדת תלוי במוליכותה ובממתח החשמלי על פניה. מוליכות קרום התא ליונים אלה תתקבל כמכפלה (או אינטגרל) של מוליכות התעלה הבודדת בצפיפות התעלות הפתוחות:

==מרכיבי המודל==
[[קובץ:HH model circuit.PNG|שמאל|ממוזער|550px|מרכיביו של מודל הודג'קין-הקסלי. מעגל התמורה החשמלי מייצג את תכונותיו החשמליות של קרום התא. קיבול הקרום ליחידת שטח מסומל על ידי C<SUB>m</SUB>. בקירוב טוב, מוליכות הקרום ליוני כלור g<SUB>Cl</SUB> אינה תלויה במתח על פניו. לעומת זאת, מוליכות הקרום ליוני אשלגן g<SUB>K</SUB> ונתרן g<SUB>Na</SUB> תלויה באופן לא-ליניארי במתח. זרם הזליגה I<SUB>Leak</SUB> מוזנח לרוב. הפוטנציאלים החשמליים V<sub>i</sub> שיוצרים מפלי הריכוזים של היונים מיוצגים על ידי מקורות מתח (סוללות חשמליות). כיווני הזרמים והמתח נבחרים באופן שרירותי מפנים התא החוצה.]]
מרכיבי המודל מצוינים באיור שמשמאל. תכונותיהם החשמליות של קרומי תאים מתוארות על ידי [[מעגל תמורה]] חשמלי, הבנוי מ[[נגד]]ים, [[קבל]], [[מקור מתח|מקורות מתח]] ו[[מקור זרם]]. מעגל התמורה מוגדר באופן הבא:
*הקיבול החשמלי של קרום התא ליחידת שטח מסומל על ידי C<sub>m</sub>. התרומה המרכזית לקיבוליות מגיעה מהשכבה ה[[הידרופוביות|הידרופובית]] הכפולה שבמרכז קרום התא, אותה ניתן לנתח כ[[קבל#קבל לוחות|קבל לוחות]] עם [[דיאלקטריות]] נמוכה יחסית ([[מקדם דיאלקטרי]] 2~ בשכבה שומנית לעומת 80~ ב[[מים]]).
*[[תעלות יונים]] הנפתחות באופן בלתי-תלוי בהפרש הפוטנציאלים החשמלי על פני הקרום נקראות [[תעלות זליגה]]. אלה תורמות רכיב קבוע g<SUB>L</SUB> ל[[מוליכות חשמלית|מוליכות]] קרום התא. ככל שצפיפות תעלות הזליגה עולה, כך גדלה מוליכות קרום התא g<SUB>L</SUB>, כמקרה פרטי של חיבור נגדים במקביל.
*תעלות יונים ממותגות-מתח תורמות רכיב לא-ליניארי למוליכות קרום התא. תעלות אלה נפתחות או נסגרות כ[[פונקציה]] של הממתח החשמלי על פני קרום התא. כך משמשות תעלות אלה כמתגים אלקטרוניים בקנה מידה [[מולקולה|מולקולרי]], בדומה לתפקידם של [[טרנזיסטור]]ים מלאכותיים. תעלות אשלגן אינן חדירות ליוני נתרן, לכן מפרידים בין המוליכות ליוני אשלגן g<SUB>K</SUB> לבין המוליכות g<SUB>Na</SUB> ליוני נתרן. 
*מפלי הריכוזים של היונים, בין ריכוזם התוך-תאי לריכוזם החוץ-תאי, מתורגמים בעזרת [[משוואת נרנסט]] לפוטנציאלים חשמליים. הפרשי פוטנציאלים אלה על פני קרום התא ניתן לייצג על ידי [[מקור מתח|מקורות מתח]] V<SUB>i</SUB>, בדומה לחיבור [[סוללה חשמלית|סוללות]] במעגל חשמלי.
*כיווני הזרמים והמתח נבחרים באופן שרירותי מפנים התא החוצה. זרמים בכיוון ההפוך נלקחים בחשבון בסימן הפוך. לפי המקובל, זרם קטיונים (יונים הטעונית במטען חיובי) אל תוך התא מסומן כזרם שלילי ואילו זרם קטיונים אל מחוץ לתא מסוכן כזרם חיובי. לכן זרם הנתרן (לתוך התא) ירשם כזרם שלילי וזרם האשלגן (אל מחוץ לתא) ירשם כזרם חיובי. היונים זורמים בתעלה על פי מפל הריכוזים. 

==משוואות המודל==
ה[[נגזרת]] הזמנית של מתח הקרום מתכונתית לזרם הכולל דרך קרום התא, בהתאם למשוואה הבאה:

=== <math display="block">\ \frac{dV_{m}}{dt}= -\frac{1}{C_m} (\sum\limits ^{}_{i} I_{i} ),</math> ===
כאשר I<sub>i</sub> מסמל את מרכיבי הזרם השונים. בקירוב טוב ניתן להתחשב בזרמים העיקריים - זרמי יוני נתרן ואשלגן - אליהם נוסיף זרם זליגה קטן I<sub>L</sub>:
<math display="block"> \frac{dV_{m}}{dt} = -\frac{1}{C_m} ( I_{K} + I_{Na} + I_{L}) </math>

כל אחד מזרמי היונים תלוי במוליכות הקרום לאותו יון ובממתח החשמלי V<sub>m</sub> על פני הקרום:
<math display="block"> I_{i} = g_{i} \cdot (V_{m}-V_{i}) </math>

כאשר V<sub>i</sub> הוא מתח נרנסט לאותו יון. באופן פרטני לכל אחד מהזרמים:
<div style="text-align: center;">

<math> I_{K} = g_{K} \cdot (V_{m}-V_{K}) </math>

<math> I_{Na} = g_{Na} \cdot (V_{m}-V_{Na}) </math>

<math> I_{L} = g_{L} \cdot (V_{m}-V_{L}) </math>.

</div>

הודג'קין והקסלי מדדו את זרמי הנתרן והאשלגן המתקבלים עבור ממתחים שונים על הקרום וכך חישבו את המוליכויות כפונקציות של המתח<math>\ g_{K}(V_{m}), g_{Na}(V_{m}) </math>. הם ניסו למצוא [[פונקציה|פונקציות]] פשוטות ככל הניתן שיתאימו לעקומי המוליכות שמדדו באופן [[ניסוי|נסיוני]]. הוצעה פונקציה מהתבנית הבאה:

<math display="block">{g}_{i}(V_m,t) = \bar{g}_i \phi^{k} \chi^{l}</math>

כאן <math>\bar{g}_i</math> הוא מקדם קבוע, k ו-l הם [[מספר שלם|מספרים שלמים]] ו-<math>\ \phi,\chi</math> הם משתנים שערכם נע בין אפס לאחד כפונקציה של מתח הקרום. משתנים אלה מכונים ''משתני מיתוג'' (gating variables). 

=== המוליכות לאשלגן ===
לפי המודל של הודג'קין והקסלי המוליכות לאשלן היא: 

<math display="block"> g_{K} = \bar{g}_{K} \cdot n^{4} </math>

המוליכות לאשלגן תלויה במתח. 

תעלות האשלגן נפתחות [[דפולריזציה|בדפולריזציה]]. פתיחה של תעלה לאשלגן נעשית באמצעות ארבעה מבנים הנמצאים בתוך התעלה, הם דומים זה לזה ולכל אחד מהם מטען חשמלי. המבנים האלה מכונים '''שערים (gates)''' כל שער נקרא n'''.''' כל שער יכול להיות פתוח או סגור. כדי שהתעלה תהיו פתוחה, '''כל ארבעת השערים צריכים להיות פתוחים'''. די שאחד מהם יהיה סגור, והתעלה לא תוליך זרם. 
[[קובץ:K channel.png|ממוזער|תעלת אשלגן ובה 4 שערי n]] 

ולכן במשוואה מופיע : <math display="block"> n^{4} </math>
 


כאשר מתח הממברנה קרוב למתח המנוחה, השערים יהיו במצב סגור. 

=== המוליכות לנתרן ===
לפי המודל של הודג'קין והקסלי המוליכות לנתרן היא: 


<math display="block"> g_{Na} = \bar{g}_{Na} \cdot m^{3} \cdot h </math>

פתיחת תעלות נתרן תוארה באמצעות שני משתני מיתוג, m ו-h:<ref name=":0">{{צ-ספר|מחבר=שמעונה גינצבורג|שם=תאי עצב - מבוא לנוירוביולוגיה
שיעור 4|מקום הוצאה=ישראל|מו"ל=האוניברסיטה הפתוחה|שנת הוצאה=1989|עמ=83-108}}</ref>

פתיחה של תעלה לנתרן נעשית באמצעות ארבעה מבנים הנמצאים בתוך התעלה, המבנים האלה מכונים '''שערים (gates).''' כל שער יכול להיות פתוח או סגור. כדי שהתעלה תהיו פתוחה, '''כל ארבעת השערים צריכים להיות פתוחים.''' די שאחד מבם יהיה סגור, והתעלה לא תוליך זרם. 

בתעלת הנתרן קיימים שני סוגים של שערים. שער h שנסגר עם השינוי במת ושלושה שערים מסוג m הנפתחים בדפולריזציה. 
[[קובץ:Na channel.png|ממוזער|תעלת נתרן ובה 3 שערי m ושער h אחד]]  

לכן במשוואה מופיע  

<math display="block"> 
 m^{3} \cdot h </math> 

כאשר מתח הממברנה קרוב למתח המנוחה, שערי m יהיו במצב סגור ואילו שער h יהיה פתוח.

כאשר מתי הממברנה משתנה למתח פחות שלילי, שערי m יעברו למצב פתוח ואילו שער h יעבור למצב סגור. זוהי האינאקטיבציה של התעלה. 


ניתן לטפל בכל שער כ[[אוטומט סופי דטרמיניסטי|מכונת מצבים]] עם שני מצבים: פתוח וסגור. תהי <math>\ \alpha_{i}(V_m)</math> ההסתברות לפתיחת שער סגור ו-<math>\ \beta_{i}(V_m)</math> ההסתברות לסגירת שער פתוח. מערכת המשוואות הבאה מתארת את הדינמיקה של משתני המיתוג:

<div style="text-align: center;">
<math> \frac{dn}{dt} = \alpha_{n}(V_m) \cdot (1-n) - \beta_{n}(V_m) \cdot n</math>

<math> \frac{dm}{dt} = \alpha_{m}(V_m) \cdot (1-m) - \beta_{m}(V_m) \cdot m</math>

<math> \frac{dh}{dt} = \alpha_{h}(V_m) \cdot (1-h) - \beta_{h}(V_m) \cdot h</math>
</div>

הוצעו פונקציות <math>\ \alpha_{i}(V_m), \beta_{i}(V_m)</math> מהצורה:
<div style="text-align: center;">

<math>\ \alpha_{i}(V_m) = \alpha_0 \cdot \frac{V_m-V_0}{\exp(\frac{V_m-V_0}{V_1})-1} </math>

<math>\ \beta_{i}(V_m) = \beta_0 \cdot \exp(\frac{V_m}{V_2}) </math>

<math>\ \alpha_{h}(V_m) = \alpha_{h0} \cdot \exp(\frac{V_m}{V_3}) </math>

<math>\ \beta_{h}(V_m) = \beta_{h0} \cdot \frac{1}{\exp(\frac{V_m-V_4}{V_1})+1} </math>

</div>

הפרמטרים במשוואות אלה נקבעו באופן אמפירי. עבור הסיב העצבי הענק של הדיונונים שבחנו הודג'קין והקסלי הותאמו הערכים הבאים:

<div style="text-align: center;">
<math>\ \alpha_{n}(V_m) = 0.01 \cdot \frac{V_m+10}{\exp(\frac{V_m+10}{10})-1} </math>

<math>\ \beta_{n}(V_m) = 0.125 \cdot \exp(\frac{V_m}{80}) </math>

<math>\ \alpha_{m}(V_m) = 0.1 \cdot \frac{V_m+25}{\exp(\frac{V_m+25}{10})-1} </math>

<math>\ \beta_{m}(V_m) = 4 \cdot \exp(\frac{V_m}{18}) </math>

<math>\ \alpha_{h}(V_m) = 0.07 \cdot \exp(\frac{V_m}{20}) </math>

<math>\ \beta_{h}(V_m) = 1 \cdot \frac{1}{\exp(\frac{V_m+30}{10})+1} </math>

כל הממתחים במילי[[וולט]]ים
</div>

מערכת המשוואות הלא-ליניאריות היא לרוב סבוכה מכדי לפתור אותה באופן אנליטי, למעט מקרי קצה מופשטים. הפתרון נמצא בדרך כלל באמצעות שיטות [[אנליזה נומרית|מספריות]]. עבור תאי עצב בודדים די בעוצמת החישוב של [[מחשב]] ביתי, אך להדמיית [[רשת עצבית|רשתות עצביות]] נדרשת [[עוצמת חישוב]] ניכרת ופישוט מקורב של מערכת המשוואות.
<!--
The postulated Gatingvariablen turned out later than genuine structure characteristic of the voltage-dependent ion channels. The sodium channel has five different conditions, from which only lets through sodium ions. With five conditions there are however four transitions, this (see above n4) Hodgkin and Huxley had already purely empirically discovered!
 -->
<!--

קרי במכפלת צפיפות התעלות (מספר התעלות ליחידת שטח) בשיעור התעלות הפתוחות. -->

===תקפות המודל===
המודל מבוסס על מערכת [[משוואות דיפרנציאליות רגילות]] לא-ליניאריות, המקרבות את התכונות החשמליות של [[קרום תא|קרומי תאים]] הניתנים לעירור, כדוגמת תאי עצב וסיבי [[שריר]] מיוגניים ב[[לב]].

==הכללה של המודל==

[[קובץ:Hodgkin-Huxley.jpg|שמאל|ממוזער|350px|מרכיביו העיקריים של מודל הודג'קין-הקסלי ונגזרותיו. מעגל התמורה החשמלי מייצג את תכונותיו החשמליות של קרום תא. קיבול הקרום ליחידת שטח מסומל על ידי (C<SUB>m</SUB>). המוליכות החשמלית של הקרום ליחידת שטח מופרדת לשני רכיבים - רכיב קבוע שאינו תלוי במתח (g<SUB>L</SUB>) ורכיב התלוי במתח באופן לא-ליניארי (g<SUB>n</SUB>). הפוטנציאלים החשמליים (E<SUB>n</SUB>,E<SUB>L</SUB>) שיוצרים מפלי הריכוזים של היונים מיוצגים על ידי מקורות מתח (סוללות חשמליות). משאבות יונים כדוגמת משאבות נתרן-אשלגן מיוצגות על ידי מקור זרם (I<sub>p</sub>).]]
*ה[[קבל|קיבול]] החשמלי של קרום התא ליחידת שטח מסומל על ידי C<sub>m</sub>. התרומה המרכזית לקיבוליות מגיעה מהשכבה ה[[הידרופוביות|הידרופובית]] הכפולה שבמרכז קרום התא, אותה ניתן לנתח כ[[קבל#קבל לוחות|קבל לוחות]] עם [[דיאלקטריות]] נמוכה יחסית (2–3 בשכבה שומנית לעומת 80~ ב[[מים]]).
*[[תעלות יונים]] הנפתחות באופן בלתי-תלוי בהפרש הפוטנציאלים החשמלי על פני הקרום נקראות [[תעלות זליגה]]. אלה תורמות רכיב קבוע g<SUB>L</SUB> ל[[מוליכות חשמלית|מוליכות]] קרום התא. ככל שצפיפות תעלות הזליגה עולה, כך גדלה מוליכות קרום התא g<SUB>L</SUB>, כמקרה פרטי של חיבור נגדים במקביל.
*[[תעלת יונים ממותגת מתח|תעלות יונים ממותגות-מתח]] תורמות רכיב לא-ליניארי (g<SUB>n</SUB>) למוליכות קרום התא. תעלות אלה נפתחות או נסגרות בתלות בממתח החשמלי על פני קרום התא. כך משמשות תעלות אלה כמתגים אלקטרוניים בקנה מידה [[מולקולה|מולקולרי]], בדומה לתפקידם של [[טרנזיסטור]]ים מלאכותיים.
*מפלי הריכוזים של היונים, בין ריכוזם התוך-תאי לריכוזם החוץ-תאי, מתורגמים בעזרת [[משוואת נרנסט]] לפוטנציאלים חשמליים. הפרשי פוטנציאלים אלה על פני קרום התא ניתן לייצג על ידי [[מקור מתח|מקורות מתח]] E<SUB>n</SUB>,E<SUB>L</SUB>, בדומה לחיבור [[סוללה חשמלית|סוללות]] במעגל חשמלי.
*משאבות יונים כדוגמת [[משאבת נתרן-אשלגן|משאבות נתרן-אשלגן]] מתוארות על ידי [[מקור זרם]] I<sub>p</sub>.

<!--

[[משוואת נרנסט]], [[סוללה חשמלית]]

:<math>C \cdot \frac{dV}{dt} = I_{ext} - I_{K} - I_{Na} - I_{L} </math>.

Die Ströme I<sub>K</sub>, I<sub>Na</sub> und I<sub>L</sub> ergeben sich aus der Differenz der Membranspannung zum jeweiligen [[Gleichgewichtspotential]] E und der
dazugehörigen Leitfähigkeit g:
:<math> I_{K} = g_{K} \cdot (V-E_{K}) </math>,
:<math> I_{Na} = g_{Na} \cdot (V-E_{Na}) </math> und
:<math> I_{L} = g_{L} \cdot (V-E_{L}) </math>.

:<math> I_{K} = \bar{g}_{K} \cdot n^{4} \cdot (V-E_{K})</math> und
:<math> I_{Na} = \bar{g}_{Na} \cdot m^{3} \cdot h \cdot (V-E_{Na})</math>

Die drei Gatingvariablen sind folgenden Dynamiken unterworfen:
:<math> \frac{dn}{dt} = \alpha_{n}(V) \cdot (1-n) - \beta_{n}(V) \cdot n</math>,
:<math> \frac{dm}{dt} = \alpha_{m}(V) \cdot (1-m) - \beta_{m}(V) \cdot m</math>,
:<math> \frac{dh}{dt} = \alpha_{h}(V) \cdot (1-h) - \beta_{h}(V) \cdot h</math>
 -->
<!--
==Ionic Current Characterization==

In voltage-gated ion channels, the channel conductance g<SUB>i</SUB> is a function of both time and voltage (g<SUB>n</SUB>(t,V) in the figure), while in leak channels g<SUB>i</SUB> is a constant (g<SUB>L</SUB> in the figure). The current generated by ion pumps is dependent on the ionic species specific to that pump. The following sections will describe these formulations in more detail.

===Voltage-Gated Ion Channels===
Under the Hodgkin-Huxley formulation, conductances for voltage-gated channels (g<SUB>n</SUB>(t,V)) are expressed as:

<math>{g}_{n}(V_m,t) = \bar{g}_n \phi^{\alpha} \chi^{\beta}</math>

<math>\dot{\phi}(V_m,t) = \frac{1}{\tau_{\phi}} (\phi_{\infty} - \phi) </math>

<math>\dot{\chi}(V_m,t) = \frac{1}{\tau_{\chi}} (\chi_{\infty} - \chi)</math>,

where <math>\phi</math> and <math>\chi</math> are gating variables for activation and inactivation, respectively, representing the fraction of the maximum conductance available at any given time and voltage. <math>\bar{g}_n</math> is the maximal value of the conductance. <math>\alpha</math> and <math>\beta</math> are constants and <math>\tau_{\phi}</math> and <math>\tau_{\chi}</math> are the time constants for activation and inactivation, respectively. <math>\phi_{\infty}</math> and <math>\chi_{\infty}</math> are the steady state values for activation and inactivation, respectively, and are usually represented by Boltzmann equations as functions of <math>V_m</math>.

In order to characterize voltage-gated channels, the equations will be fit to voltage-clamp data. For a derivation of the Hodgkin-Huxley equations under voltage-clamp see {{ref|JohnstonAndWu}}. Briefly, when the membrane potential is held at a constant value (i.e., voltage-clamp), for each value of the membrane potential the nonlinear gating equations reduce to linear differential equations of the form:

<math>\phi(t) = \phi_{0} - [ (\phi_{0}-\phi_{\infty})(1 - e^{-t/\tau_{\phi}})] </math>

<math>\chi(t) = \chi_{0} - [ (\chi_{0}-\chi_{\infty})(1 - e^{-t/\tau_{\chi}})]</math>

Thus, for every value of membrane potential, <math>V_{m}</math>, the following equation can be fit to the current curve:

<math>I_{n}(t)=\bar{g}_{n} \phi^{\alpha} \chi^{\beta} (V_{m}-E_{n})</math>.

The [[Levenberg-Marquardt algorithm]] {{ref|Marquardt}}{{ref|Levenberg}}, a modified [[Gauss-Newton algorithm]], is often used to fit these equations to voltage-clamp data.

===Leak Channels===
Leak channels account for the natural permeability of the membrane to ions and take the form of the equation for voltage-gated channels, where the conductance <math>g_i</math> is a constant.

===Pumps and Exchangers===
The membrane potential depends upon the maintenance of ionic concentration gradients across it. The maintenance of these concentration gradients requires active transport of ionic species. The sodium-potassium and sodium-calcium exchangers are the best known of these. Some of the basic properties of the Na/Ca exchanger have already been well-established: the stoichiometry of exchange is 3 Na<SUP>+</SUP>:1 Ca<SUP>2+</SUP> and the exchanger is electrogenic and voltage-sensitive. The Na/K exchanger has also been described in detail {{ref|Hille}}.

==Improvements to the Model==
Since the publication of the original model, other versions have been developed. Some of these take into account new knowledge of the workings of neurons. Others were developed to be computationally more efficient. One such version was proposed by Richard FitzHugh and is now known as the [[FitzHugh-Nagumo model]].

מהערך בגרמנית באהבה:

The Hodgkin Huxley model is however suitable for the modelling of large networks only badly, since it is too complex.

The total diaphragm stream is the sum of the potassium, sodium and leaking of rivers IK, INa and IL and the external river Iext (e.g. a river applizierter by an external electrode), which up-loads the diaphragm. The diaphragm potential V obeys then the differential equation

As absolute values for the reversal potentials were found EK=-77mV, ENa=50mV and EL=-54mV. By definition an external river (e.g. by an electrode) is as positive Einwärtsstrom defined, while a diaphragm stream is considered as positive Auswärtsstrom, this explains the choice of the signs.

The conductivenesses gK and gNa is time-dependent and thus for the emergence of an action potential responsible, while the leakage conductivity remains constant gL, since the resistance of the diaphragm can be assumed as constant. Hodgkins and Huxleys ingenious idea was the postulate of Gatingvariablen (English gate: Gate), which copy (probabilistic) the Dynamiken of the ion channels. This variables indicate the portion straight opened channels. Experimental findings suggested the researchers three Gatingvariablen, which called them n, m and h. Together with the maximum conductivity \ bar {g} of an ion the Gatingvariable describes the straight river flowing by the diaphragm:

The functions αn (V), αm (V), αh (V), βn (V), βm (V), βh (V) are exponential in each case functions, whose parameter was adjusted again by experiments. The arising coupled, nonlinear differential equation system can be solved generally not analytically but only by numeric approximation methods.

The postulated Gatingvariablen turned out later than genuine structure characteristic of the voltage-dependent ion channels. The sodium channel has five different conditions, from which only lets through sodium ions. With five conditions there are however four transitions, this (see above n4) Hodgkin and Huxley had already purely empirically discovered!
 -->

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
<!--
#{{note|Marquardt}}Marquardt, D. (1963): An algorithm for the least-squares estimation of nonlinear parameters. ''SIAM J. Appl. Math.'' '''11''' (2):431–441.
#{{note|Levenberg}}Levenberg, K. (1944): A method for the solution of certain non-linear problems in least-squares. ''Q. Appl. Math.'' '''2''' (2):164–168.
#{{note|JohnstonAndWu}}Johnston, D., and Wu, S. (1997): Foundations of Cellular Neurophysiology, chapter 8. MIT Press, Cambridge, MA. {{ISBN|0-262-10053-3}}
#{{note|Hille}} -->

[[קטגוריה:אלקטרופיזיולוגיה]]
[[קטגוריה:מערכת העצבים]]
[[קטגוריה:ביולוגיה מתמטית]]